Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT Chương này trình bay tong quan uê các kiến thức làm cơ sở lý thuyết như trang thái kết hợp, trạng thái kết hợp lẻ, trang thái kết hợp thêm photon. Bên cạnh đó, các tính chất phi cổ điển như nén tổng, nén hiệu, tính chất phản kết chùm hai mode va sự 0í phạm bất đẳng thúc Cauchụ ~ Shuarz cũng như một số tiêu chuẩn đan rối cũng được chúng tôi trình bày khá chi tiết. Trạng thái kết hợp 1. Khái niệm Năm 1963, trạng thái kết hợp lần đầu tiên được đưa ra bởi hai nhà khoa hoc Glauber {13] và Sudarshan (25), đây là trạng thị ứng với giá trị thăng giáng nhỏ nhất được suy ra từ hệ thức bắt định Heis mberg, Trang thai kết hợp được đưa ra bằng cách tác dụng toán tử dịch chuyển D(a) len vector trang thai chân không |0) của trường điện từ [2] la) = Ô(a)|0), (a) trong đó toán tử dịch chuyển Dla) = expla (2) với œ = rexp(¿z) là một số phức, a! và ô lần lượt là toán tử sinh, hủy photon của trường điện từ và chúng tuân theo hệ thức giao hoán Sử dụng đồng nhất thức Baker - Hausdorff cho hai toán tử  và B khong giao hoán với nhau, ta có exp (A+B =(4)=9(9=9|42)).
0a Cho A = aati va B a" , từ đó.4), ta có D(a) exp (aa! — a*a) = exp (aa) exp (—aa) exp (ee) (15) Ap dung khai triển Taylor cho hai thừa số đầu tiên trong biểu thức (1.5), ta được exp (aa!) =14 + (1.8), ta được xí PO. as) a)= exp (aa) exp (-aier) =a", (19) = om wat Jo io (19) trở thành la) = exp (aâŸ) exp (cša") l0), (110) Thay (1.10), ta được a1) trong dé |n) |0) là vector trạng thái chứa n hạt boson hay còn. gọi là các trang thái Fock. Trang thái kết hợp |a) là hàm riêng của toán tử hủy photon ứng với trị riêng œ, nghĩa là ala) = ala) (1.12) Lấy liên hiệp Hermite của (1.12), ta được (@la))* = (al (1.
Tính chất Trạng thái kết hợp có một số tính chất sau đây: ‘Tinh chit 1: Số hạt trung bình của trang thái kết hợp chính bằng bình phương biên độ kết hợp, đồng thời phân bố số hạt của trang thái kết hợp chính là phân bố Poisson. ‘That vậy, số hạt trung bình ở trạng thái kết hợp |a) là (i) = (ala|a) = (alalála) = Ja? (11) 1 Phương sai của toán tử số hat trong trạng thái kết hợp |a) là la ) 2 la) — (alaláa)? = (alát (ata + 1) ala) — |a|* = (alã!4* + alaja) — |a|* = la|* + al? — la|*= |alŠ.16) chứng tổ trạng thái kết hợp tuân theo phân bồ Poisson.11), ta thấy rằng la) =eœ (=gIaf) (1.17), ta tim được xác suất tìm hạt ở trạng thái kết hợp |a) là pín Inlay? = ((njay)*¢ —ap (cẩn?) ST ap _ lal?*exp(—lal?) _ (a) exp (18) nt nl Như vậy phân bồ số hạt của trạng thái kết hợp chính là phân bồ Poisson. Do đó, trạng thái kết hợp là trạng thái cổ điển. h chat 2: Tập hợp tắt cả các trạng thái kết hợp la) là một tập hop dit tf la) (alPa (119) That vay, ta có Jievowas fe wre0Œ mũ 2 (nla, (120) trong đó œ = rexp(¿e), sử dụng hệ tọa độ cực ta có đề = rdrdy, do a6 mm giln—mge / la\(al#a= |rdr / dye? > In)(m|.22) = Sử dụng tích phan Poisson, ta có ‘dr = (1.23) Vay a (aldfa=z— hay fie (a|Pa= 1.24) “Tính chất 3: Trạng thái kết hợp là chuẩn hóa nhưng lại không trực giao với nhau.
“Thật vậy, ta có ~se( =e sla? Liye — 51h dg +0°8, (1.25) 9 “Từ kết quả trên, ta có lía | = (@|))° (41 u " =e ( TS — giá” glal? TU ++ ađ" a6 ) exp e; Lie - digg (~glal? li + a*asp xp (~la|Ê — |đ|# + œ#* + a*) = exp (—|œ — BP). Hệ quả của sự không trực giao là bắt kỳ một trạng thái kết hợp nào cũng được khai triển theo các trạng thái kết hợp khác [6], do đó la) = 2 fe) lava = + #ale)ep (-ie! +aat— jer) (1.26) Điều này cho thấy rằng tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp tạo thành hệ quá đủ (overcomplete) |0]. 'Tính chất 4: Trạng thái kết hợp là trạng thái có độ bắt định nhỏ. nhất được suy ra từ hệ thức bắt định Heisenberg, Để chứng mình điều này, ta xét với hai toán tử tọa độ và xung lượng được định nghĩa như sau +=š ('+8), 5á! =4).28) Đây chính là giá trị nhỏ nhất ứng với hệ thức bất định Heisenberg, Như vây, đối với trang thái kết hợp, ta có thể đo được đồng thời 2 và p với sai số nhỏ nhất ứng với giới hạn lượng tử chuẩn.28) được gọi là giới hạn lượng tit chudn (standard quantum limit).
Đây là tính chất quan trọng nhất của trạng thái kết hợp. Trạng thái kết hợp lẻ Xuất phát từ trạng thái kết hợp với toán tử dịch chuy thái kết hợp lẻ đã được Dodonov [1T] và công sự đưa ra bằng lý thuyết lần đầu tiên vào năm 1973 và chúng đã được tạo ra bằng thực nghiệm năm 1992. Trạng thái kết hợp lễ được định nj la); = Gi (la) |=a)) Ci[B. 09) Dé dang thy |a), là hàm lẻ theo œ, nghĩa là la), = sài (130) Nếu biểu diễn theo các trạng thai Fock, ta có la), = [oo(-HE) SS vil sl")— ex( 16 am - alae) samt [2n +1) (1.31) Ki 2 >> Toray 'Từ biểu thức trên, ta thấy rằng khi biểu diễn sang trạng thái Fock thi trạng thái kết hợp lẻ là tổ hợp của các trạng thái ứng với số hạt là lẻ.
“Trạng thái kết hợp lẻ có một số tính chất sau - Các trang thái kết hợp lẻ không trực giao với nhau nhưng lại trực giao với trạng thái kết hợp chẫn. That va ta có He | 8), = 4G (a)C¡(/ 2s °)«e (-jIsP) gimet (qth ni ni = 4C; (a) C; (8) exp (3 )p (-He ) geet ryt Sle 4 Jams ii VOns il" (ayn = 4Gi(0) 6i(8) x0 (~Jlo?) exe (Hie?) > SA r "1". s * amt (an Ôn | 2m + 1) PTESIIMEDII -` ` vn =0, ác trạng thái kết hợp chfin và kết hợp lẽ có thể chuyển đổi qua lai lẫn nhau bằng cách tác dụng toán tử hủy lên chúng. That vậy, ta có â|a), = 2C¡exp (-He") năm = Gen ( ae 2n + 1|2n) = 20662 exp (—5ial ‘oe Von" Cá, Hoan toàn tương tự, ta có ala), (1.32) chứng tỏ rằng toán tử hủy @ ¢6 tée dụng như là một toán tử quay (totation operator) giữa |a),„ và |a).
- Khác với trạng thái kết hợp, trạng thái kết hợp lẻ là hàm riêng của toán tử â” ứng với các trị riêng aŸ, nghĩa là a8! 28a) = 3Ciep (šgiải Sea [2n +1) = 2Crexp ( —— Vent an |2n - 1) +1! ort 2c ( i) Se Jena?" —1) =a#la), (133) - Tập hợp tắt cả các t ng thái kết hợp chin và kết hợp lẻ tạo thành một hệ đủ, nghĩa là £/ Lies (alta (1. Trang thai két hgp thém photon ‘Trang thái kết hợp thêm photon đã được Sivakumar [23] định nghĩa là ala) lam = la.35) Khi m = 1, ta có trạng thái kết hợp thêm một photon lăj= =9) ât |a) ât |a) __— —„-_—#la a _ la!đ'la) (1.36) falaatja) vfalaá+lla) Vịa”+i 18 Khi m = 2, ta có trạng thái kết hợp thêm hai photon. a? Ja) V0] aa? + dala + 2 Ja) (137) /lal*+ 4lal?+2 1. Một số tính chất phi cổ điển 1.
Khái niệm trạng thái nén Cho hai toan tit Hermite A va Ö lần lượt là các toán tử biểu diễn cho hai đại lượng vật lý A và B. Về mặt nguyên tắc, chúng ta có thể đo. một đại lượng A nào đó trong các trạng thái nén với độ chính xác tuyệt đối, nhưng khi đó để không vi phạm bit di h Heisenberg thì sai số khi đo đại lượng B là võ cùng. Theo cơ học lượng tử, nếu hai đại lượng này không đo được đồng thời thì về mặt toán học hai toán tử của chúng cũng không giao hoán với nhau, nghĩa là [a] BB.
trong đó Ở là toán tử khác không. Trong trường hợp.38) ta có được hệ thức bắt định đối với trạng thái bắt kỳ của hệ (2) ((a2)) > K ) ' (139) a2 trong đó ( (^3) › là đại lượng đặc trưng cho mức độ thăng giáng của. giá trị đo được A quanh giá trị trung bình lượng tử ( Á) của đại lượng 4 và được định nghĩa như sau.39), ta có Ñ 4) Mặt khác, từ (1.42) cho thấy thăng giáng trong trạng thái kết hợp luôn. bằng hệ thức bất định Heisenberg.
Vì vậy các trang thái kết hợp được gọi là các trạng thái có độ bắt định tối thiểu. Mặt khác, hệ thức bắt định Heisenberg chỉ áp đất sự bất định lên tích của các thăng giáng &4)) ((38)') Hệ thức này hoàn toàn không bị vi phạm nếu. một trong hai thăng giáng là nhỏ rất nhỏ và thăng giáng còn lại trở nê lớn hơn rất nhiều. Nếu xét về mặt toán học, một trạng thái được gọi là nén với đại lượng À nếu thỏa mãn (4))< koÏ 4 Ke 2 (1.
Kel2 là độ bất định ứng với giới hạn lượng tử chuẩn. Như vay trang thái nén được định nghĩa là trang thái có một thăng giáng lượng tử nhỏ hơn giới hạn lượng tử chuẩn. Trong trường hợp đặc biệt nếu trạng thái nén thỏa mãn điều kiện là tích của các thăng giáng ae ny? ((04) ) (a2) ) bằng độ bất dinh t6i thiểu thi nó được gọi là trang thai nén lý tưởng. Nén téng hai mode ‘Trang thai nến đa mode bậc cao đã được Hillery (15) đưa ra vào năm 1989.
Trong khuôn khổ luận văn, chúng tôi chỉ xét cho trường hợp. hai mode được đưa ra bởi Hillery và được gọi là nén tổng và nén hiệu hai mode. Xé hai photon a va b c6 tin s6 tong tg 1a we Va œ¿ (2 # 4»), nén tổng được hiểu một cách đơn giản là hai photon này kết hợp thành mot photon có tần số we = we + ws, Ta dinh nghia toán tử nén tổng như sau ¬. eas (san! +e" ab) (44) 2 trong d6 4,4! là toán tử sinh, hủy photon của mode thứ nhất, b, it là toán tử sinh hãy photon của mode thứ hai.
Toán tử nén tổng ứng với (+ 5)TN cóso dạng Ấp = š [CO Dats! + Dab (485) Hai toán tử này thỏa mãn biểu thức giao hoán.46) trong 46 iy = a'a va fy = b'6 tan lượt là toán tử số hạt của mode a và mode b. Mặt khác, chúng luôn thỏa mãn hệ thức bắt dinh Heisenberg 1 fia + fis +1) AVA (147) Một trạng thái được gọi là nén tổng hai mode nếu trung bình trạng thái này thỏa mãn bất đẳng thức sau (5) < 1u +fy+1), (148) với mọi ý.