Bồi Dưỡng Tư Duy Thuận Nghịch Cho Học Sinh Trong Dạy Học Môn Toán Ở Trường Trung Học Phổ Thông

Luận án tiến sĩ giáo dục nghiên cứu bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học môn toán ở trường trung học phổ thông, phân tích chuyên sâu, xây dựng mô hình lý

• Tác giả: Thái Thị Hồng Lam
• Người hướng dẫn: Nguyễn Văn Thuận
• Trường học: Trường Đại Học Vinh
• Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp giảng dạy bộ môn Toán
• Đề tài: Bồi Dưỡng Tư Duy Thuận Nghịch Cho Học Sinh Trong Dạy Học Môn Toán
• Loại tài liệu: luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2014
• Địa điểm: Nghệ An

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• 1. MỞ ĐẦU
• 1.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
• 1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
• 1.3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
• 1.4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
• 1.5. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
• 1.6. ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN ÁN
• 1.7. NHỮNG LUẬN ĐIỂM ĐƢA RA BẢO VỆ
• 1.8. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN
• 2. CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
• 1.1. Khái niệm về tư duy
• 1.2. Đặc điểm của tư duy
• 1.3. Về sự phân loại tư duy
• 1.4. Những điều kiện hình thành các kiểu tư duy khác nhau trong dạy học
• 1.5. Tư duy toán học
• 1.6. Tư duy thuận nghịch
• 1.7. Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề tài
• 1.8. Thực trạng về việc bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông
• 3. CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG TƯ DUY THUẬN NGHỊCH CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN
• 2.1. Định hướng xây dựng và thực hiện biện pháp
• 2.2. Một số biện pháp góp phần bồi dưỡng tư duy thuận nghịch trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông
• 4. CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
• 3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm
• 3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm sư phạm
• 3.3. Kết quả thực nghiệm sư phạm
• 3.3.1. Đánh giá định tính
• 3.3.2. Đánh giá định lượng
• 3.4. Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm
• DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN ÁN

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Bồi Dưỡng Tư Duy Thuận Nghịch Trong Dạy Học Môn Toán

Bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học môn Toán là một vấn đề quan trọng trong giáo dục hiện đại. Tư duy thuận nghịch không chỉ giúp học sinh phát triển khả năng tư duy logic mà còn nâng cao khả năng giải quyết vấn đề. Việc áp dụng tư duy thuận nghịch trong dạy học môn Toán giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về các khái niệm và định lý toán học.

1.1. Khái Niệm Tư Duy Thuận Nghịch Trong Toán Học

Tư duy thuận nghịch là khả năng nhìn nhận và phân tích vấn đề từ nhiều góc độ khác nhau. Điều này giúp học sinh không chỉ hiểu rõ hơn về các khái niệm mà còn phát triển khả năng tư duy phản biện.

1.2. Tầm Quan Trọng Của Tư Duy Trong Dạy Học Toán

Tư duy thuận nghịch đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển năng lực toán học của học sinh. Nó giúp học sinh hình thành các mối liên hệ giữa các khái niệm toán học, từ đó nâng cao khả năng giải quyết vấn đề.

II. Những Thách Thức Trong Việc Bồi Dưỡng Tư Duy Cho Học Sinh

Việc bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học môn Toán gặp phải nhiều thách thức. Một trong những thách thức lớn nhất là sự thiếu hụt về phương pháp giảng dạy phù hợp. Nhiều giáo viên vẫn còn sử dụng phương pháp truyền thống, không khuyến khích học sinh phát triển tư duy độc lập.

2.1. Thiếu Phương Pháp Dạy Học Hiệu Quả

Nhiều giáo viên chưa áp dụng các phương pháp dạy học hiện đại, dẫn đến việc học sinh không được khuyến khích phát triển tư duy thuận nghịch. Việc này làm giảm khả năng tư duy sáng tạo của học sinh.

2.2. Khó Khăn Trong Việc Đánh Giá Năng Lực Tư Duy

Đánh giá năng lực tư duy thuận nghịch của học sinh là một thách thức lớn. Nhiều giáo viên chưa có công cụ đánh giá phù hợp để đo lường sự phát triển tư duy của học sinh.

III. Phương Pháp Bồi Dưỡng Tư Duy Thuận Nghịch Cho Học Sinh

Để bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh, cần áp dụng các phương pháp dạy học tích cực. Các phương pháp này không chỉ giúp học sinh hiểu rõ hơn về kiến thức mà còn phát triển khả năng tư duy phản biện và sáng tạo.

3.1. Sử Dụng Bài Tập Tư Duy Phản Biện

Bài tập tư duy phản biện giúp học sinh phát triển khả năng phân tích và tổng hợp thông tin. Việc này không chỉ giúp học sinh hiểu rõ hơn về kiến thức mà còn nâng cao khả năng giải quyết vấn đề.

3.2. Tích Hợp Công Nghệ Trong Dạy Học

Sử dụng công nghệ trong dạy học giúp học sinh tiếp cận kiến thức một cách dễ dàng hơn. Các công cụ trực tuyến có thể hỗ trợ học sinh trong việc phát triển tư duy thuận nghịch.

IV. Ứng Dụng Thực Tiễn Của Tư Duy Thuận Nghịch Trong Dạy Học

Việc áp dụng tư duy thuận nghịch trong dạy học môn Toán đã mang lại nhiều kết quả tích cực. Học sinh không chỉ nắm vững kiến thức mà còn phát triển khả năng tư duy độc lập và sáng tạo.

4.1. Kết Quả Nghiên Cứu Về Tư Duy Trong Dạy Học

Nghiên cứu cho thấy rằng việc bồi dưỡng tư duy thuận nghịch giúp học sinh cải thiện kết quả học tập. Học sinh có khả năng giải quyết vấn đề tốt hơn và tự tin hơn trong việc học.

4.2. Ví Dụ Thực Tế Về Ứng Dụng Tư Duy

Nhiều trường học đã áp dụng thành công các phương pháp bồi dưỡng tư duy thuận nghịch, từ đó nâng cao chất lượng dạy học môn Toán. Các học sinh tham gia vào các hoạt động học tập tích cực đã có sự tiến bộ rõ rệt.

V. Kết Luận Về Tư Duy Thuận Nghịch Trong Dạy Học Môn Toán

Bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học môn Toán là một nhiệm vụ quan trọng. Việc này không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức mà còn phát triển khả năng tư duy độc lập và sáng tạo. Tương lai của giáo dục cần chú trọng hơn đến việc phát triển tư duy cho học sinh.

5.1. Tương Lai Của Tư Duy Trong Giáo Dục

Tương lai của giáo dục cần chú trọng đến việc phát triển tư duy cho học sinh. Các phương pháp dạy học hiện đại sẽ giúp học sinh phát triển tư duy thuận nghịch một cách hiệu quả.

5.2. Đề Xuất Chính Sách Giáo Dục

Cần có các chính sách giáo dục hỗ trợ việc bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh. Điều này sẽ góp phần nâng cao chất lượng giáo dục và phát triển nguồn nhân lực cho đất nước.

Nội dung chính

Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ khoa học giáo dục với đề tài "Bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông" do nghiên cứu sinh Thái Thị Hồng Lam thực hiện tại Trường Đại học Vinh vào năm 2014, dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS. Nguyễn Văn Thuận, thuộc chuyên ngành Lý luận và phương pháp giảng dạy bộ môn Toán (mã số: 62 14 01 11).

Về tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu, tác giả xuất phát từ yêu cầu đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo theo tinh thần Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 của Hội nghị Trung ương 8 khóa XI và Chiến lược phát triển giáo dục Việt Nam 2011–2020. Mục tiêu giáo dục hiện đại đòi hỏi chuyển từ truyền thụ kiến thức một chiều sang phát triển năng lực tư duy, rèn luyện phương pháp tự học và nghiên cứu suốt đời cho học sinh. Thực tiễn giảng dạy môn Toán ở trường trung học phổ thông (THPT) cho thấy tình trạng phổ biến là giáo viên chủ yếu cung cấp kiến thức định lý, công thức rồi hướng dẫn học sinh áp dụng máy móc theo một chiều thuận. Mặc dù các công trình tâm lý học và giáo dục học trước đây từng nhắc đến khái niệm tính thuận nghịch (như J. Piaget, V.A. Cruchetxki), song chưa có công trình nào nghiên cứu một cách đầy đủ, có hệ thống về loại hình tư duy mang tên tư duy thuận nghịch (TDTN) trong môn Toán cấp THPT, làm rõ nội hàm, cấu trúc năng lực và đề xuất hệ thống biện pháp sư phạm khả thi.

Mục đích nghiên cứu của luận án là xác định nội hàm khái niệm tư duy thuận nghịch trong môn Toán trên cơ sở nêu lên và làm sáng tỏ các thành tố của năng lực tư duy thuận nghịch của học sinh; chứng minh sự cần thiết và khả năng bồi dưỡng loại hình tư duy này cho học sinh trong quá trình dạy học môn Toán ở các lớp bậc THPT thông qua việc xây dựng các biện pháp sư phạm phù hợp.

Nhiệm vụ nghiên cứu được xác định gồm 4 nội dung chính:

1. Tổng hợp những cơ sở lý luận và thực tiễn về tư duy, tư duy toán học và việc phát triển tư duy toán học cho học sinh.
2. Làm sáng tỏ khái niệm tư duy thuận nghịch của học sinh THPT thông qua việc xác định các thành tố của năng lực tư duy thuận nghịch và các mức độ biểu hiện.
3. Đề xuất một số biện pháp sư phạm góp phần bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh THPT trong dạy học môn Toán.
4. Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất.

Giả thuyết khoa học của luận án khẳng định: Nếu xây dựng được một số biện pháp sư phạm hợp lý, khả thi, có cơ sở khoa học xác đáng thì có thể bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh, góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường THPT.

Đối tượng nghiên cứu là quá trình dạy học môn Toán ở trường THPT theo định hướng bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh. Phạm vi nghiên cứu giới hạn ở chương trình, nội dung dạy học môn Toán cấp THPT (Đại số, Giải tích, Hình học) và các hoạt động khảo sát thực trạng, thực nghiệm sư phạm tại các trường THPT.

---

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Trong luận án, tác giả đã tiến hành điểm luận các nghiên cứu trong và ngoài nước liên quan đến tư duy, tư duy toán học và tính thuận nghịch của quá trình nhận thức:

Ở bình diện quốc tế:

• J. Piaget với Lý thuyết phát sinh nhận thức đã chỉ ra tính đảo ngược của các thao tác trí tuệ ở trẻ em từ 7–8 tuổi trở lên, xem tính thuận nghịch là "con ngươi" của nhận thức, hình thành trên cơ sở hai hành động thực tiễn ngược chiều nhau được chuyển hóa vào bên trong tâm lý.
• Viện sĩ V.A. Cruchetxki (1968) trong công trình "Tâm lý năng lực toán học của học sinh" đã chỉ ra "tính thuận nghịch của quá trình tư duy trong lập luận Toán học", được định nghĩa là khả năng chuyển nhanh chóng và dễ dàng từ tư duy thuận (từ A đến B) sang tư duy đảo (từ B đến A), đồng thời xem đây là nét nổi bật của học sinh có năng khiếu toán học.
• Edgar Morin tiếp cận tư duy như một dạng thức đối lôgic phức hợp của những hoạt động và thao tác, sử dụng các năng lực bổ sung và đối kháng của trí tuệ (như phân tích và tổng hợp) nhằm kiểm soát quá trình nhận thức, tránh rơi vào phiến diện.
• M.N. Sacđacôp (Shardakov) khẳng định tính thuận nghịch là đặc điểm về chất của các mối liên hệ và dòng ý nghĩ thuận – nghịch là thuộc tính vốn có của bản thân hoạt động tư duy.
• P.A. Shevarev và Pêtrốp chỉ ra hoạt động tư duy của học sinh diễn biến theo chiều thuận – nghịch.
• Tsukasa Hirashima và Megumi Kurayama (2011, 2013) nghiên cứu phương pháp dạy học sinh đặt bài toán tư duy ngược trong môi trường học tập dựa trên máy tính ở cấp tiểu học.
• G. Polya phân tích phép rút gọn thuận nghịch (hai chiều) hay phép biến đổi tương đương trong tiến trình giải quyết bài toán.

Ở bình diện trong nước:

• Nguyễn Bá Kim đã nghiên cứu khả năng đảo ngược quá trình tư duy, lấy đích của quá trình đã biết làm điểm xuất phát cho quá trình mới và ngược lại, xem đó là một biểu hiện của tính linh hoạt trong tư duy; đồng thời xác định các tư tưởng chủ đạo phát triển tư duy hàm qua việc thiết lập và nghiên cứu các quan hệ tương ứng.
• Vũ Dương Thụy và Hoàng Chúng khẳng định trong dạy học cần chú ý rèn luyện cho học sinh kỹ năng biến đổi xuôi chiều và ngược chiều song song với nhau nhằm hình thành liên tưởng ngược đồng thời với liên tưởng thuận; rèn luyện phương pháp suy nghĩ biện chứng qua các cặp thao tác đối lập (phân tích – tổng hợp, khái quát hóa – đặc biệt hóa, quy nạp – suy diễn).
• Phan Trọng Ngọ nghiên cứu sự chuyển hóa hành động vật chất bên ngoài thành thao tác trí tuệ bên trong, đề xuất nguyên tắc hai thao tác ngược nhau phải được tiến hành liền kề nhau trong giáo dục.
• Tôn Thân nghiên cứu bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh qua giải bài toán thuận nghịch và lập bài toán đảo.
• Các tác giả Nguyễn Cảnh Toàn, Đào Tam, Nguyễn Văn Lộc, Đào Văn Trung nghiên cứu các khía cạnh về tư duy lôgic, tư duy biện chứng và phương pháp suy nghĩ đa chiều.

Về vị trí nghiên cứu, luận án xác định khoảng trống: Các công trình đi trước chủ yếu xem tính thuận nghịch như một phẩm chất hay thao tác đơn lẻ, khảo sát cục bộ ở học sinh lứa tuổi nhỏ hoặc trong các nội dung hẹp. Chưa có công trình nào nghiên cứu một cách có hệ thống, toàn diện về tư duy thuận nghịch như một loại hình tư duy toán học chuyên biệt ở cấp THPT, chưa xác định đầy đủ các thành tố năng lực cấu thành cũng như chưa xây dựng hệ thống biện pháp sư phạm đồng bộ gắn với toàn bộ chương trình Toán THPT.

---

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Luận án xây dựng khung phân tích dựa trên sự tích hợp giữa tâm lý học nhận thức, lý luận dạy học môn Toán và phép biện chứng duy vật.

Các khái niệm và cơ sở lý thuyết nền tảng gồm:

• Khái niệm tư duy: Tư duy là quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan. Tư duy diễn ra qua quy trình 4 bước: xác định vấn đề; huy động tri thức, hình thành giả thuyết; xác minh tính đúng/sai của giả thuyết; đánh giá kết quả.
• Bốn nhân tố hình thành kiểu tư duy trong dạy học (theo A.V. Pêtrôvxki): (1) Tính chất của tài liệu học tập; (2) Kiểu bài toán; (3) Lứa tuổi và trình độ phát triển của học sinh; (4) Phương thức dạy học.
• Năm căn cứ xác lập quan niệm tư duy thuận nghịch:
  1. Căn cứ vào nguyên lý về mối liên hệ phổ biến và tính hai mặt đối lập thống nhất của phép biện chứng duy vật Mác – Lênin.
  2. Căn cứ vào các kết quả nghiên cứu tâm lý học về tính thuận nghịch của tư duy (J. Piaget, V.A. Cruchetxki, Edgar Morin, M. Sacđacôp, Phan Trọng Ngọ, Nguyễn Bá Kim).
  3. Căn cứ vào ý nghĩa từ nguyên của cụm từ "thuận nghịch" trong tiếng Việt (chỉ mối liên hệ xuôi – ngược hỗ trợ lẫn nhau).
  4. Căn cứ vào những khó khăn, sai lầm phổ biến của học sinh THPT khi giải toán (lập luận sai quy tắc kéo theo, hiểu nhầm điều kiện cần và đủ, biến đổi không tương đương, nhầm lẫn quan hệ hàm số).
  5. Căn cứ vào đặc điểm môn Toán và phương pháp toán học cấp THPT (tính cụ thể và trừu tượng, phương pháp quy nạp và suy diễn, tính thuận nghịch của định nghĩa, định lý, công thức, đẳng thức, phép biến hình).
• Khái niệm tư duy thuận nghịch: Là cách suy nghĩ theo hai chiều ngược nhau nhưng hỗ trợ lẫn nhau giúp con người nhận thức và giải quyết vấn đề sâu sắc hơn, toàn diện hơn, đầy đủ hơn. Mô hình logic được mô tả bởi dạng quan hệ hai chiều $(A \rightleftarrows B)$ đối lập với quan hệ một chiều $(A \rightarrow B)$.
• Khung cấu trúc năng lực TDTN gồm 6 thành tố và 3 cấp độ biểu hiện (Cấp độ 1: nhận thức dưới sự hướng dẫn trực tiếp của giáo viên; Cấp độ 2: nhận thức và vận dụng dưới sự gợi ý bán phần; Cấp độ 3: tự giác nhận thức và độc lập giải quyết vấn đề).

Phương pháp nghiên cứu được triển khai kết hợp:

1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Thu thập, phân tích, tổng hợp các tài liệu triết học, tâm lý học, giáo dục học và phương pháp dạy học môn Toán trong và ngoài nước liên quan đến tư duy toán học và tính thuận nghịch.
2. Phương pháp điều tra quan sát: Tiến hành dự giờ, quan sát hoạt động dạy và học môn Toán tại các trường THPT; lập phiếu trưng cầu ý kiến giáo viên và học sinh nhằm đánh giá thực trạng bồi dưỡng TDTN.
3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy học thực nghiệm có nhóm đối chứng tại các trường THPT để kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của hệ thống biện pháp đề xuất; xử lý kết quả bằng phương pháp thống kê toán học (đánh giá định tính và định lượng).

Nguồn dữ liệu của luận án bao gồm: sách giáo khoa và sách giáo viên môn Toán cấp THPT hiện hành; phiếu điều tra khảo sát giáo viên và học sinh; biên bản ghi nhận giờ dự dạy; các bài kiểm tra khảo sát và bài làm thực nghiệm của học sinh THPT.

---

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 1 tập trung xây dựng cơ sở lý luận về tư duy thuận nghịch trong môn Toán và đánh giá thực trạng dạy học tại trường THPT.

Nội dung lý luận của chương làm rõ:

• Bản chất của tư duy toán học, cấu trúc năng lực toán học theo quan điểm của Iu.M. Koliagin, B.V. Gnedenko, A.I. Markushevich, A.N. Kolmogorov và V.A. Cruchetxki.
• Luận giải 6 thành tố cấu thành năng lực tư duy thuận nghịch trong môn Toán:
  • Thành tố 1: Khả năng xác lập và sử dụng mối liên hệ hai chiều giữa các đối tượng trong một quan hệ có tính chất đối xứng ($A$ có quan hệ $R$ với $B$ và $B$ có quan hệ $R$ với $A$), thể hiện qua việc vận dụng công thức hai chiều, biến đổi phương trình/hệ phương trình tương đương, phép biến hình đối xứng.
  • Thành tố 2: Khả năng đặt và khảo sát vấn đề ngược khi xem xét một vấn đề cho trước, thể hiện qua việc tìm phép biến đổi ngược, xét mệnh đề đảo, lập bài toán đảo từ bài toán đã giải bằng cách hoán đổi giả thiết và kết luận.
  • Thành tố 3: Khả năng thực hiện các thao tác hay các hoạt động tạo thành cặp có xu hướng ngược nhau (phân tích – tổng hợp, khái quát hóa – đặc biệt hóa, quy nạp – suy diễn, nhận dạng – thể hiện, vẽ đồ thị – đọc đồ thị).
  • Thành tố 4: Khả năng nhìn nhận lại quá trình nhận thức và giải quyết vấn đề (tự phản biện, đánh giá tính đúng đắn của lời giải, phát hiện nghiệm ngoại lai hoặc thiếu nghiệm, thực hiện bước nghiên cứu sâu lời giải của G. Polya).
  • Thành tố 5: Khả năng xem xét mỗi tri thức theo các vai trò khác nhau (tri thức vừa là kết quả của hoạt động trước, vừa là phương tiện để tiến hành các hoạt động tiếp theo).
  • Thành tố 6: Khả năng khảo sát phương hướng tiếp cận vấn đề, định hướng và thực hiện cách giải quyết vấn đề có tính khác biệt, độc đáo (hoán đổi vai trò ẩn số và tham số, liên tưởng ngược từ biểu thức về tam thức bậc hai hoặc hằng đẳng thức, giải bài toán ngược để tìm nghiệm bài toán thuận).

Cấp độ	Tiêu chí biểu hiện của học sinh	Mức độ hỗ trợ của giáo viên
Cấp độ 1	Nhận thức được mối liên hệ hai chiều và cách khai thác trong tình huống học tập.	Giáo viên thuyết trình, giảng giải, vấn đáp và hướng dẫn trực tiếp toàn bộ tiến trình.
Cấp độ 2	Nhận thức được mối liên hệ hai chiều và biết khai thác để giải quyết bài toán.	Giáo viên gợi ý, dẫn dắt một phần, cụ thể hóa các bước trung gian khi học sinh gặp khó khăn.
Cấp độ 3	Tự mình nhận thức được mối liên hệ hai chiều và độc lập vận dụng vào giải quyết vấn đề.	Giáo viên không định hướng trước, chỉ giữ vai trò đánh giá kết quả và ý nghĩa lời giải.

Chương 1 cũng phân tích mối quan hệ mật thiết giữa TDTN với tư duy phê phán (thể hiện ở sự tự phản biện, kiểm tra lập luận), tư duy biện chứng (thể hiện ở nhận thức tính hai mặt mâu thuẫn và thống nhất), tư duy lôgic (tuân thủ quy tắc suy luận, phép kéo theo, tương đương) và tư duy sáng tạo (tìm ra phương pháp giải độc đáo, thiết lập bài toán mới). Đồng thời, tác giả chứng minh vai trò của TDTN trong lịch sử phát triển toán học, tiêu biểu là bước chuyển từ số học sang đại số khi thay thế cấu tử bằng biến số trong phương trình ($3x - 4 = 11$), và sự ra đời của hình học phi Euclid từ việc phủ định định đề 5 của Janos Bolyai và N.I. Lobachevski.

Khảo sát thực trạng trong chương 1 chỉ ra: Phần lớn giáo viên THPT chưa có ý thức rèn luyện TDTN cho học sinh một cách có hệ thống; học sinh có thói quen tư duy một chiều, thường gặp lúng túng hoặc mắc sai lầm nghiêm trọng khi gặp các bài toán đòi hỏi biến đổi ngược, phân biệt điều kiện cần và đủ hoặc lập luận phản chứng.

Chương 2: Một số biện pháp góp phần bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học môn Toán

Trên cơ sở lý luận của Chương 1, Chương 2 xây dựng hệ thống các biện pháp sư phạm cụ thể nhằm bồi dưỡng TDTN cho học sinh THPT:

• Định hướng xây dựng biện pháp: Đảm bảo mục tiêu môn Toán THPT; bám sát nội dung chương trình; tích hợp tự nhiên vào các khâu dạy học khái niệm, định lý và bài tập; phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh.
• Hệ thống các biện pháp sư phạm đề xuất:
  1. Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh ý thức và khả năng sử dụng các công thức, định nghĩa, định lý theo hai chiều (thuận và nghịch), đặc biệt chú trọng chiều "từ phải sang trái" của các hằng đẳng thức và công thức lượng giác, phân tích điều kiện áp dụng ở từng chiều.
  2. Biện pháp 2: Rèn luyện cho học sinh ý thức và khả năng vận dụng bài toán ngược trong giải toán (tập luyện lập bài toán đảo, giải bài toán bằng phương pháp phản chứng, chuyển bài toán tìm điều kiện có nghiệm sang bài toán vô nghiệm).
  3. Biện pháp 3: Rèn luyện học sinh thực hiện thành thạo các cặp thao tác và hoạt động tư duy có chiều hướng ngược nhau (phân tích – tổng hợp, khái quát hóa – đặc biệt hóa, trừu tượng hóa – cụ thể hóa, quy nạp – suy diễn).
  4. Biện pháp 4: Tập luyện cho học sinh thói quen và kỹ năng nhìn nhận lại, tự kiểm tra, đánh giá quá trình nhận thức và giải quyết vấn đề (phân tích nguyên nhân thừa/thiếu nghiệm trong biến đổi phương trình, kiểm tra tính tối ưu của lời giải).
  5. Biện pháp 5: Xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập hỗ trợ việc bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh trong các nội dung Đại số, Lượng giác, Giải tích và Hình học không gian.

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chương 3 trình bày việc tổ chức, tiến hành và đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất.

• Mục đích và tổ chức thực nghiệm: Thực nghiệm được tiến hành tại các trường THPT trên địa bàn tỉnh Nghệ An; lựa chọn các cặp lớp thực nghiệm (TN) và lớp đối chứng (ĐC) có trình độ học lực tương đương; lớp TN được giảng dạy theo giáo án tích hợp các biện pháp bồi dưỡng TDTN, lớp ĐC dạy học theo phương pháp thông thường.
• Nội dung thực nghiệm: Thực nghiệm thông qua dạy học các chủ đề cụ thể trong chương trình Toán THPT như: Phương trình và hệ phương trình, Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất - nhỏ nhất, Lượng giác, Khảo sát hàm số, Hình học không gian và Phép biến hình.
• Đánh giá kết quả thực nghiệm:
  • Đánh giá định tính: Học sinh lớp thực nghiệm thể hiện sự tiến bộ rõ rệt về tính linh hoạt trong tư duy; biết chủ động xem xét bài toán theo hai chiều; hình thành thói quen kiểm tra lời giải và nhận thức được các bẫy logic về điều kiện tương đương; khả năng chuyển đổi phương hướng giải quyết vấn đề nhanh hơn so với học sinh lớp đối chứng.
  • Đánh giá định lượng: Kết quả các bài kiểm tra được thống kê, so sánh thông qua các đại lượng đặc trưng (điểm trung bình, tỉ lệ học sinh khá giỏi, độ lệch chuẩn, phân phối tần số). Điểm số của nhóm TN cao hơn nhóm ĐC với sự khác biệt có ý nghĩa thống kê, khẳng định tính hiệu quả của các biện pháp sư phạm đề xuất.

---

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án đã đạt được những kết quả và đóng góp mới sau:

Về mặt lý luận:

• Đã xác định và làm sáng tỏ nội hàm khái niệm tư duy thuận nghịch của học sinh trong môn Toán cấp THPT dựa trên 5 căn cứ khoa học vững chắc.
• Đã xây dựng khung năng lực tư duy thuận nghịch trong môn Toán gồm 6 thành tố cụ thể và xác lập 3 cấp độ biểu hiện năng lực, tạo công cụ lý luận cho việc đánh giá năng lực tư duy của học sinh.
• Làm rõ mối quan hệ bản chất giữa tư duy thuận nghịch với các loại hình tư duy khác (tư duy biện chứng, tư duy lôgic, tư duy sáng tạo, tư duy phê phán) và vai trò của TDTN trong lịch sử phát triển toán học.

Về mặt thực tiễn:

• Đã đề xuất hệ thống 5 biện pháp sư phạm có cơ sở khoa học, tính khả thi và hiệu quả nhằm phát triển tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường THPT.
• Xây dựng hệ thống ví dụ, phản ví dụ, bài tập minh họa phân tích cụ thể các sai lầm tư duy của học sinh và hệ thống bài tập rèn luyện hai chiều, cung cấp tư liệu tham khảo phục vụ trực tiếp cho giáo viên dạy Toán THPT.

Kiến nghị và giải pháp đề xuất:

• Giáo viên cần chủ động tích hợp việc bồi dưỡng tư duy thuận nghịch vào mọi khâu của quá trình dạy học toán (từ dạy khái niệm, định lý, công thức đến giải bài tập).
• Cần đa dạng hóa hình thức bài tập, đưa các dạng bài toán đảo, bài toán phủ định giả thiết, bài tập yêu cầu phân tích sai lầm logic vào kiểm tra, đánh giá thường xuyên nhằm khắc phục lối mòn tư duy một chiều của học sinh.

---

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế của nghiên cứu:

• Luận án tập trung nghiên cứu trên phạm vi nội dung chương trình môn Toán cấp THPT và thực nghiệm tại một số trường THPT trên địa bàn nhất định, chưa mở rộng khảo sát thực nghiệm ở các cấp học khác.
• Nghiên cứu gắn liền với khung chương trình giáo dục phổ thông môn Toán tại thời điểm thực hiện (năm 2014).

Hướng nghiên cứu tiếp:

• Mở rộng phạm vi nghiên cứu bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh ở các cấp học khác (Tiểu học, THCS) hoặc cho sinh viên ngành Sư phạm Toán học.
• Nghiên cứu ứng dụng công nghệ thông tin, các phần mềm dạy học toán động (như GeoGebra, Cabri) và môi trường học tập trực tuyến để thiết kế các kịch bản dạy học tương tác bồi dưỡng tư duy thuận nghịch.

---

Giá trị tham khảo

Luận án mang lại giá trị tham khảo thiết thực cho nhiều đối tượng:

• Nghiên cứu sinh và học viên cao học: Tham khảo phương pháp tiếp cận nghiên cứu về năng lực tư duy toán học, cách thức xác lập khung thành tố năng lực và quy trình tổ chức thực nghiệm sư phạm.
• Giảng viên các trường đại học sư phạm: Sử dụng nội dung Chương 1 và Chương 2 làm tài liệu giảng dạy chuyên đề về phát triển năng lực tư duy toán học cho sinh viên ngành Giáo dục Toán học.
• Giáo viên môn Toán tại các trường THPT: Khai thác hệ thống 5 biện pháp sư phạm, các phân tích sai lầm logic điển hình của học sinh và hệ thống bài tập mẫu để thiết kế bài giảng, cải tiến phương pháp dạy học giải bài tập toán.
• Các nhà biên soạn sách giáo khoa và tài liệu tham khảo: Tham khảo quan điểm tích hợp các bài toán thuận nghịch, bài toán đảo và các cặp hoạt động đối lập vào việc cấu trúc tài liệu học tập cho học sinh.

Phần đáng tham khảo nhất của công trình là hệ thống 6 thành tố năng lực TDTN và chuỗi ví dụ phân tích sai lầm của học sinh khi xử lý các mệnh đề toán học hai chiều trong Chương 1 và Chương 2.

---

Câu hỏi thường gặp

1. Tư duy thuận nghịch trong môn Toán được luận án định nghĩa như thế nào? Tư duy thuận nghịch được định nghĩa là cách suy nghĩ theo hai chiều ngược nhau nhưng hỗ trợ lẫn nhau giúp con người nhận thức và giải quyết vấn đề sâu sắc hơn, toàn diện hơn, đầy đủ hơn. Bản chất của TDTN là việc nhận thức và thiết lập mối liên hệ hai chiều dạng $(A \rightleftarrows B)$ thay vì chỉ tư duy một chiều dạng $(A \rightarrow B)$.

2. Năng lực tư duy thuận nghịch trong môn Toán gồm những thành tố cốt lõi nào? Năng lực TDTN gồm 6 thành tố: (1) Xác lập và sử dụng mối liên hệ hai chiều trong quan hệ đối xứng; (2) Đặt và khảo sát vấn đề ngược; (3) Thực hiện các cặp thao tác tư duy có xu hướng ngược nhau; (4) Nhìn nhận lại quá trình nhận thức và giải quyết vấn đề; (5) Xem xét tri thức theo hai vai trò (vừa là kết quả, vừa là phương tiện); (6) Khảo sát phương hướng giải quyết vấn đề có tính khác biệt, độc đáo.

3. Mối quan hệ giữa tư duy thuận nghịch và tư duy sáng tạo được thể hiện ra sao? TDTN hỗ trợ đắc lực cho tư duy sáng tạo thông qua việc phá vỡ lối mòn tư duy thông thường, khắc phục sức ì tâm lý bằng cách nhìn nhận vấn đề theo chiều ngược lại. Việc liên tưởng ngược, đổi vai trò giữa ẩn số và tham số, hoặc chuyển sang giải bài toán ngược giúp học sinh phát hiện ra những phương pháp giải toán độc đáo và thiết lập nên những bài toán mới.

4. Vì sao học sinh THPT thường mắc sai lầm khi vận dụng các định lý toán học theo chiều ngược lại? Học sinh thường mắc sai lầm do chịu ảnh hưởng của ngôn ngữ tự nhiên (hiểu nhầm cấu trúc câu điều kiện "Nếu... thì..." vừa là điều kiện đủ vừa là điều kiện cần), không nắm vững quy tắc suy luận kéo theo và tương đương logic, dẫn đến việc ngộ nhận giả thiết của định lý thuận cũng là điều kiện cần của kết luận hoặc áp dụng mệnh đề đảo khi chưa được chứng minh.

---

Kết luận

Luận án tiến sĩ của tác giả Thái Thị Hồng Lam đã giải quyết một vấn đề có ý nghĩa lý luận và thực tiễn sâu sắc trong chuyên ngành Lý luận và phương pháp giảng dạy bộ môn Toán. Bằng việc làm sáng tỏ nội hàm, xác lập 6 thành tố và 3 cấp độ biểu hiện của năng lực tư duy thuận nghịch, công trình đã lấp đầy khoảng trống lý luận về loại hình tư duy này trong giáo dục toán học cấp THPT. Hệ thống 5 biện pháp sư phạm cùng các cứ liệu thực nghiệm đã minh chứng tính khả thi và hiệu quả của việc bồi dưỡng tư duy thuận nghịch, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán và phát triển tiềm lực tự học của học sinh phổ thông.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1. Chƣơng 2: Một số b T trong dạy học môn Toán 2. Định hướng xây dựng và thực hiện biện pháp. Một số biện pháp góp phần bồi dưỡ trong dạy học môn Toán ở trường T.

sư phạm chung về thực nghiệm sư phạm. Kết luận 5 Chƣơng 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Khái niệm về tƣ duy Trong thực tiễn cuộc sống, có rất nhiều cái mà ta chưa biết, chưa hiểu. Để làm chủ được thực tiễn, con người cần phải hiểu thấu đáo những cái chưa biết đó, phải vạch ra cái bản chất, mối quan hệ, liên hệ có tính quy luật của chúng.

Quá trình đó gọi là tư duy. Có thể chỉ ra một số cách định nghĩa khác về tư duy, chẳng hạn: “Tư duy là quá trình tâm lý nhờ đó mà con người phản ánh được các đối tượng và các hiện tượng của hiện thực qua những dấu hiệu căn bản của chúng, con người vạch ra được những mối liên hệ khác nhau trong mỗi đối tượng và hiện tượng và giữa các đối tượng, hiện tượng với nhau” [37, tr. Hoặc: “Tư duy là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể” [20, tr. Mặc dù có nhiều định nghĩa, cách diễn đạt khác nhau về tư duy, nhưng có thể nhận thấy: Tư duy là quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan.

Đó là một quá trình tâm lý đặc biệt chỉ có ở người. Đặc điểm của tƣ duy Trong [1], [14], [20], [29], [30], [107], [108], nhiều nhà tâm lý học đã chỉ ra một số đặc điểm của tư duy là: * Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp những hoàn cảnh có vấn đề; * Tư duy có tính gián tiếp; * Tư duy có tính trừu tượng và tính khái quát; * Tư duy có mối quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: Tư duy và ngôn ngữ có mối quan hệ chặt chẽ với nhau, không tách rời nhau nhưng cũng không đồng nhất với nhau. Ngôn ngữ không phải là tư duy, ngôn ngữ là vỏ vật chất của tư duy, là phương tiện của tư duy. * Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: tư duy thường bắt đầu từ nhận thức cảm tính, trên cơ sở nhận thức cảm tính mà nảy sinh “tình huống có vấn đề”.

Dù tư duy có khái quát và trừu tượng đến đâu thì nội dung của tư duy vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính (cảm giác, tri giác, hình tượng trực quan,. Rubinstêin đã khẳng định rằng: “Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tư duy trừu tượng, tựa hồ như làm thành chỗ dựa cho tư duy” [108]. * Tư duy là một quá trình: Tư duy là hoạt động trí tuệ với một quá trình bao gồm bốn bước cơ bản sau: + Xác định vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy. + Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thuyết.

+ Xác minh tính đúng sai của giả thuyết. Nếu giả thuyết đúng thì qua bước sau, nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thuyết mới. + Đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng [29], [30], [78], [107]. Quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành những thao tác trí tuệ nhất định.

Có rất nhiều thao tác trí tuệ tham gia vào một quá trình tư duy cụ thể với tư cách một hành động trí tuệ: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa,. Về sự phân loại tƣ duy Có nhiều loại hình tư duy đã được nhiều tác giả trong và ngoài nước nghiên cứu như tư duy lôgic, tư duy trừu tượng, tư duy sáng tạo, tư duy lý luận,. Về bản chất, tư duy chỉ có một, đó là sự hình thành mới hoặc tái tạo lại các liên kết giữa các phần tử ghi nhớ. Sự phân chia ra các loại hình tư duy nhằm mục đích hiểu sâu và vận dụng tốt tư duy trong hoạt động của hệ thần kinh.

Itenxơn, có bốn loại tư duy: tư duy hình tượng, tư duy thực hành, tư duy khoa học, tư duy lôgic [74, tr. Piaget thường nói đến 2 loại tư duy: tư duy cụ thể, tư duy hình thức. Đavưđôv nói đến tư duy lý luận, tư duy kinh nghiệm. Trong một số công trình của V.

Cruchetxki đề cập đến: tư duy tích cực, tư duy độc lập, tư duy sáng tạo, tư duy lý luận [15, tr. Guilford, có hai loại tư duy phân biệt, ngược với nhau: tư duy hội tụ và tư duy phân kỳ [61]. Tác giả Nguyễn Văn Lộc trong [59] đã trình bày 5 cách xem xét về phương diện tư duy: Xem xét về phương diện lịch sử hình thành và phát triển tư duy; xem xét về phương diện lôgic hình thức và lôgic biện chứng; xem xét về phương diện 7 tính chất, kết quả của quá trình tư duy; xem xét về phương diện cấu trúc khác nhau của hiện thực; xem xét về phương diện các dấu hiệu đặc thù của đối tượng tư duy. Trong cuốn Phương pháp tư duy lôgic [96], tác giả Tiến Thành đề cập đến rất nhiều loại hình tư duy, chẳng hạn: Tư duy động, tư duy tĩnh, tư duy ngược, tư duy chiều dọc, tư duy chiều ngang, tư duy liên tưởng,.

Trên đây là một số cách phân loại tư duy, qua đó có thể thấy rằng cách phân loại tư duy là hết sức đa dạng và “Tùy theo nội dung và tính chất của những nhiệm vụ cần giải quyết mà tư duy được phân thành các kiểu khác nhau” [40, tr. Những điều kiện hình thành các kiểu tƣ duy khác nhau trong dạy học Theo A.130], trong tình huống sư phạm đã cho, hình thành được kiểu tư duy nào, điều đó phụ thuộc vào bốn nhân tố: tính chất của tài liệu học tập; kiểu bài toán; lứa tuổi và trình độ của học sinh; phương thức dạy học. Nhân tố thứ nhất – Tính chất của tài liệu: Hiểu tài liệu có nghĩa là xác định được mối liên hệ giữa các sự vật và hiện tượng với nhau, cũng như với kinh nghiệm và những tri thức đã có của học sinh. Từ đó, ông quan niệm: tư duy – có nghĩa là vận dụng những mối liên hệ này để giải những bài toán xác định.

Pêtrôvxki [74] cho rằng: nếu tư duy là chân thực, tức nó phản ánh hiện thực một cách đúng đắn, thì nó chỉ có thể dựa trên những mối liên hệ thực sự có trong các tri thức xuất phát của nó. Vì thế, dựa theo tính chất về mối liên hệ mà tạo khả năng triển khai loại hình tư duy, không phải trên mọi tài liệu đều có thể hình thành bất kì kiểu tư duy nào. Vì vậy, ở trường phổ thông, tính chất khác nhau của các môn học cũng như giữa các nội dung kiến thức trong một môn học, tạo khả năng cho sự triển khai một kiểu tư duy xác định. Chẳng hạn, khi xem xét một định lý toán học, chúng ta không chỉ quan tâm định lý thuận, mà còn quan tâm đến mệnh đề đảo của định lý, nghĩa là xem xét định lý trong mối liên hệ hai chiều, tạo khả năng cho kiểu tư duy xem xét sự vật hiện tượng theo hai chiều ngược nhau.

Nhân tố thứ hai - Tính chất của bài toán là nhân tố sản sinh ra sự cần thiết của kiểu tư duy. Mỗi bài toán muốn giải được đòi hỏi phải phát hiện và sử dụng những mối liên hệ xác định của các dữ kiện xuất phát. Chẳng hạn, những bài toán về chứng minh trong toán học đòi hỏi phải phát hiện và sử dụng những mối liên hệ lôgic của các dữ kiện tất yếu, do đó tư duy lôgic là cần thiết, còn việc giải các phương trình (chẳng hạn như x 2 2x 8 ) thường chỉ đòi hỏi những biến đổi hợp qui tắc, vì thế tư duy thực hành là cần thiết. Như vậy, bản thân bài toán buộc tư duy phải dựa trên kiểu 8 mối liên hệ này hay kiểu mối liên hệ kia trong các dữ kiện xuất phát và do đó nó cũng quyết định kiểu tư duy nào được thực hiện khi giải bài toán đó.

Hơn thế nữa, bằng cách biến đổi tính chất của bài toán có thể bồi dưỡng cho các em những kiểu tư duy khác nhau.1: a) So sánh 210 với 103 ; b) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để 2n > n3. Với câu a) học sinh nghĩ ngay rằng: chỉ việc thực hiện phép tính 210 và so sánh kết quả với 1000 - tư duy thực hành. Tuy nhiên, đối với câu b) đòi hỏi phải tìm tòi, phải đi theo con đường ngược lại - từ dữ kiện của bài toán đến chỗ tìm tòi lời giải, phải nghĩ đến quy nạp toán học, nghĩ đến khảo sát hàm số,. khiến cho hoạt động trí tuệ của các em có đặc điểm khác, nâng cao tính tích cực trí tuệ của học sinh.

Nhân tố thứ ba – lứa tuổi và trình độ phát triển của học sinh. Khó qui định được các giới hạn của lứa tuổi. Vygotski đã chứng tỏ, những cấp độ và những kiểu tư duy khác nhau có thể đồng thời tồn tại ở cùng một người tùy theo tri thức và thực tiễn tư duy tương ứng của người đó trong lĩnh vực này hay lĩnh vực khác. Tuy nhiên, nhìn chung rõ ràng là cùng với lứa tuổi, tư duy phát triển từ kiểu hình tượng – thực hành sang kiểu tư duy khoa học và tư duy lý thuyết.1 ở trên, câu a) HS tiểu học cũng làm được, các em phải thực hành tính toán 210 bằng 1024.

Với câu b) HS lớp 10 chỉ có thể nghĩ đến quy nạp toán học, với HS lớp 12 có thể nghĩ đến khảo sát hàm số, logarit hóa,. Nhân tố thứ tư – phương thức dạy học, phương thức xác định các mối quan hệ mà tư duy vận dụng. Như vậy, trong quá trình dạy học, giáo viên cần phải xem xét bốn nhân tố trên một cách linh hoạt, để lựa chọn và có phương pháp bồi dưỡng loại hình tư duy thích hợp một cách hiệu quả nhất, nhằm đạt được mục đích dạy học. Tƣ duy toán học 1.

Một số quan niệm về tƣ duy toán học Theo Nguyễn Văn Lộc [59], tư duy toán học được hiểu: Thứ nhất là hình thức biểu lộ của tư duy biện chứng trong quá trình con người nhận thức khoa học Toán học hay trong quá trình áp dụng Toán học vào các khoa học khác như kĩ thuật, kinh tế quốc dân, .