CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ THUYET Chương nảy dành cho việc trình bảy một cách ngắn gọn những cơ sở lý thuyết mà chúng tôi sẽ dựa vào để phân tích chương trình và SGK về vấn dé đưa vào các kiến thức của TKMT. Trước hết, chúng tôi sẽ trình bay các cơ chế hoạt động và hình thức thẻ hiện của khái niệm. Chính trên cơ sở này mà chúng tôi để cập đến những tiến trình có thé đi theo dé dạy học một khái niệm. Những gi chúng tôi trình bảy về van đẻ này được rút ra từ Bài giảng Phương pháp dạy-học môn toán (phan đại cương) của T.
Chúng tôi sẽ trình bảy sau đó vài yếu tế lý thuyết về sự mô hình hóa được rút ra từ công trình của Coulange (1997). Dạy học khái niệm 1. Cơ chế hoạt động và hình thức thể hiện của khái niệm 1. Cơ chế hoạt động của khái niệm Hoạt động của khái niệm trong một phạm vi nào đó bao gồm cách đưa khái niệm vào phạm vi này, cách tổ chức khái niệm trong phạm vi, cách sử dụng khái niệm như là công cụ để giải quyết những van dé được đặt và cách tác động của khái niệm với các khái niệm khác (của toán học hay của các khoa học khác.) Hai cơ chế hoạt động tổng quát nhất của khái niệm là cơ chế đổi tượng va cơ chế cong cụ.
e Cơ chế công cụ Ta nói một khái niệm hoạt động dưới dạng công cụ khi nó được sử dụng - một cách ngầm dn hay tường minh - như là phương tiện dé giải quyết một bài toán, một vin đề. Khải niệm được gọi là có cơ chế công cụ tường minh nếu nỏ được sử dụng như là công cụ bởi chủ thể và chủ thể có thể trình bày, giái thích việc sử dụng đó. Ngược lại. Quách Huynh Henk - Luận văn tốt nghiệp 7 €uương 1: Ca sở lg thuyết nếu khái niệm được vận dụng ngằm dn bởi chủ thé, và chủ thể không thé trình bày, giải thích việc dùng chúng thì ta nói rằng khái niệm có cơ chế công cụ ngầm an.
se Cơ chế đối tượng Ở cấp độ tri thức khoa học khái niệm hoạt động dưới dang đối tượng, theo nghĩa một đối tượng văn hoá có vị trí trong cơ cấu tổ chức rộng hơn, đó là tri thức khoa học ở một thời điểm đã cho, được thửa nhận với xã hội. Chúng là đối tượng nghiên cứa của các nhả toán học. Trong phạm vì của toán học phổ thông ta hiểu một khái niệm hoạt động dưới dạng đối tượng khi nó là đối tượng được nghiên cứu (được định nghĩa, được xem xét các tính chat. Các hình thức thể hiện khác nhau của khái niệm Theo Yves Chevallard, một khái niệm toán học có thé thể hiện dưới ba hình thức : protomathématique, paramathématique, mathématique.
s Khái niệm protomathématique : không tên, không định nghĩa, hoạt động như là một công cụ ngầm ân. s Khái niệm paramathématique : có tên, không định nghĩa. Chúng là những khái niệm công cụ hoạt động của toán học, Nói chung, chúng không phái là đối tượng nghiên cứu các nha toán học. se Khái niệm mathématique :Chúng vừa là đối tượng nghiên cứu, vừa là công cụ được vận dụng để giái quyết vin đề.
Chúng có tên được định nghĩa (theo nghĩa chặt chẽ hay theo kiểu quy ước, mô tả, kiến thiết .) Sự phân loại trên chỉ có tính chất tương đối. Việc phân biệt cơ chế và hình thức thể hiện của khái niệm còn phải căn cứ vào cắp độ, nơi, thời gian, phạm vi toán học. mà nó xuất hiện. Tiến trình dạy - học khái niệm Việc dạy - học một khái niệm thường được tiến hành theo một trong hai tiến trình sau : L.
Tiến trình “Công cụ --> Đối tượng --> Công cy” Quách Hujnh Hạnh - Luận văn tốt nghiệp 8 Chutong f : Co tở ly thugét Tiến trình này phù hợp với lịch sử phát sinh và phát triển của các tri thức toán học. Ở giai đoạn đầu tiên trong lịch sử hình thành của mình, các khái niệm toán học thường xuất hiện dưới dạng một công cụ ngẫm ẩn. Công cụ này cho phép giải quyết một cách tối ưu nhất (tinh đến thời điểm đó của lịch sử toán học) một vấn dé trước đấy hoặc chưa được giải quyết hoặc chỉ được giải quyết một cách khó khăn. Tính hiệu quả của công cụ mới chiếm được sự quan tâm của cộng đồng các nhà toán học, và nó bước vào giai đoạn thứ hai trong lịch sử : trở thành đối tượng nghiên cứu.
Người ta đem lại cho nó một định nghĩa, tìm hiểu các thuộc tính, các tính chất của nó. Nghiên cứu này cho phép khái niệm chuyển sang giai đoạn thứ ba trong lịch sử hình thành và phát triển của mình : trở thành một công cụ được sử dụng tường minh, không chỉ cho việc giải quyết vấn để ban đầu gắn với sự nảy sinh khái niệm, mà còn có thể cho một lớp bài toán rộng hơn, tổng quát hơn. Trong dạy — học, theo tác giả Lê Văn Tiến (2002), tiến trình này có thể được tiến hành qua 3 giai đoạn chủ yếu : - Giai đoạn công cụ ngắm ẩn : giải các bài toán, trong đó công cụ giải quyết bài toán được xây dựng; - Giai đọan đối rượng : Nêu tên, định nghĩa khái niệm và nghiên cứu các thuộc tính, các tính chất cơ bản của khái niệm. - Giai đoạn công cu tường minh : khái niệm có cơ chế một công cụ tường minh, được sử dụng để giải nhiều bài toán khác nhau.
Tiến trình “ Đối tượng --> Công cy” Tuy nhiên, thực tế lịch sử không phải luôn luôn là một mô hình hoàn hảo để cho hoạt động đạy - học rập khuôn theo. “Việc dạy - học lại phải tuân thủ những ràng buộc không thể tránh khỏi. Vấn để thời gian chẳng hạn : làm thế nào để đi theo một qúa trình hình thành đã trải qua nhiều thập kỷ (thậm chí hàng thế kì) trong vài giờ ? Rồi vấn để nhận thức : tri thức cẩn dạy đã được tổ chức lại theo một hệ thống không trùng với trình tự phát triển trong lịch sử, [.] Rồi thì sự khác nhau về tâm lý, về hoàn cảnh xã hội, về thể chế, v. Biết bao nhiêu yếu tố làm cho Quách Huỳnh Hank - Luận văn tốt nghiệp 9 Chuang 1: Co sở lg thuụyết sự hình thành tri thức trong lớp học không thể đông nhất với sự hình thành trong lich sử” (Lê Thị Hoài Châu, 2002, tr.
Chính vì thế mà trong dạy ~ học khái niệm người ta còn có thể đi theo một tiến trình thứ hai chỉ gồm hai giai đoạn : trước hết, khái niệm xuất hiện với tư cách một đối tượng nghiên cứu, sau đó trở thành công cu để giải quyết các vấn dé toán học. Khi phân tích SGK, chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ cơ chế của các khái niệm cũng như những tiến trình đã được sử dụng để đưa chúng vào. Phương pháp mô hình hoá Để trình bày khái niệm mô hình hóa và vài vấn để liên quan đến nó, chúng tôi tham khảo tài liệu của Bùi Thế Tâm, Trằn Vũ Thiệu (1998) và công trình của Coulange (1997). Theo Từ điển bách khoa toàn thư, mô hình hóa là sự chuyển đổi trừu tượng một thực tế cụ thể nhằm mục đích mô tả thế giới trực giác hay thế giới đã được quan niệm hóa bằng ngôn ngữ tự nhiên.
Sự chuyển đổi này được đặ dưới sự kiểm tra của tư duy logic hay tư duy toán học. Nói cách khác, mô hình hóa toán học là sự giải thích toán học cho một hệ thống toán học hay ngoài toán học nhằm trả lời cho những câu hỏi mà người ta đặt ra trên hệ thống này. Theo cách hiểu đó, mô hình hóa toán học được xem như công cụ đối với các khoa hoc khác. Nó có mục đích trả lời những câu hỏi đặt ra trên một hệ thống.
Những câu hỏi này được giải đáp thông qua trung gian là một mô hình toán học. Chính những câu hỏi này đã « hướng dẫn » việc xây dựng các mô hình toán học theo nghĩa chúng ảnh hưởng đến sự lựa chon một số phương diện cdn phải tính đến để mô hình hóa hệ thống. Trong lịch sử toán học mô hình hóa toán học có vai trò hết sức quan trọng. Sự nghiên cứu các mô hình toán học diễn ra qua các thời kì lịch sử khác nhau đã góp phần tạo ra những công cụ toán học mới.
Chính là thông qua sự mô hình hóa này mà toán học có thể tìm thấy ứng dụng của nó trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học và cuộc sống như thương mại, kiến trúc, địa lý, quang học,. Quách Huỳnh Hạnh - Luận văn tốt nghiệp 10 hương f : Ca tở ly thuụết Theo tài liệu của Bùi Thể Tâm, Tran Vũ Thiệu (1998) thì quá trình mô hình hóa toán học cho một vấn dé thực tế được chia thành bốn bước. Bước 1: Xây dựng mô hình định tính của vấn để, tức là xác định các yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất và xác lập các qui luật mà chúng ta phải tuân theo. Bước 2: Xây dựng md hình toán học cho vấn để đang xét, tức là diễn tả lại dưới dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình định tính.
Khi có một hệ thống ta chọn các biến cố đặc trưng cho các trạng thái của hệ thống. Mô hình toán học thiết lập mối quan hệ giữa các biến cố và các hệ số điều khiển hiện tượng. Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành ở bước hai. Căn cứ vào mô hình đã xây dựng cẩn phải chọn hoặc xây dựng phương pháp giải cho phù hợp.
Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước ba. Trong phần này phải xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn để thực tế hoặc áp dụng phương pháp phân tích chuyên gia. Ở bước này có thể xảy ra một trong hai khả năng như sau: o Khả nang! Mô hình và các kết quả tính toán phù hợp với thực tế khi đó cần lập một bang tổng kết ghi rõ cách đặt vấn dé, mô hình toán học đã xây dựng, các thuật toán đã sử dụng, kết quả thu được. o Khả năng2 Mô hình và kết quả không phù hợp với thực tế.
Trong trường hợp này phải xem xét các nguyên nhân. Có thể nêu ra bốn nguyên nhân sau : - Các kết quả tính ở bước ba không đủ độ chính xác. Trong trường hợp này cần phải xem lại các thuật toán đã sử dụng. - Các số liệu ban đầu (các thông số, hệ số) không phản ánh đúng thực tế.