Chương I: Cơ sở lý luận 1. Mô hình hóa toán học 1. Mô hình hóa toán học 1. Các khái niệm cơ bản Theo Lê Thị Hoài Châu (2014) và Nguyễn Danh Nam (2015) đưa ra khái niệm mô hình như sau: Mô hình là một mau, một đại điện, một minh họa được thiết ké để mô ta cấu trúc của hệ thong, cách vận hành của một hoặc cấc sự vật, hiện tượng thuộc hệ thông nay.
M6 hình thường được biểu theo hai nghĩa. Nghĩa thứ nhất, mô hình là ban sao của một đối tượng, thường nhỏ hơn đối tượng hoặc mang tính chất đặc trưng của đối tượng gốc: nghĩa thứ hai, mô hình là một biểu diễn cho các phan quan trọng cia một hệ thông nhằm phục vụ mục dich nghiên cửu chính thông 46. [Cao Lê Trúc. I3] Tiếp theo là một số khái niệm về bài toán thực tiễn, phỏng thực tiễn và toán học: Bài toán thực tiễn là một bài toán mà các dit kiện, các biến, các yêu cầu, các câu hỏi, các modi quan hệ.
chứa đựng trong bai toán đều là các yeu tổ của thực tiễn “thực”. Bài toán phòng thực tiễn là bài toán mà các dit kiện, các biến, các yêu cầu, các câu hỏi, các mỗi quan hệ. không phải là các yếu tổ của thực tiến “thực” mà chỉ là sự mô phỏng (hay phản chiểu) của thực tiễn này. Nói cách khác, có một sự sai biệt giữa bài toán thực tiễn và bài toán phòng thực tiến.
Sự sai biệt này thường là hệ qua của những ràng buộc của hệ thing day học. Chẳng hạn, giá trị số của các dit kiện được cho trong bải toán thưởng được chọn sao cho việc tính toán không quá phức tạp, kết quả giải (đáp số) “dep” hơn,. Bài toán toán hoc là bài toán trong đó các dit kiện, các biến, các yêu cầu, các câu hỏi, các mối quan hệ,. đều được diễn tả bing ngôn ngữ va kí hiệu toán học.171 - 172] Sau đây ta nói về mô hình hóa toán học 1.
Mô hình hóa toán học Mô hình hóa toán học đang là van dé được quan tâm trong quá trình day học, thông qua mô hình hóa ta có thé tiếp cận thực tế với toán học. Theo Quách Thị Hạnh (2009): Theo Từ điện bách khoa toàn thư, mô hình hóa là sự chuyên đổi trừu tượng một thực tiễn cụ thê nhằm mục đích mô ta thé giới trực giác hay thé giới đã được quan niệm hóa bằng ngôn ngữ tự nhiên. Sự chuyên đổi này được đặt dudi sự kiểm tra của tư duy légic hay tư duy toán học. mô hình hóa toán bọc là sự giải thích toán học cho một hệ thông ngoài toán học nhằm trả lời cho những câu hói ma người ta đặt ra trên hệ thống này.
[Phạm Anh Lý, 2012, tr.6] Edwards và Hamson định nghĩa vẻ mô hình hóa toán học như sau: Mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi một vẫn dé thực tế sang một vin dé Toán học bang cách thiết lập và giải quyết các m6 hình toán học, thé hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiên mô hình nêu cách giải quyết không được chap nhận. [Nguyễn Thị Tân An, 2014, tr.24] Trong “Tích hợp trong day học Toán (tài liệu boi dưỡng giáo viên)”, tác gia Lê Thị Hoài Châu phân tích mô hình hóa toán học như sau: Mô hình hóa toán học là quá trình cấu trúc lại vẫn dé can giải quyết nhờ những khái niệm toán học được lựa chọn một cách phù hợp. Quá trình ấy được thực hiện thông qua việc xây dựng mô hình phỏng thực tế bang cách “cất tia” — hay ngược lại, bỏ sung thông tin — để có thé gắn van dé ban đầu với các quy trình toán học. Trong bước tìm kiểm mô hình phỏng thực tế này người ta thường thực hiện những việc như đặt giả thuyết, tong quát hóa, hình thức hóa,.
Bài toán toán học cuối cùng được xây dựng phải đại điện trung thực trong bối cảnh thực te. [Lê Thị Hoài Châu, 2014, tr.26] Vì vậy, mô hình hóa toán học là một quá trình đài, cần thực hiện qua nhiều bước đề bài toán cuỗi cùng được đưa ra phải trung thực trong bồi cảnh thực tế. Quá trình mô hình hóa toán học Sơ đồ của Coulange (1997) chỉ ra đầy đủ các giai đoạn của việc mô hình hóa một cách đơn giản HỆ THỐNG NGOÀI TOÁN HỌC Câu hoi liên quan đến hệ thống Câu trả lời cho câu hói ban đầu Ỷ Rút gọn hệ thống (giữ lại những thông tin thoả đáng) M6 hình trung gian (duy trì mối quan hệ về ngữ nghĩa đối với hệ thống ta tim cách môÕ hình hoa) q = Giải bài toán Câu trả lời Trinh bay lại các câu hoi ——————>¡cho bai toán toán hoc | MÔ HÌNH TOÁN HỌC L So đỗ 2. Quá trình: md hink hoá toán hoe Theo Tài liệu hướng dan bồi dưỡng giáo viên phổ thông cốt cắn (Mô Pun 2), quá trình chia lam 4 giai đoạn: — Giai đoạn 1: Chuyển hệ thống ngoài toán học thành một mô hình trung gian.
Xây dựng mô hình định tính của van dé, tức là xác định các yếu tô có ý nghĩa quan trọng nhất và xác lập những quy luật ma chúng phải tuân theo. — Giai đoạn 2: Chuyển mô hình trung gian thành mô hình toán học. Khi có mô hình trung gian ta chọn các biến đặc trưng cho các yếu tố của tình huéng đang xét. Từ đó dẫn đến việc lập mô hình toán học thiết lập mối quan hệ giữa các biến số và các tham số của tình huống.
= Giai đoạn 3: Hoạt động toán học trong mô hình toán học. Sử dụng các công cụ toán học đề khảo sát và giải quyết mô hình toán học hình thành ở giai đoạn 2. = Giai đoạn 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong giai đoạn 3. Trở lại tình huống được nghiên cứu dé chuyền câu trả lời của van đề toán học thành câu trả lời của những câu hỏi ban dau và đối chiều chúng với thực tiễn được mô hình hóa.
Trong bước này có hai khả năng: — Kha năng 1: Mô hình va các kết quả tính toán phù hợp với thực tế. — Kha nang 2: Mô hình và các kết qua tính toán không phù hợp với thực tế. Khi đó cần xem xét các nguyên nhân sau; + Tính chính xác của lời giải toán học, thuật toán, quy trình. + Mô hình định tính đã xây dựng chưa phản ánh day đủ van dé đang xét.
+ Tính thỏa đáng của mô hình toán học đang xây dựng. + Các số liệu ban đầu không phản ánh đúng thực tế. Trong trường hợp này, cân phải thực hiện lại quy trình trên cho đến khi tìm được mô hình toán học thích hợp cho tình huồng. Day học mô hình hóa và day học bằng mô hình hóa Bài toán thực tiễn dần gắn liền với học sinh trong qua trình học toán.
Vì thé việc chú trọng vào day hoc van đẻ liên quan đến thực tiễn rất quan trọng, Theo Lê Thị Hoài Chau (2010): Để nâng cao năng lực hiểu biết toán cho HS, không thẻ coi nhẹ việc DH cách thức xây dựng mô hình toán học dé giải quyết một van dé nào đó do thực tiễn đặt ra. Đôi với các nhà toán học, mô hình ay thường là chưa ton tại nhưng không cho phép giải quyết mọi trường hợp. hay ngược lại, không mang đến lời giải tối tru cho một lớp các trường hợp đặt biệt nào đó. Việc tìm ra mô hình mới của họ thường din đến một phát minh mới (một khái niệm.
một định lí mới). Đổi với GV, mô hình ấy đã tồn tại. Điều đó dẫn đến chỗ việc DH có thẻ tỏ chứ theo hai tiến trình: 13 — Trinh bay tri thức toán học lý thuyết ( giới thiệu dịnh nghĩa khái niệm hay định lý, công thức) — Vận dụng tri thức vào giải quyết các bài toán thực tiễn, ở đó phải xây dựng mô hình toán học. — Xuất phát từ một vẫn dé thực tiến + Xây dựng mô hình toán học > Câu trả lời cho bai toán thực tiễn > Thẻ chế hóa trí thức cần giáng day bằng cách nêu định nghĩa hay định lý, công thức => Vận đụng vào giải các bải toán thực tiễn khác mà trí thức đó cho phép xây đựng một mô hình toán học phù hợp.
Tiến trình DH thử nhất, gọi là DH mô hình hóa, tiết kiệm được thời gian nhưng lại làm mat đi nguồn gốc thực tiễn của các tri thức toán học, và do đó làm mắt nghĩa của tri thức. Hơn nữa, trong trường hợp này, một cách rat tự nhiên HS sẽ không lưỡng ly gi và hướng ngay đến việc xây dựng mô hình hóa toán học phù hợp với tri thức vừa đưa vao. Liệu vượt ra khỏi bỗi cảnh này, họ có thê xây dựng được mô hình toán học phủ hợp hay không? Tiến trình thứ hai, ban chất là DH toán thông qua DH mô hình hóa, cho phép khắc phục khiếm khuyết nay. O đây tri thức cần giảng dạy sẽ hình thành từ qua trình nghiên cửu các van đề thực tiễn, nảy sinh với tư cách là kết qua hay phương tiện giải quyết van dé.
Người ta gọi đây là ĐH bằng mô hình hóa. [Lê Thị Hoài Châu, 2010, tr. 13] Từ đây, ta có thé đưa ra hai quy trình day học bất phương trình bậc nhất hai an như sau: Dạy học mô hình hóa Dạy học bằng mô hình hóa — Đặt yêu cầu giải bài toán thực tế. — Xây dựng mô hình hóa toán học (mâm mỗng của bất phương trình bậc nhất hai an).
Việc xây dựng mô hình này nảy sinh từ nhu cau giải các bai toán đã cho. — Giải quyết các bài toán toán học trong mô hình này. — Trình bày cách giải bất phương trình bậc nhất hai an. Ä— sã — Giải các bài toán luyện tap, trong đó có mm.
, ải , | — Gicác b bài toán yen tạp luy tập, ện trong g đó có bài toán thực tiến. các bài toán thực tiễn (có xây dựng mô hình). Lợi ích và khó khăn của mô hình hóa toán học Theo Sullman (2010), mô hình hóa trong day học toán cho chúng ta những lợi ích sau; ~ Giúp học sinh hiểu được mối quan hệ giữa môn toán với thực tế, mỗi quan hệ giữa môn toán với các môn học khác. Từ việc giải quyết các yêu cầu của bài toán thực tế bằng kiến thức toán học, mối quan hệ giữa bài toán thực tế va các kiến thức toán học được hình thành.
Các bài toán thực tế này bao gồm các bài toán trong lĩnh vực khác, trong các môn học khác. — Giúp học sinh có những kĩ năng giải quyết những van đề trong thực tế bằng kiến thức toán học.