Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn 1.1 Tư duy Thực tiễn cuộc sống luôn đặt con người trước các vấn đề phải quyết định và lựa chọn. Để đưa ra được những quyết định và lựa chọn đó, con người phải nhận biết được thực tiễn, phân tích được các yếu tố bản chất và các mối liên hệ bên trong của mỗi sự vật hiện tượng để khái quát thành quy luật. Quá trình nhận diện, phân tích và đưa ra quyết định đó được gọi là tư duy. Vậy “Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh các thuộc tính bản chất, các mối liên hệ quan hệ bên trong mang tính quy luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết”.
[11] Tư duy thuộc giai đoạn nhận thức lý tính, nó không chỉ đơn thuần nhận thức sự vật hiện tượng một cách trực tiếp bằng cảm giác và tri giác mà đòi hỏi quá trình phân tích, nhìn nhận các thuộc tính bản chất và quy luật bên trong của sự vật hiện tượng. Đó là quá trình khái quát hóa sự vật hiện tượng và xuất phát từ các hoạt động thực tiễn của con người. Quá trình này sử dụng ngôn ngữ và biểu tượng được truyền đạt qua các thế hệ loài người. Tư duy nhằm mục đích giải quyết các vấn đề, nhiệm vụ mà cuộc sống đặt ra.
Do đó, tư duy mỗi người được hình thành và phát triển trong quá trình hoạt động nhận thức tích cực của chính họ, đồng thời nó cũng chịu ảnh hưởng của sự phát triển xã hội trong từng giai đoạn lịch sử. LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.2 Các thao tác của tư duy 1.1 Phân tích và tổng hợp Phân tích là quá trình dùng trí óc để phân chia đối tượng nhận thức thành các bộ phận, các thành phần khác nhau từ đó vạch ra được những thuộc tính, những đặc điểm của đối tượng nhận thức hay xác định các bộ phận của một tổng thể bằng cách so sánh, phân loại, đối chiếu, làm cho tổng thể của đối tượng được bộc lộ. Chẳng hạn phân tích một bài toán được hiểu là tách các yếu tố trong bài toán làm cho nó xuất hiện hết các yếu tố (yếu tố đã cho, yếu tố cần tìm, các số liệu, kích thước, hình vẽ,.), đồng thời làm xuất hiện mối quan hệ giữa các yếu tố (quan hệ bộ phận - tổng thể, tổng thể - bộ phận, quan hệ hơn - kém, quan hệ tỉ lệ thuận - nghịch,.), từ đó xuất hiện cấu trúc, mô hình các dạng toán quen thuộc. Tổng hợp là quá trình dùng trí óc để hợp nhất, sắp xếp hay kết hợp những bộ phận, những thành phần, những thuộc tính của đối tượng nhận thức đã được tách rời nhờ sự phân tích thành một chỉnh thể để từ đó nhận thức đối tượng một cách bao quát, toàn diện hơn.
Tổng hợp còn thể hiện ở khả năng liên kết những sự kiện tưởng như rời rạc không có quan hệ với nhau trước đây thành một tổng thể mạch lạc, có hệ thống chặt chẽ. Trong tư duy, tổng hợp là thao tác được xem là mang dấu ấn sáng tạo và gắn với tư duy sáng tạo. Khi nói người có “đầu óc tổng hợp” thì cũng tương tự như nói người có “đầu óc sáng tạo”. Phân tích và tổng hợp là hai thao tác trong một quá trình thống nhất biện chứng, sự phân tích được tiến hành theo hướng tổng hợp còn sự tổng hợp được thực hiện theo kết quả của phân tích.
Đây là hai thao tác cơ bản nhất của mọi quá trình tư duy. Có thể nói phân tích - tổng hợp là một cặp thao tác tư duy cơ bản và quan trọng nhất để giải quyết vấn đề. Nó được thực hiện trong tất cả các quá trình tư duy của học sinh. Với đặc trưng là phân chia đối tượng nhận thức thành các bộ phận, các thành phần khác nhau sau đó hợp nhất các thành phần đã được tách rời nhờ sự phân tích thành một chỉnh thể, trong môn toán, thao tác phân tích - tổng hợp thường được sử dụng để tìm hiểu đề bài, để nhận diện bài toán thuộc loại nào, phân tích cách diễn đạt các mối quan hệ của LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 7 bài toán, phân tích thuật ngữ, phân tích cách hỏi, câu hỏi, yêu câu của bài toán, những tình huống,.
tổng hợp các yếu tố, điều kiện vừa phân tích trong bài toán để đưa ra điều kiện mới, kết luận mới, tổng hợp các bước giải bộ phận để liên kết tạo thành bài giải hoàn thiện, tổng hợp các bài toán tương tự theo một tiêu chí nhất định thành một mẫu bài toán, tổng hợp các cách giải tạo thành phương pháp giải chung.1 Giải phương trình mũ √ 3x+1 √ 5x+7 2+ 3 = 2− 3. Học sinh nhận dạng phương trình đã cho có dạng af (x) = bg(x) , thông thường đối với dạng bài toán này học sinh sẽ lấy logarit cơ số thích hợp hai vế √ của phương trình. Giả sử, lấy logarit hai vế cơ số 2 + 3, ta thu được √ 3x + 1 = (5x + 7)log2+√3 (2 − 3). Đến đây học sinh cần tìm giá trị của √ √ √ √ 2 log2+√3 (2− 3).
Khi đó học sinh để ý rằng (2+ 3)(2− 3) = 22 −( 3) = 1, từ đó suy ra √ √ −1 √ √ −1 2 − 3 = (2 + 3) ; log2+√3 (2 − 3) = log2+√3 (2 + 3) = −1. √ √ √ 2 Mấu chốt của bài toán là phép biến đổi (2 + 3)(2 − 3) = 22 − ( 3) = 1, do đó học sinh có thể tìm được lời giải ngắn gọn hơn. Do đó ta có các phương trình tương đương √ 3x+1 √ 5x+7 2+ 3 = 2− 3 ; √ 3x+1 √ −5x−7 2+ 3 = 2+ 3 ; hay 3x + 1 = −5x − 7. Ta tìm được x = −1 là nghiệm của phương trình.
LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.2 So sánh và tương tự So sánh là quá trình dùng trí óc để xác định sự giống nhau hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các đối tượng nhận thức. Thao tác này liên quan chặt chẽ với thao tác phân tích và tổng hợp. Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu rút ra kết luận hai đối tượng đó giống nhau ở các dấu hiệu khác. Người ta thường xét sự tương tự trong toán học trên các khía cạnh sau: - Hai phép chứng minh là tương tự nếu đường lối, phương pháp chứng minh là giống nhau.
- Hai hình là tương tự nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau hay nếu vai trò của chúng giống nhau trong vấn đề nào đó, hoặc giữa các phần tử tương ứng của chúng có quan hệ giống nhau. - Hai tính chất là tương tự nếu chúng biểu diễn các yếu tố hoặc các thuộc tính của hai hình tương tự. Tương tự là nguồn gốc của nhiều phát minh. Bên cạnh đó cũng giống như khái quát hóa, tương tự thuộc về những suy luận có lý, do đó cần lưu ý với học sinh những kết luận rút ra từ tương tự có thể dẫn đến những kết luận sai.2 Giải các phương trình mũ sau a) 3x + 4x = 5x ; b) 3x + 5x = 2.
Quan sát hai câu và so sánh học sinh nhận thấy sự giống nhau về hình thức. Vì vậy trong tư duy học sinh nghĩ cách giải hai câu này tương tự nhau. Tuy nhiên ta có hai lời giải khác nhau. Với câu a) ta khó tìm được mối liên hệ giữa các cơ số.
Tuy nhiên ta nhận thấy phương trình có nghiệm x = 2. Ta tìm cách chứng minh x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình. Để làm điều này ta chia hai vế của phương trình cho 5x (nhằm tạo ra hàm số ở vế trái nghịch biến) ta được x x 3 4 + = 1. 5 5 Đặt LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.
Với x > 2 thì f (x) < f (2) = 1, phương trình vô nghiệm. Với x < 2 thì f (x) > f (2) = 1, phương trình vô nghiệm. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. Với câu b) phương pháp đánh giá không dùng được vì rất khó đánh giá tính đồng biến, nghịch biến vì vậy ta có lời giải: Ta có 3x + 5x = 2.
Giả sử phương trình ẩn x có nghiệm là α, xét hàm số f (t) = (t + 1)α − tα , (t > 0).Theo định lí Lagrange ∃c ∈ [3, 4] sao cho f 0 (c) = 0 hay α (c + 1)α−1 − cα = 0, suy ra α = 0 hoặc α = 1. Thử lại thấy x = α = 0 và x = α = 1 đều thỏa mãn phương trình. Từ đó tìm được x = 0; x = 1 là nghiệm của phương trình.3 Khái quát hóa và đặc biệt hóa Theo G. Pôlya, “Khái quát hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu”.
[15] Trong [8] tác giả đã nêu rõ, “Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số trong các đặc điểm chung của các phần tử của tập hợp xuất phát”. Pôlya, “Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho”. [15] Qua đó ta thấy rằng khái quát hóa là quá trình tư duy đi từ nhiều cái riêng đến cái chung cái tổng quát hoặc từ cái tổng quát đến tổng quát hơn. Đặc biệt hóa là thao tác tư duy ngược với lại khái quát hóa.
LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.3 Từ bài toán giải phương trình mũ dạng m.a−x + p = 0 này có thể mở rộng thành bài toán đưa được về dạng m. Ví dụ từ bài toán giải phương trình mũ √ x √ x 5 + 24 + 5 − 24 = 10, √ √ √ 2 Với 5 + 24 5 − 24 = 52 − ( 24) = 1, học sinh có thể biến đổi √ √ −1 √ x 5 + 24 = 5 − 24 , sau đó đổi biến t = 5 + 24. Bài toán mở rộng: Giải phương trình √ x √ x 3 + 5 + 16 3 − 5 = 2x+3 .