Phát Triển Năng Lực Chứng Minh Toán Học Cho Học Sinh THPT Trong Dạy Học Hình Học

Luận văn thạc sĩ giáo dục phân tích phát triển năng lực chứng minh cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học hình học, đánh giá thực trạng, chỉ ra hạn chế, đề xuất giải pháp

• Tác giả: Nguyễn Mạnh Hùng
• Người hướng dẫn: PGS.TS Cao Thị Hà
• Trường học: Đại học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
• Đề tài: Phát Triển Năng Lực Chứng Minh Toán Học Cho Học Sinh THPT
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục
• Năm xuất bản: 2014
• Địa điểm: Thái Nguyên

Tóm tắt

I. Tổng quan về phát triển năng lực chứng minh toán học cho học sinh THPT

Phát triển năng lực chứng minh toán học cho học sinh THPT là một trong những mục tiêu quan trọng trong giáo dục hiện nay. Năng lực này không chỉ giúp học sinh hiểu sâu về các khái niệm toán học mà còn rèn luyện tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Việc chứng minh toán học giúp học sinh phát triển tư duy phản biện và khả năng phân tích, tổng hợp thông tin. Theo nghiên cứu của Nguyễn Mạnh Hùng (2014), việc dạy học hình học có vai trò quan trọng trong việc phát triển năng lực này.

1.1. Khái niệm năng lực chứng minh toán học

Năng lực chứng minh toán học được hiểu là khả năng sử dụng các quy tắc logic để chứng minh một mệnh đề toán học. Điều này bao gồm việc hiểu rõ cấu trúc của một phép chứng minh, từ luận đề đến luận cứ và luận chứng.

1.2. Tầm quan trọng của chứng minh trong học tập

Chứng minh không chỉ là một phần của toán học mà còn là một kỹ năng sống. Nó giúp học sinh phát triển khả năng tư duy phản biện và khả năng giải quyết vấn đề trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

II. Những thách thức trong việc phát triển năng lực chứng minh cho học sinh THPT

Mặc dù việc phát triển năng lực chứng minh cho học sinh THPT rất quan trọng, nhưng vẫn tồn tại nhiều thách thức. Nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc hiểu và áp dụng các phương pháp chứng minh. Theo khảo sát, một số học sinh không nắm vững các quy tắc logic cơ bản, dẫn đến việc không thể thực hiện các bài toán chứng minh một cách hiệu quả.

2.1. Khó khăn trong việc hiểu các phương pháp chứng minh

Nhiều học sinh không thể phân biệt giữa các loại chứng minh như chứng minh trực tiếp và chứng minh gián tiếp. Điều này gây khó khăn trong việc áp dụng đúng phương pháp cho từng bài toán.

2.2. Thiếu sự hỗ trợ từ giáo viên

Giáo viên đôi khi không có đủ thời gian để hướng dẫn học sinh một cách chi tiết về các phương pháp chứng minh, dẫn đến việc học sinh không nắm vững kiến thức.

III. Phương pháp hiệu quả để phát triển năng lực chứng minh cho học sinh THPT

Để phát triển năng lực chứng minh cho học sinh, cần áp dụng các phương pháp dạy học tích cực. Việc sử dụng các bài tập thực hành và các tình huống thực tế sẽ giúp học sinh hiểu rõ hơn về các khái niệm toán học. Ngoài ra, việc khuyến khích học sinh tham gia vào các hoạt động nhóm cũng rất quan trọng.

3.1. Tập luyện qua các bài tập thực hành

Các bài tập thực hành giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng chứng minh. Việc giải quyết các bài toán thực tế sẽ giúp học sinh áp dụng lý thuyết vào thực tiễn.

3.2. Khuyến khích hoạt động nhóm

Hoạt động nhóm giúp học sinh trao đổi ý tưởng và học hỏi từ nhau. Điều này không chỉ giúp phát triển năng lực chứng minh mà còn rèn luyện kỹ năng làm việc nhóm.

IV. Ứng dụng thực tiễn của năng lực chứng minh trong học tập

Năng lực chứng minh toán học không chỉ có giá trị trong môn Toán mà còn có ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác như Vật lý, Hóa học và Khoa học máy tính. Việc phát triển năng lực này giúp học sinh có khả năng phân tích và giải quyết vấn đề trong nhiều tình huống khác nhau.

4.1. Ứng dụng trong các môn học khác

Năng lực chứng minh giúp học sinh hiểu rõ hơn về các khái niệm trong Vật lý và Hóa học, từ đó áp dụng vào thực tiễn.

4.2. Tăng cường khả năng tư duy phản biện

Việc rèn luyện năng lực chứng minh giúp học sinh phát triển khả năng tư duy phản biện, một kỹ năng quan trọng trong học tập và cuộc sống.

V. Kết luận và hướng phát triển tương lai cho năng lực chứng minh

Phát triển năng lực chứng minh cho học sinh THPT là một nhiệm vụ quan trọng trong giáo dục hiện đại. Cần có sự phối hợp chặt chẽ giữa giáo viên và học sinh để đạt được mục tiêu này. Trong tương lai, việc áp dụng công nghệ vào dạy học có thể giúp nâng cao hiệu quả giảng dạy và học tập.

5.1. Tăng cường sự phối hợp giữa giáo viên và học sinh

Sự phối hợp này sẽ giúp học sinh nhận được sự hỗ trợ cần thiết trong quá trình học tập và phát triển năng lực chứng minh.

5.2. Ứng dụng công nghệ trong dạy học

Công nghệ có thể được sử dụng để tạo ra các bài tập tương tác, giúp học sinh học tập một cách hiệu quả hơn.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn Chương 2. Một số biện pháp sư phạm phát triển năng lực chứng minh hình cho học sinh thông qua dạy học hình học. Thử nghiệm sư phạm 4 CHƢƠNG I.

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Chứng minh Toán học 1. Khái niệm Khái niệm về chứng minh toán học cũng được nhiều nhà nghiên cứu định nghĩa theo nhiều cách khác nhau. Theo Nguyễn Bá Kim [11] “Trong toán học, một chứng minh là một cách trình bày thuyết phục (sử dụng những chuẩn mực đã được chấp nhận trong lĩnh vực đó) rằng một phát biểu toán học là đúng đắn.

Chứng minh có được từ lập luận suy diễn, chứ không phải là tranh luận kiểu quy nạp hoặc theo kinh nghiệm”. Có nghĩa là, một chứng minh phải biểu diễn cho thấy một phát biểu là đúng với mọi trường hợp, không có ngoại lệ. Một mệnh đề chưa được chứng minh nhưng được chấp nhận đúng được gọi là một phỏng đoán. Một mệnh đề đã được chứng minh thường được gọi là định lý, một khi định lý đã được chứng minh, nó có thể được dùng làm nền tảng để chứng minh các mệnh đề khác.

Một định lý cũng có thể được gọi là bổ đề, đặc biệt nếu nó được dự định dùng làm bước đệm để chứng minh một định lý khác. Theo tác giả Nguyễn Bá Kim [12] thì “Chứng minh một mệnh đề T là tìm ra một dãy hữu hạn A1 , A2 ,., An thỏa mãn các điều kiện sau : + Mỗi Ai (i = 1, 2,., n ) của dãy đó là một tiên đề, hoặc định nghĩa, hoặc suy ra từ một số trong các A1 , A2 ,., Ai 1 nhờ những quy tắc kết luận lôgic. + An chính là mệnh đề T. Như vậy có thể hiểu : Chứng minh toán học là quá trình suy luận hợp lôgic xuất phát từ các tiền đề đã biết là đúng (các tiền đề có thể là các tiên đề, các định nghĩa, các định lí đã được chứng minh và các giả thiết của mệnh đề dang cần chứng minh) và nhờ các quy tắc kết luận lôgic để dẫn đến một kết luận 5 đúng.

Do vậy, cấu trúc của một phép chứng minh toán học bao gồm : Luận đề - luận cứ - luận chứng. Cấu trúc của một phép chứng minh Mọi phép chứng minh logic đều gồm có 3 bộ phận : a) Luận đề : Nó trả lời cho câu hỏi : “Chứng minh cái gì?”. Như vậy ta có thể hiểu “luận đề” chính là kết luận của mệnh đề. b) Luận cứ: Là những tiên đề, định nghĩa, định lý đã biết, giả thiết (của mệnh đề cần chứng minh) được đưa ra làm tiền đề cho mỗi suy luận.

Nó trả lời cho câu hỏi : “Chứng minh dựa vào cái gì ?”. c) Luận chứng : Là những quy tắc suy luận lôgíc được sử dụng trong chứng minh. Nó trả lời cho câu hỏi : “chứng minh bằng cách nào, theo những qui tắc suy luận nào?” Ví dụ 1 : Chứng minh mệnh đề : “Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó)’’. Ta sẽ đi chứng minh mệnh đề này, muốn vậy ta chuyển mệnh đề trên sang ngôn ngữ toán học như sau: Cho hai đường thẳng d1 // d 2 ,nếu  d1  ( )   d 2  (  ) thì d // d1 // d 2 hoặc d  d1 hoặc d  d 2 .Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Như vậy qua chứng minh mệnh đề trên ta thấy: - Luận đề : d // d1 // d 2 hoặc h d  d1 oặc d  d 2. - Luận cứ : + Các giả thiết của mệnh đề + Khái niệm hai đường thẳng song song, giao tuyến của hai mặt phẳng và các tính chất kèm theo + Định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng : Giả sử ( ) và ( ) lần lượt đi qua hai đường thẳng d1 và d 2 song song với nhau, gọi d là giao tuyến của ( ) và ( ) khi đó áp dụng định lý về giao tuyến của 3 mặt phẳng ( ) , ( ) và ( d1 , d 2 ) thì rõ ràng d // d1 // d 2 hoặc d  d1 hoặc d  d 2. Đó chính là điều phải chứng minh. - Luận chứng : Trong phép chứng minh trên ta sử dụng quy tắc lôgic A Þ B, A B 1.

Các phép chứng minh toán học Trong Toán học người ta có các phép chứng minh như sau: a) Phép chứng minh diễn dịch : Phép chứng minh diễn dịch là phép chứng minh mà dựa trên các tiền đề đã biết (được gọi là các luận cứ) và những quy tắc suy luận (được gọi là các luận chứng) để suy ra điều phải 7 chứng minh (được gọi là các luận đề). Trong phép chứng minh diễn dịch người ta chia thành hai loại : phép chứng minh trực tiếp và phép chứng minh gián tiếp (hay còn gọi là chứng minh phản chứng) *) Phép chứng minh trực tiếp: Phép chứng minh trực tiếp là dựa trên các luận cứ, những qui tắc suy luận để rút ra luận đề. Cơ sở của chứng minh trực tiếp là các quy tắc suy luận (Modus ponens). Ta có thể hiểu phép chứng minh này như sau: Giả sử ta phải chứng minh mệnh đề A  B là đúng (A là giả thiết, B là kết luận), ta lập các mệnh đề mới A1, A2, …, An gọi là các mệnh đề trung gian và chứng minh các mệnh đề sau đây đúng: A  A1…, A1  A2, …, An  B.

Tức là ta đã vận dụng liên tiếp các quy tắc kết luận sau: A  A1 , A A1  A2 , A1 A  B, An , ,., n A1 A2 B Theo quy tắc bắc cầu, ta có:  A  A1    A1  A2  .   An  B  B Ví dụ 2: Chứng minh tính chất: Trong mọi hình bình hành, hai cạnh đối diện luôn bằng nhau. Sau đây là đoạn trình bày chứng minh A D một cách chi tiết Kẻ đường chéo AC, chia hình bình hành ABCD ra làm hai tam giác ABC và B C ADC. (i) Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng tao thành một cát tuyến hai góc so le trong bằng nhau.

AD // BC (theo giả thiết)  Vậy CAD  ACB (so le trong) 8  (ii) chứng minh tương tự, ta được: BAC  ACD (iii) Nếu hai tam giác có một cạnh bằng nhau kề với hai góc bằng nhau từng đôi một thì hai tam giác đó bằng nhau. Hai tam giác ABC và ADC có cạnh AC chung  CAD  ACB  và BAC  ACD theo chứng minh trên Vậy hai tam giác đó bằng nhau theo trường hợp g – c – g (iv) Nếu hai tam giác bằng nhau thì đối diện với các cặp góc bằng nhau là những cặp cạnh bằng nhau. Hai tam giác ABC và ADC bằng nhau, mặt khác hai cạnh AD và BC đối  diện với hai góc bằng nhau BAC  ACD , hai cạnh AB và CD đối diện với hai  góc bằng nhau CAD  ACB. Vậy AD = BC và AB = CD.

Mỗi mắt xích (i), (ii), (iii), (iv) là một đoạn áp dụng quy tắc kết luận A  B, A lôgic (1). Giáo viên cần nhấn mạnh sơ đồ (1) thông qua những ví dụ B cụ thể như trên để học sinh lĩnh hội quy tắc đó một cách ẩn tàng. Thông thường khi vận dụng quy tắc 1, nếu A  B là một định nghĩa hay định lí thì người ta thường trình bày vắn tắt không nhắc lại định nghĩa hay định lý đó. Vì vậy, đoạn chứng minh trên có thể được viết ngắn gọn như sau: Kẻ đường chéo AC chia hình bình hành ABCD thành hai tam giác ABC và ADC.

Vậy ABC  CDA (g – c – g)  AB  CD và BC  DA Ví dụ 3: Chứng minh định lý sau: a b c Với mọi tam giác ABC ta có:   sin A sin B sin C ABC có GT BC = a, AC = b, AB = c a b c KL   sin A sin B sin C A A B C H B C H Sau khi cho học sinh vẽ hình, ghi GT, KL như trên, ta hướng dẫn học sinh chứng minh định lý như sau: Kẻ đường cao AH, ta có: AH  BC suy ra          AH. AB  Tức là: AH .cos HAC   AH .cos HAB   AC.cos HAC   AB.cos HAB  Vì cos HAC   sin C và cos HAB  sin B nên AC.sin B b c Vì sin C,sin B đều khác 0 nên  sin B sin C Bằng cách kẻ đường cao BH và chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: a c  sin A sin C a b c Vậy ta có:   sin A sin B sin C 10 Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB và COD tiếp xúc ngoài với nhau. Giải : Phân tích: Gọi M, N lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại M tiếp hai tam giác AOB và COD.

D Ta có: AOD  COB (c.c) A O Do đó các đường tròn ngoại tiếp hai tam giác này B C có bán kính bằng nhau: N MO = MD = NO = NB (1) MDO  NBO (c.c)  Suy ra: MOD  , dẫn tới ba điểm M, O, N thẳng hàng. (2)  NOB Từ (1) và (2) Suy ra: MN = MO + ON, tức là đoạn nối tâm bằng tổng hai bán kính nên các đường tròn (M) và (N) tiếp xúc ngoài với nhau. Như vậy qua việc chứng minh trên ta đã nhấn mạnh và làm nổi bật cho học A  B, A sinh quy tắc kết luận lôgíc rất thông dụng là. Giáo viên cần quan B tâm dùng những ví dụ cụ thể bác bỏ những sai lầm do học sinh thường ngộ nhận đó là: A  B, B A  B, A hay A A B M Tóm lại: phép chứng minh trực tiếp ưu điểm nổi bật là trình bài gọn gàng, chặt chẽ, có hệ thống.

Do vậy O B phép chứng minh này thường được sử dụng để trình bày phép chứng minh hầu hết các định lý trong sách giáo khoa hoặc trình bày bài giải một bài toán nói chung và lời giải một bài toán chứng minh hình học nói riêng.