Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Tổng quan những nghiên cứu về ngôn ngữ toán học và năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học 1. Tổng quan những nghiên cứu về ngôn ngữ toán học Trên thế giới: Theo tác giả A.Stôliar (1969) "Sử dụng NNTH hiện đại (Logic toán) trong giảng dạy Toán ở trường phổ thông hiện nay là một đề tài cần tranh luận rộng rãi. Để giải quyết nó có hiệu quả về mặt SP, cần có những nghiên cứu thực nghiệm lâu dài, ngay cả Thầy giáo cũng phải nắm vững một cách đúng đắn NN này" [1].
Stôliar cũng đã chứng minh sự cần thiết phải đưa vào giảng dạy cho HS ở THPT một số yếu tố cơ bản của lý thuyết tập hợp và logic toán (Dẫn theo [62]). Tác giả Martin Hughes (1986) [95], đã nghiên cứu về sử dụng các kí hiệu số học trong học tập toán của HS và những khó khăn của HS khi học tập NNTH này. Tác giả Pimm (1987), Laborde (1990), Ervynck (1982), đã nghiên cứu về NNTH trong học tập toán của HS. Các nhà nghiên cứu đã khẳng định, không có NNTH sẽ không có quá trình giao tiếp trong lớp học toán và toán học không thể diễn ra, nhận thấy NNTH thực sự là một khó khăn, vướng mắc trong học tập toán vì NNTH khác biệt so với NN sử dụng hàng ngày (Dẫn theo [3]).
Tác giả Eula Ewing Monroe và Robent Panchyshyn (1995) [86], nghiên cứu về vấn đề từ vựng, kí hiệu của NNTH và nêu lên sự cần thiết của sử dụng NNTH trong việc phát triển các khái niệm toán học, định lý toán học. Tác giả Birgit Pepin (2007) đã nghiên cứu về chương trình giảng dạy quốc gia của nước Anh về NNTH. Tác giả nhận định ngay từ cấp Tiểu học chương trình đã chú ý đến vấn đề NN nói chung và NNTH nói riêng. Bước đầu, HS cần sử dụng đúng NN, kí hiệu, từ vựng trong học tập môn toán, sử dụng nói, viết đúng NN thông thường và sau đó là NNTH.
Giai đoạn sau HS cần phải giao tiếp bằng NNTH bao gồm cả việc sử dụng chính xác NNTH trong toán học và trong thực tiễn (Dẫn theo [4]). 8 Ở trong nước: Tác giả Hà Sĩ Hồ (1990) [35], đã cho rằng NNTH chủ yếu là NN sử dụng kí hiệu, NNTH không phải là NN "lời nói" mà chủ yếu là NN "viết". Tác giả Hoàng Chúng (1994) [14], đã nghiên cứu về sử dụng NNTH trong SGK toán cấp 2. Theo tác giả thì quá trình phát triển toán học luôn đòi hỏi phải mở rộng, thay đổi một khái niệm, kéo theo việc mở rộng thay đổi cách hiểu đối với một thuật ngữ, một kí hiệu; Trong toán học có thể dùng các kí hiệu khác nhau để chỉ cùng một đối tượng nhưng không không được dùng một kí hiệu để chỉ hai đối tượng khác nhau trong cùng một vấn đề.
Các tác giả Phạm Văn Hoàn, Trần Thúc Trình, Nguyễn Gia Cốc (2004) [31], cho rằng NNTH khác NNTN ở chỗ tính gọn gàng, khả năng biểu đạt chính xác các tư tưởng toán học, rất thích hợp trong việc biểu đạt các quy luật chung do NNTH có sử dụng NN biến. Theo tác giả Phan Anh (2012) ''NNTH chủ yếu là sử dụng kí hiệu'' [2]. Do đó, sự phát triển của NNTH gắn liền với sự phát triển của kí hiệu toán học. Những giai đoạn chính phát triển kí hiệu toán học là: Giai đoạn hình thành hệ thống số tự nhiên và phân số.
Đây là giai đoạn đưa vào hệ thống số đếm theo thứ tự và ý nghĩa đặc biệt của số 0. Người ta so sánh một cách tương đối việc ghi lại các số trong hệ thống số La Mã không có thứ tự và hệ thống số đếm có thứ tự. Việc thành lập hệ thống số đếm có thứ tự cho phép việc ghi chép những phép toán trong số học ngắn gọn hơn như +, - , x, ,. Giai đoạn phát triển các hệ thống kí hiệu của đại số.
Việc phát triển của hệ thống này cho phép thể hiện các biến đổi và quy tắc giải phương trình, bất phương trình một cách trực quan hơn. Việc phát triển hệ thống kí hiệu trong Giải tích có liên quan đến sự xuất hiện của phép tính vi phân, tích phân. Giai đoạn phát triển kí hiệu trong Lý thuyết tập hợp và logic toán (Dẫn theo 2]. Như vậy, từ những năm 1970 NNTH bắt đầu được nghiên cứu một cách có hệ thống trong mối quan hệ mật thiết với NNTN.
Các nhà nghiên cứu đã khẳng định không có NNTH sẽ không có quá trình giao tiếp trong lớp học toán, điều đó khẳng định vai trò quan trọng của NNTH trong dạy và học toán. Tổng quan những nghiên cứu về năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học Trên thế giới: Theo tác giả Ken Winogand, Karen M. Từ đó, giáo viên giúp HS có các phương tiện cho biểu diễn toán học, giao tiếp toán học, phán ánh và lập luận toán học. Hệ thống các công cụ trên là một bộ phận không tách rời trong các lập luận và suy luận toán học của HS.
Tác giả David Chard (2003) [84], đã nghiên cứu về từ vựng của NNTH, xây dựng kế hoặch phát triển vốn từ vựng trong học tập toán và nhận thấy rằng NNTH là một phương tiện rất quan trọng giúp HS phát triển khái niệm mới. HS học tập toán tốt nhất bằng cách rèn luyện sử dụng NNTH và sự hiểu biết về NNTH sẽ cung cấp cho HS những kỹ năng cần thiết để suy nghĩ, nói và hiểu khái niệm toán học, vận dụng khái niệm. Trong thời gian gần đây, các nhà nghiên cứu GD toán học ở Châu Âu chú ý nhiều hơn đến NN trong DH môn toán ở phổ thông. Hội nghị lần thứ tư (CERME4, 2005) [88], của Hiệp hội châu Âu về nghiên cứu GD toán học cho thấy cần phải tập trung vào DH phát triển NNTH trên các phương diện từ vựng, cú pháp, ngữ nghĩa.
Nhiều nhà nghiên cứu cũng chỉ ra những giải pháp dạy học NNTH được tốt hơn, góp phần nâng cao kết quả học tập môn toán trong trường phổ thông. Tác giả Mihaela Singer (2007), đã nghiên cứu về NNTH trong chương trình giáo dục phổ thông môn toán của Rumani, tác giả đưa ra nhận định sau: Giao tiếp bằng NNTH là một trong bốn mục tiêu giáo dục môn Toán được thực hiện bắt đầu từ lớp một đến lớp cuối cùng của giáo dục phổ thông. NN là phương tiện để biểu đạt tri thức toán học. Theo tác giả, việc giúp cho HS có kỹ năng sử dụng các khái niệm toán học, định lý toán học chính là việc giúp họ sử dụng NNTH một cách chính xác, rõ ràng.
Cũng theo tác giả, NNTH chính là công cụ, phương tiện giúp cho HS giải quyết các vấn đề về toán học liên quan đến thực tiễn (Dẫn theo [3]). Tác giả Charlene Leaderhouse (2007) [81], đã nghiên cứu về NNTH, sự hiểu biết và sử dụng NNTH của HS. Tác giả đã nhận thấy khả năng hiểu, sử dụng chính 10 xác các kí hiệu và thuật ngữ toán học sẽ hỗ trợ nhiều cho sự hiểu biết về khái niệm, toán học, định lý toán học và trong quá trình học tập học sinh cần học tập, nghiên cứu trong môi trường có sự thảo luận ý tưởng, được thực hành sử dụng NNTH. Tác giả Glenda Anthony và Margaret Walsaw [91], đã nghiên cứu về đổi mới DH môn toán trong nhà trường.
Tác giả cho rằng GTTH, NNTH, các công cụ BDTH là một trong các nguyên tắc cơ bản của việc đổi mới giảng dạy toán học, giáo viên cần khuyến khích HS truyền đạy ý tưởng của mình bằng lời nói, bằng văn bản, bằng cách sử dụng một loạt các biểu diễn toán học.Trernu-sepxki: “Rèn luyện kỹ năng dùng NN chính xác chính là rèn luyện tư duy chính xác. Khi HS làm bài mà chú ý đến từng câu hỏi, chữ, các dấu chấm, dấu phẩy thì chính là họ đang tư duy. Trong các bài tập ra cho HS, nên có bài tập yêu cầu diễn tả các công thức sang NN thông thường để chống bệnh hình thức và rèn luyện dùng NN cho chính xác’’(Dẫn theo [62]). Theo tác giả Rheta N Rubenstein (2009) [98], GTTH là một nội dung quan trong trong mục tiêu Giáo dục Toán học.
Tác giả đã cho rằng việc học vốn từ vựng chính là một phương tiện giao tiếp toán học một cách hiệu quả, kí hiệu là một yếu tố quan trọng của NNTH trong học tập môn toán, là công cụ biểu diễn các quan hệ trong toán học và giải quyết ngắn gọn các vấn đề toán học. Từ đó, tác giả cũng đã đề xuất một số biện pháp hỗ trợ GV khắc phục khó khăn của HS trong học tập toán về phương diện cú pháp và ngữ nghĩa của NNTH. Theo định nghĩa về hiểu biết toán của OECD/ PISA (2014) là: “Hiểu biết toán là NL của một cá nhân để xác định và hiểu vai trò của toán học trong cuộc sống, để đưa ra những phán xét có cơ sở, để sử dụng và gắn kết với toán học theo các cách đáp ứng nhu cầu của cuộc sống của các nhân đó với tư cách là một công dân có tính xây dựng, biết quan tâm và biết phản ánh. Cách đánh giá NL toán học của HS theo PISA không nghiêng về đánh giá hệ thống kiến thức mà nhấn mạnh đánh giá kiến thức toán học được HS sử dụng như thế nào để tạo ra khả năng suy xét lập luận và hiểu được ý nghĩa thực tiễn của kiến thức toán học.
Việc đánh giá các mức NL của HS nói chung đạt được chủ yếu tiến hành qua kiểm tra HS bằng đề kiểm tra” [6]. 11 Ngoài ra, trên thế giới còn có rất nhiều nhà nghiên cứu đã quan tâm đến NNTH, ảnh hưởng của sử dụng NNTH đến việc dạy và học Toán như: Bill Barton (2008) [79], Chad Larson (2007) [80], F.Weinert (2001) [89], Fernando Hitt (2002) [90], KenWinogand, Kenren M. Ở trong nước: Theo tác giả Nguyễn Bá Kim (2011) ''Những hoạt động NN được HS thực hiện khi họ được yêu cầu phát biểu, giải thích một định nghĩa, một mệnh đề nào đó, đặc biệt là bằng lời lẽ của mình, hoặc biểu đạt chúng từ dạng này sang dạng khác, chẳng hạn từ dạng khoa học toán học sang dạng NNTN hoặc ngược lại'' [41]. Tác giả Nguyễn Bá Kim (2011) [41], cho rằng việc phát triển tư duy logic và NN chính xác ở HS qua môn toán có thể thực hiện theo ba hướng liên quan chặt chẽ với nhau: + Làm cho HS nắm vững, hiểu đúng và sử dụng đúng những liên kết logic “và”, “hoặc”, “nếu thì”, phủ định, những lượng từ tồn tại và với mọi.
+ Phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với định nghĩa. + Phát triển khả năng chứng minh, trình bày lại chứng minh và độc lập tiến hành chứng minh.