MỞ ĐẦU Lí do chọn đề tài 1. Các đại lượng hình học là nội dung quan trọng trong chương trình Toán cấp tiểu học và được quan tâm trong nhiều nghiên cứu Khi nghiên cứu về khái niệm diện tích trong dạy học Toán ở trung học cơ sở, Trần Đức Thuận [88, tr. 51] nhận thấy “quan niệm gắn diện tích của một hình với số chiếm ưu thế so với quan niệm xem diện tích là phần mặt phẳng được giới hạn bởi hình đó”. Trong khi đó, Huỳnh Thị Kim Nga [66, tr.
68] đã tiến hành các thực nghiệm nhằm khẳng định “phần lớn HS ở cuối tiểu học và trung học cơ sở quan niệm rằng thể tích của một hình là phần không gian mà nó chiếm chỗ”. Theo những kết quả này, cùng ở cấp trung học cơ sở, phần lớn HS gắn diện tích với số nhưng chỉ thiểu số HS gắn thể tích với số. Chúng tôi tự hỏi sự khác biệt, phân hóa này diễn ra từ trung học cơ sở hay từ tiểu học? Để trả lời câu hỏi này, chúng tôi tiến hành nghiên cứu kĩ hơn về diện tích, thể tích nói riêng, các đại lượng hình học nói chung trong dạy học Toán tiểu học. Trong Chương trình giáo dục phổ thông 2006 1, nội dung môn Toán cấp tiểu học được chia thành 4 mạch kiến thức: số học; đại lượng và đo đại lượng; yếu tố hình học, giải bài toán có lời văn [11, tr.
Chúng tôi nhận thấy các thuật ngữ độ dài, chu vi, diện tích, thể tích xuất hiện trong cả hai mạch kiến thức: đại lượng và đo đại lượng, yếu tố hình học và gọi chung đó là các đại lượng hình học như cách gọi của các tác giả Nguyễn Phụ Hy, Bùi Thị Hường [57, tr. So với Chương trình năm 2006, Chương trình giáo dục phổ thông 2018 2 cấu trúc lại nội dung môn Toán thành 3 mạch kiến thức xuyên suốt từ lớp 1 đến hết lớp 12, cụ thể: số, đại số và một số yếu tố giải tích; hình học và đo lường; thống kê và xác suất. 1 Chương trình giáo dục phổ thông 2006 được ban hành theo Quyết định số 16/2006/QĐ- BGDĐT ngày 05 tháng 5 năm 2006 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo. 2 Chương trình giáo dục phổ thông 2018 được ban hành theo Thông tư số 32/2018/TT- BGDĐT ngày 26 tháng 12 năm 2018 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo.
2 Trong Chương trình năm 2018, độ dài, diện tích, thể tích được đưa vào phần đo lường. Mặc dù có sự khác biệt về cấu trúc các mạch kiến thức, cả chương trình hiện hành [11, tr. 114] và chương trình mới [15, tr. 16] đều khẳng định dạy học những đại lượng cơ bản này và đo lường chúng là một trong những nội dung trọng tâm, quan trọng nhất của giáo dục toán học.
Không chỉ có vị thế quan trọng trong chương trình Toán cấp tiểu học, các đại lượng hình học còn có ý nghĩa quan trọng trong lịch sử hình thành, phát triển Toán học, thể hiện qua những kết quả nghiên cứu tri thức luận về các đại lượng hình học. Tác giả Baltar [128, tr. 13-32] khẳng định khái niệm diện tích gắn liền với ba bài toán đặc trưng là xác định số đo, so sánh diện tích, cầu phương ngay từ thời cổ đại. Có ảnh hưởng quan trọng đến sự hình thành và phát triển của hình học, số học, phép tính vi tích phân, lí thuyết độ đo nhưng khái niệm diện tích chỉ được định nghĩa một cách chính xác bởi lí thuyết độ đo từ thế kỉ XIX.
Đối với bài toán so sánh diện tích và cầu phương, tác giả Baltar [128, tr. 16] và Pressiat [139] giới thiệu hai cách tiếp cận: cách tiếp cận hình học với lí thuyết đẳng hợp; cách tiếp cận gắn với số. Tuy nhiên, theo định lí Dehn, chỉ lí thuyết đẳng hợp là chưa đủ để tiếp cận thể tích các khối đa diện [139, tr. Với khái niệm độ dài, các tác giả Bessot, Eberhard [129] giới thiệu cách tiếp cận từ cấu trúc của tập hợp các đối tượng được đánh dấu và hàm độ đo, tương ứng với mô hình định vị và đo lường.
Với sự ra đời của lí thuyết độ đo, các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích được định nghĩa khi xây dựng được hàm độ đo phù hợp từ tập hợp các đối tượng hình học vào tập hợp các số thực không âm, thỏa mãn các tính chất cộng tính, bất biến qua phép dời hình. Tùy theo lựa chọn đơn vị đo là đoạn thẳng, hình vuông, hình lập phương mà hàm độ đo tương ứng cho phép định nghĩa khái niệm độ dài, diện tích, thể tích. Các tác giả Perrin- Glorian [138, tr. 23] xây dựng quan hệ tương đương các hình cùng số đo diện tích.
Diện tích của hình A được định nghĩa là lớp tương đương chứa A, không phụ thuộc vào việc chọn hình đơn vị. 3 Tương tự, các khái niệm độ dài, thể tích được định nghĩa gắn với lớp tương đương, không phụ thuộc vào hình đơn vị. Khi đó, các khái niệm độ dài, diện tích cần được phân biệt ở ba phương diện: phương diện hình với các hình dạng; phương diện số với các độ đo; phương diện đại lượng với các lớp tương đương. 80-81] Về phương diện chuyển hóa sư phạm, vị trí của các đại lượng hình học và đặc trưng trong mỗi thể chế dạy học, chúng tôi tìm được nhiều công trình nghiên cứu giá trị.
Qua bài báo của tác giả Perrin-Glorian [138, tr. 12-31], chúng ta có thể thấy rõ vấn đề dạy học đo lường và đại lượng cấp tiểu học và trung học cơ sở ở Pháp trước năm 1990. Đặc trưng của giai đoạn 1887 đến 1945 là tính thực tế, dạy học đo lường gắn với số thập phân. Giai đoạn 1945 đến 1969 phân biệt số cụ thể và số trừu tượng, phân biệt số và đại lượng, nhưng có sự lẫn lộn các phép tính trên đối tượng và đại lượng.
Ở giai đoạn 1969 đến 1978, đo lường có sự khác biệt giữa thực tiễn và toán học, đồng nhất số đo đại lượng với giá trị số không kèm đơn vị đo. Đây cũng là giai đoạn xuất hiện từ diện tích và đơn vị đo không chuẩn. Giai đoạn từ 1978, thuật ngữ đo lường được sử dụng với ý nghĩa vật lí, phân biệt đại lượng đo lường và đại lượng định vị. Ba kiểu hoạt động là: so sánh và phân loại trước khi sử dụng dụng cụ đo lường; thiết kế các số đo khác nhau và xác định một chuẩn, từ tùy ý đến thông thường; tính chất cộng tính của các đại lượng.
Từ năm 1980, chương trình tiểu học của Pháp xem xét diện tích như bất biến của một lớp các bề mặt, phân biệt diện tích bề mặt với số đo. Tác giả phân biệt: các đơn vị đo lường, các dụng cụ đo lường (lấp đầy bề mặt, sử dụng công thức), đo lường theo nghĩa ánh xạ toán học hiện đại. Nghiên cứu về dạy học khái niệm diện tích ở Pháp và Ý, tác giả Céli [131] nhận thấy công thức tính diện tích hình phẳng có vai trò cầu nối giữa hình học và số học. Tác giả Chambris [132] nghiên cứu mối quan hệ giữa đại lượng, số và phép toán trong chương trình Toán tiểu học ở Pháp.
Tác giả Anwandter-Cuellar [127] nghiên cứu vị trí và vai trò của các đại lượng đối với số học, hàm số và hình học trong chương trình cấp trung học cơ sở ở Pháp. Ở Việt Nam, tác giả Dương Hữu Tòng [91, tr. 80] đề cập vai trò, cơ chế công cụ của diện tích khi dạy học khái niệm 4 phân số ở tiểu học. Tác giả Vũ Văn Tám [79] chỉ ra một số điểm tương đồng, khác biệt về mục tiêu, cấu trúc, nội dung dạy học Hình học cấp tiểu học giữa Việt Nam và Singapore.
Một số chướng ngại, sai lầm thường gặp cũng được đề cập trong những công trình đã công bố. Tác giả Baltar [128, tr. 17-18] nhắc đến nghịch lí nảy sinh liên quan khái niệm vô hạn, liên tục trong cách tính diện tích của Cavalieri ở thế kỉ XVII. Tác giả Brousseau [130] nhắc đến đặc trưng phức tạp của khái niệm đo lường.
Đối tượng được đo lường có thể là những sự vật cụ thể (như cái bàn), hoặc đã được toán học hóa (như hình chữ nhật), khái niệm hóa (như khoảng thời gian). Mặt khác, tương ứng với cùng một đối tượng có nhiều đại lượng như diện tích, khối lượng, dung tích. Sự phức tạp của đo lường còn liên quan đến giá trị đặc trưng bởi lớp tương đương mà không phụ thuộc vào đơn vị đo, liên quan đến khả năng tồn tại nhiều phép đo, hàm độ đo, độ chính xác của phép đo, giá trị đo, số đo cụ thể tùy vào đơn vị đo được chọn. Đặc trưng phức tạp này cũng được đề cập trong luận án của các tác giả Chambris [132, tr.
126] và Anwandter-Cuellar [127, tr. Theo đó, việc định nghĩa đại lượng trong dạy học là một nhiệm vụ khó khăn, khái niệm đại lượng và các chức năng của nó trong toán học vẫn còn bị lẫn lộn. Thậm chí, vào cuối thế kỉ XIX, các đại lượng biến mất khỏi toán học, tham gia lĩnh vực vật lí học. Tác giả Perrin-Glorian [138, tr.
31] đã chỉ ra một số khó khăn và sai lầm thường gặp ở HS trong dạy học đại lượng diện tích: – Hình đơn vị thường có hình dạng cụ thể. Số đo diện tích của mặt S phụ thuộc vào khả năng lấp đầy mặt S bởi hình đơn vị đó. HS có thể gặp khó khăn khi biểu thị diện tích một hình tam giác bằng cm2 vì không thể tạo được hình tam giác từ những hình vuông nguyên vẹn. – Diện tích gắn với mặt và không tách rời khỏi các đặc điểm khác của mặt này: nếu chu vi tăng thì diện tích cũng tăng (và ngược lại); nếu hai mặt có cùng chu vi, chúng có cùng diện tích (và ngược lại).
HS gặp khó khăn khi phân biệt diện tích với độ dài mà đặc biệt là diện tích và chu vi. 5 – Mở rộng công thức cho những tình huống mà kích thước các cạnh không còn giá trị như trường hợp hình bình hành, hình tam giác. Tác giả Perrin-Glorian [138, tr. 32-35] còn đề xuất ba giả thuyết: (H1) Sự phát triển trong dạy học khái niệm diện tích như một đại lượng giúp HS thiết lập mối quan hệ cần thiết giữa phạm vi hình và phạm vi số.
(H3) Trong phạm vi hình học, sự tương tác giữa quan điểm tĩnh và động là cần thiết trong việc khái niệm hóa đại lượng diện tích và phân biệt với độ dài. Góp phần củng cố ba giả thuyết trên, tác giả Baltar [128, tr.