Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT Trong chương này chúng tôi sẽ tình bay chi tiét vé trạng thái kết hợp, trạng thái Fock, toán tử dịch chuyển nhằm hình thành. một nền tảng kiến thức cho iệc nghiên cứu các chương sau Ngoài ra chúng tôi sẽ trình làu tiêu chuẩn dan rối Hillerg- Zubairy, định lương độ tối theo tiêu chudn Entropy tuyén tính, cũng như mô hành iễn tải biến liên tục để áp dụng ào việc khảo sát tính đan sồi, định lượng độ tối uà tiễn tải lượng tit vdi trang thái hai modc kết hợp thêm hai photon tích SU(2) chẵn. Trạng thái kết hợp 11. “Trạng thái kết hợp là trạng thái ứng với giá trị thăng giáng nhỏ.
nhất suy ra từ hệ thức bất định Heisenberg và được đưa ra năm 1963 bởi Glauber và Sudarshan, ký hiệu là Ja) với a là một số phức. Đó là trạng thái được tạo ra bằng cách tác dụng toán tử địch chuyển Ô (a) lên trang thái chan khong (là trạng thái mà tại đó không có hạt nào được. kích thích và được kí hiệu |0) ) của trường điện từ, nghĩa là la) = D(a) 0), (1) với D(a) = exp(aâ* — a*â) là toán tử dịch chuyển của toán tử â, với zexp (iz) là tham số kết hợp, r và ¿ lần lượt là biên độ và pha kết hgp, @,é lan lượt là toán tử sinh, hủy hạt boson của trường điện từ. Trang thai kết hợp có thể được biểu diễn la) = ezp (aâ* — a*â) |0) Từ đồng nhất thức Baker - Hausdorff với Â, Ê là hai toán tử bắt kỳ ta có exp (A+B) = exp (4) exp (8) exp (3 [ 2)) „ 0) nên ta có thể khai triển toán tử dịch chuyển dưới dạng sau.
sụn) = S> C2 “an =0 =ata+ ? +10) = 0) 2) Vì vậy la) = D(a))0) =D Po (Fer) can (ã*) ee (ái - oa Tra yo, (18) 2 |0) là veetơ trạng thái chứa n hat boson hay còn gọi là trạng thái Fock và |0) là vectơ trạng thái chan không của hộ hạt. Non trạng thái kết hợp có thể được biểu diễn oC) ER no (19) Theo dé dé đàng suy ra được trạng thái kết hợp được biểu diễn ở chỗ nó là trạng thái riêng của toán tử hủy photon, nghĩa là (chứng minh phụ. lục 1) ala) = ala).10) Bay gid ta lấy liên hgp Hermite ciia biéu thức (1.10) thì ta được (11) Nhu vay trạng thái kết hợp (a|â* có chứa photon không xác định và toán tử hủy không làm thay đổi trạng thái này. Các tính chất của trạng thái kết hợp Tính chất 1: Trạng thái kết hợp |a) có phân bố số hạt tuân theo phan bé Poisson, nghĩa là số hạt trung bình của trang thái kết hop |a) chính bằng bình phương biên độ kết hợp r, nghĩa là (1.
(i (ala*ala) = |al? Xác suất p(n) để tìm n hạt boson 6 trang thái |a) chính là phân bố Poisson p(n) = (nj a) (al n) laÏ”"ep (~Ial”) _ (nJMexpnl(= (a) (113) Tinh chất 2: Tập hợp tất cả các trạng thái |a) là một tập hợp đủ. i1 fo (al#a=1 Poy = (19) That vay fla) (al@a = fer” Sly Š GY (m|Pa,a = rel? —G chuyển sang tọa độ cực ta duge d’a = rdrdg, do đó. rhmgj(n=m)£ (elel#a= [se [sec » “Win m) (mỊ, 2s với f el™-™Fdg = 2zð,„„ nên suy ra. a Pla) (al a = 2x J rdr SS e-P In) (n] a mm =F In) (nl fertae i= a 10 Tích phân Poison 7 = fe" r?"""dr J la) (ala = hay ta có :/ la) (a| da = > In) (n| Ea} Tinh chất 3: Các trạng thái kết hợp thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa.
Hệ quả của sự không trực giao nhau là bất kì trạng thái kết hợp nào cũng có thể khai triển theo các trạng thái kết hợp khác, nghĩa là la)la’) =‡= +f ƒla)Ja) (ala) (ala) Pa. , as) =1 Jala) exp (—Hlal?+ora" - Hla?) Điều này cho thấy rằng tập hợp tắt cả các trạng thái kết hợp tạo thành. u ‘Tinh chất 4: Trạng thái kết hợp là trạng thái tương ứng với độ bất định nhỏ nhất, được suy ra từ hệ thức bất dinh Heisenberg. Để ứng mình trạng thái kết hợp là trạng thái có độ bắt định cực u, chúng tôi đưa vào hai đại lượng X, P không thứ nguyên và được diễn thông qua hai toán tử tương ứng là Ä và được định nghĩa.
như sau ca. X= 9, s_Íh, eh = oP trong đó x và p là các đại lượng có thứ nguyên tương ứng với toa độ va xung lượng. Các toán tử Ä và P được biểu diễn thông qua các toán tử sinh, hủy photon của trường điện từ dưới dạng (a +a).p=5 Mặt khác, Ä và P là các toán tit Hermite nên chúng tương ứng với đại lượng vật lý đo được. Do đó, ta có thể tính được phương sai của mỗi đại lượng, Phương sai của Ä (oan) = oo) ~ (lf) i$(a|(a* +a)" a) — (a |(@* +4] a))? =} (0°? +0? +2]al? +1) — 4 (a? +0? + 200°) Phuong sai cia P @enis) =(|ls)= (e|Zl)} lá =8)[a) + 1((e |(â* = )|a))? (0°? +02—2Ia)?—1) + 4(a"* +0? 200°) Vay al(AXJla) (al(AP?la) = 1 (116) 16 2 Đây là giá trị nhỏ nhất tương ứng với hệ thức bắt định H‹ enberg.
Do vây, các trạng thái kết hợp là trang thái cho phép thực hiện các phép đo đồng thời hai toán tử Ä và với sai số nhỏ nhất.16) gọi là giới hạn lượng tử chuẩn. Dây cũng chính là tính chất quan trọng nhất của trạng thái kết hợp. Trạng thái kết hợp chẫn và lẽ Trạng thái kết hợp chin và trạng thái kết hợp lẻ đã được Dodonov và cộng sự đưa ra bằng lý thuyết lần đầu tiên vào năm 1973. Bắt đầu từ biểu thức của trạng thái kết hợp la) = Ô„ (a) |0) với Є (a) là toán tử dịch chuyển, ta định nghĩa trạng thái kết hợp chẵn la).4 = Cen (la) + |-a)) = Cn (a) + Da (—a)] 0), (117) và trạng thái kết hợp lẻ.
Tiền hành chuẩn hóa các trạng thái kết hợp chẵn ta được aÁœ |a)2 = 48, oxp (-laf) 3> S8" (2n | 2n) = ACG, Làm tương tự cho trạng thái kết hợp lẻ, ta được. exp (lal /sinh (al ) Có thể dé dang rút ra một số tính chất của các trạng thái kết hợp chin và kết hợp lễ như sau a) Các trạng thái kết hop chin va két hợp lẻ không trực giao với nhu nhưng các trạng thái két hop chin lai trực giao với các trạng thái kết hợp lẻ. ‘That vay onl | Ben = 4C (a) Ca (8) exp.(-iiaf) exp (-izP) On l2) «ES eri r a e r ( H o t ) on ( A ? ) © e a a n = C404al(a)e Cas (8) exp (—Hlal*) exp (4199) 5 Sa Ruka = 4Œ (a) Ca (8) exp(-Hel) exp (-#2”) eosh (a*) Tương tự ta được lúa | 8), = 4C, (a)6(2)a9 ( °) =ẽ (CjI4P)=nhte2, w ae L8) = 404 (a)C¡(6)exp (=‡Ial?) œp (S315) ụ win es vn van 2 | 2m + 1) =0 xà Tổng quát lÍa |a); =ẩu,— új= chị (12) b) Các trạng thái kết hợp chãn và kết hợp lẽ có thể được chuyển đổi qua lại lẫn nhau bằng cách tác dụng toán tử hủy â lên chúng. That vậy á|a) = #Cuexp (~É”) xxy meen) = 2Cyexp (-#) » Seven -1) =2aCuf ep ( ey el J2n 1) = Sala), Hoàn toàn tương tự 4 ala), &G ala), Điều này có nghĩa là toán tử hủy @ có tác dụng như là một toán tử quay giữa |a)„, và |a), ©) Khác các trạng thái kết hợp là hàm riêng của â, các trạng thái kết hợp chẵn và kết hợp lễ là hàm riêng của â* ứng với các tri riêng, nề, ‘That vay a), = 20a œp (=9 Le jan) =2Gaep (=5) Di / Bry Bn FI) |2n — 2) (123) = 2a*Cxy exp (-#) xyven lan =2) =a la)y 1 Tương tự @la), = ola), (1.24) 4d) Tap hợp tắt cả các trạng thái kết hợp chin va két hgp 18 tạo thành một hệ đủ, nghĩa là tf 3” la); (a|dÊa = 1.
Tính chất của toán tử dịch chuyển Tính chất1: Theo công thức Baker-Hausdorff, nếu  và Ô là. hai toán tử bất kỳ có (144) 4] [49] 5]-0 "Ta có (chứng mình phụ lục 2) exp (4,8) =exn(- [a4 3] /2) exp (4) exp " = exp ([4,8] /2) exp (B) exp (4) Cho A= a * va B = —a*â, theo đó 4.27) =exp (a⁄2) exp(—a*â) exp (aa Ta có thể vận dụng một trong ba dạng này của D, (œ) để tính toán sao cho thuận lợi nhất. ‘Tinh chất 2: Vận dụng dạng thứ 2 trong (1.30) Ta thu được các phép biến đổi như sau (chứng minh phụ luc 5) Dy (a) aD, (a) = a+a (1.31) Dz (0) a* Dy (a) = a* +0" (13) Các về phải của biểu thức (1.32) theo thứ tư bị dịch di một lượng bằng œ và a* so với các về trái tương ứng. Do vậy, toán tử được gọi là toán tử dịch chuyển.
Các tính chất này được dùng nhiều trong các tính toán lý thuyết. “Tính chất 3: (chứng minh phụ lục 6) Địa)Ð(8)= Ð(a+ sexo ( (1. Các tiêu chuẩn đan rối 1. Tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy “Tiêu chuẩn đan rồi Hillery-Zubairy do hai ông Hillery và Zubairy đưa ra vào năm 2006 [12].
Ở đây hai ông đã đưa ra một lớp bất đẳng thức mà vi phạm của chúng chỉ ra sự hiện diện của đan rối trong các he hai mode. Day chính là các bất đẳng thức phát sinh từ việc các hệ thức bắt định. Xét hai mode trường điện từ Ly = ab +â*B, ig =i (abt — a trong đó â và â* lần lượt là toán tử hủy và toán tử sinh của mode thứ nhất, 6 va 6* lan lượt là toán tử hủy và toán tử sinh của mode thứ hai. “Tính phương sai của các biến, sau đó ta cộng lại thì ((¿))+((a)) (1.
trong đó Ñ, = â*â và Ny = Ê*Ô. Bây giờ ta xét trạng thái là tích của ((/))< (62). oy ~3[((đ+1))(8)+((6+1))(4) =2|@)6')|] Bất đẳng thức Schwarz cho ta \() Pc (Xe) và J@Ÿ < (%) Khi wx. Xét hệ thức bất định tuân theo Ê; và Ê„, ta có (Ain) (Ata) = (% - | (1.37) Tir dé ta thay ring (ai)+ (a2) >3|(s.
Phương pháp định lượng độ rối Các trạng thái lượng tử được mô tả bởi các vectơ trạng thái được gọi là trạng thái thuần. Các trạng thái lượng tử không thể được 18 mô tả bởi các vectơ trạng thái được gọi là các trang thái hỗn tạp. Các trang thai hỗn tạp được mô tả bởi toán tử mật độ Ls) Hl (1.40) 7 trong đó p; là xác suất để hệ ở trong trạng thái của các hệ con định xứ (5 | Bi) =. Xác suất thỏa mãn hệ thức sau 0<p <1, W)g=1 (|9, 1 (141) 7 Trong trường hợp hệ chỉ tồn tại duy nhất trạng thái |W.) , pr = dj, ta có p= |i) (Wil, (1.
