Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT Chương nàu trình bàu tổng quan các kiến thức cơ bản uê trạng thái kết hợp tà trạng (hái nén. Tiếp theo, chúng tôi trình bay chỉ tiết các tính chất phi cổ điển cụ thể như tính chất nén tổng, nén hiệu, nén Hillerg bậc cao, tính chất phản kết chùm, sự tui phạm bất đẳng thức Cauchụ-Schwarz tà khảo sát tính chất đan rối của trang thái hai mode kết hợp them hai photon tích SU(1,1) chin. Trạng thái kết hợp. Định nghĩa ‘Trang thái kết hợp là trạng thái ứng với giá trị thăng giáng nhỏ nhất suy ra từ hệ thức bất định Heisenberg do Glauber [15] va Sudarshan [28] đã đưa ra khái niệm này vào năm 1963.
‘Trang thai Fock là trạng t (0) Trang thái Fock |n) là trang thái có số hạt xác định và được khái quát hóa lên từ trạng thái chân không. Trong đó, trạng thái chân không là trạng thái mà tại đó không có hạt nào được kích thích và được kí â|0) =0, â|n) = vñ|n = Ð, ñÌ |n)= vn + TÌn +1) (1.2) Các trang thai Fock tạo nên một hệ cơ sở đủ, do đó có thé khai triển một trạng thái bất kỳ trong hệ cơ sở này, hay 32H) (n| =1. (13) =o Trang thái kết hợp có thé tao ra bằng cách tác dụng toán tử dịch chuyền. D(a) len trạng thái chân không |0) của trường điện từ.
la) = Ð (2) |0), (14) trong đó Ð (a) là toán tử dịch chuyển.6) Sử dụng đồng nhất thức Backer-Hausdorff cho hai toán tử Ả và Ö, ta có ° - lia a exp(A +B) = exp(A) exp(B) exp(—5/A. (47) trong dé céc toan tit A,B khong giao hon véi nhau hay giao hon tit A,B la toán tử Ở nào đó, tức là [[A. Mặt khác lal’, fa’ P, [a.10) Ap dung khai trién chudi Taylor cho hai thita s6 du exp(aat) va exp(—a*a) iia ham dang e* ta được : a? (oat)? ep(aäl) = 1+ (SỐ + 7) (aay = (oat (1) exp(—a"a) = 1+ 0a)" (1.12) Bằng cách tác dụng toán tử dịch chuyển Ô(a) lên trạng thái chan khong |0) của trường điện từ và sử dụng (1.12) chúng tôi được D(a) |0) = exp(ad) exp(—°a)exp(—laP?) I) = exp(aat)eap(—tlal?) > C24"), (1.15) trong đó |n) on [0) là vectơ trạng thái chứa n hạt boson hay còn gọi la trang thai Fock. Do các trạng thái Fock là một hệ cơ sở đủ nên khai triển trạng thái kết hợp Ja) theo trang thái Fock |n) được exp(—Jlal yi.16) Vi trang thái kết hợp |a) là hàm riêng bên phải của toán tử hủy â ứng với giá trị riêng a hay |a) là trang thái riêng của toán tử hủy photon.
với giá trị riêng là œ, ala) = ale) (17) Lấy liên hợp Hermite (1.17) có thể được chứng mình tường mỉnh như sau. Để làm rõ sự khác biệt giữa trạng thái Fock va trang thái kết hợp, chúng tôi xét đến phương sai của trạng thái Fock ((aa)") =0, (119) còn đối với trạng thái kết hợp. (em) (120) Chúng tôi thấy rằng trang thái Fock |n) số hạt có thể đo một cách chính xác nhưng đối với trạng thái kết hợp |a) thì có sai số khi đo, cụ thể là sai số tỉ lệ với trung bình số hạt. Trạng thái kết hợp khác trạng thái Eock là vì trạng thái kết hợp chứa một số photon không xác định và toán tử hủy không làm thay đổi trạng.
thái nay â|n) = vRln— 1), Gla) = ala). Như vậy, trạng thái kết hợp là trạng thái riêng của toán tử hủy thỏa mãn (1.17) và toán tử hủy không làm thay đổi trạng thái này la) sp(—laP) > S2 Sin)m), 1ý gÌ kh an » ($10!) nao Vn! 1 với œ là số phức và exp (—}) là hệ số chuẩn hóa. Các tính chất của trạng thái kết hợp “Trạng thái kết hợp có một số tính chất sau đây: Tính chất 1: Phân bố số hạt ở trạng thái kết hợp tuân theo phân bố Poisson. Do số hạt trung bình ở trang thai két hp Ja) la (8) = (a fala) (L21 = (a|éla|a) = Jal? ) và phương sai của toán tử số hạt trong trạng thái kết hợp như trong, (120) là = (al Ja) = ((a|ñ|a)Ÿ a a) = ((a|đ'a|a))Ÿ = lal? (al a (ala + 1)â|, | = |al‘ +a)’ — jal? hay trang thái kết hợp tuân theo phân bố Poisson.
Mặt khác, xác suất tìm hạt ở trạng thái kết hợp |a) là Pín) = lín | a)|Ÿ = lal exp(-lal*) (1.22) 16 Thật vậy, từ (1.23) trong d6 P(n) 1A him phan b6 Poisson, ham phan bé Poisson là hàm. phân bố tương ứng với giới hạn lượng tử chuẩn. Trạng thái kết hợp là trạng thái cổ điển. Tinh chit 2: Tap hgp tất cả các trạng thái kết hợp |a) là một tập hợp.
đủ 51 [ole Bạc la =1, (1.24), ta được fr (ala = ` a (m|d@a, (125) trong đó œ = rexp(¿2) là số phức bất kỳ. Chuyển sang tọa độ cực ta được đâa = rdrd¿, do đó. [hoa [sẽ [ae none SP hiện 020 » t8 ")2đ2 = 2aổy„„ nên suy ra. )(el#a=>z | rd —> In i Ym (2 fe nlp, (1.27) = ỉ 7 Mà tích phan Poisson J = ƒ e"'”r”"*dr = #Ẻ nên fio (al#a =x.28) = Tính chất 3: Mặc dù các trạng thái kết hợp thỏa mãn điều kiện chuẩn.
Thật vậy từ định nghĩa trạng thái kết hợp |a), ta có jaP) exw (Sia?) o> n=O m=O SO ja?) 6072 =e (Hal ~ 519? +0°8) (1.30) và Kal 8)|? = ((al 8))* (al 3) sa. Lape —— sló| ge apsat 1 1 =exp (-še? - 34? +a#' +a) =exp (-la- si).31) 18 Điều này cho thấy khi a Z / thì exp (~|a — |”) Z0, nghĩa là các trạng thái kết hợp không trực giao với nhau. Hệ quả của sự không trực giao là bất kì trạng thái kết hợp nào cũng có thể được khai triển theo các trạng, thái kết hợp khác (7|. Nghĩa là, la)nil =š J la)(a|a)#a -} —glel?+a/a*— - = feat )exp(—lal? 2 + (1.32) Nên ta có thể kết luận rằng tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp.
tao thành hệ đũ. Tính chất 4: Trạng thái kết hợp là trạng thái tương ứng với độ bất định nhỏ nhất, nghĩa là (138) Taos (2)a = ala! ly y2+ ala) = 5Tu ((ala'2 a) + (alla) 2 = F(a" lie +a) (aa) = 3(a"lie +a), = flolal® Liat? +2ala + a+ a 10) = Flo" + 2a? +a? +1) (135) và = 5 (ala! ~ Gla) = 5 ((ala' |a) = (al ala)) 19 1 —7 (ala? — 2a'a + đ? — 1a) a2(a*2 — Jal? + a2 — 1) (1.36) Phương sai của toan tit # tit (1.37) và phương sai của toán tử từ (1.38) Ta thấy từ (1.39) Đây là giá trị nhỏ nhất tương ứng với hệ thức bắt định Heis nberg.39) được gọi là giới han lượng tử chuẩn. Như vây, các trạng, thái kết hợp là các trạng thái cho phép thực hiện phép đo đồng thời 4 va Ø với sai số nhỏ nhất. Và đây cũng là tính chất quan trọng nhất của trạng thái kết hợp, 1.
Trang thái nén Các khái niệm về trạng thái nén do Stoler [29] dita ra vào năm 1970 và được thực nghiệm khẳng định vào năm 1987, sau đó Hollenhorst [19] đã đặt tên chúng vào năm 1979. Từ hệ thức bất định Heisenberg với hai toán tử Â, 8 lần lượt là các toán tử biểu diễn cho hai đại lượng vật lý:. Theo cơ học lượng tử nếu hai đại lượng vật lý không đo được đồng, thời thì hai toán tử .Â, Ö không giao hoán với nhau, nghĩa là [4.40) Hệ thức bắt định trong trạng thái bắt kỳ |z) của hệ (anr)(anry= tua) KOE aay “rong đó, phương sai ((A.A)*) là đại lượng đặc trưng cho mức độ thăng giáng của giá trị đo được 4 quanh giá trị trung bình lượng tử (4) của đại lượng 4 (1.43) Đối với trạng thái Fock |n) ta có 6I((Ax)) = 6l ((£) 0 = 61 ((8)) 9? nl (at +4)"|n) — Fle (+a) In]? ((nlâ In) + (na?In) + (n| ata jn) + (n) aa |n)) 2 Flan) + (nha ny)? = (n+n+1) =1 (8n+1). (4) Tương tự, tol (app) in) = (ol ((P)") nd ~ (ol ((2)) i)? = (P*) = (P)Ỷ =} (2n +1) (145) Vậy nên ta thu được (x9) ((ApƑ) (146) Đối với trạng thái kết hợp.47) ta thiy rằng nếu ở trạng thái kích t các trạng, thái Fock luôn thỏa mãn hệ thức bắt đình Heisenberg hay luôn thể hiện.
dấu lớn hơn trong hệ thức bit dinh Heisenberg, edn trạng thái kết hợp. thì đầu bằng xây ra. Suy ra các trang thái kết hợp được gọi là trạng thái độ bắt định tối thiểu. Bên cạnh đó, xem xét hệ thức bat dinh Heisenberg ta thấy rằng cơ lượng tử chỉ áp đặt sự bắt định lên tích ủa thăng giáng, đa”) (aø)).
Hệ thức này hoàn toàn không vi phạm nếu một trong hai thăng giáng là bé và thăng giáng kia rất lớn. Một trạng thái được gọi là nén với đại lượng A nếu thỏa mãn. AE la ((aay') < Kor -l@I (1.48) ” Vì LO là độ bắt định ứng với giới hạn lượng tử chuẩn. Nên một trang thái có một thăng giáng lượng tử nhỏ hơn giới hạn lượng tử chuẩn thì trạng thái đó gọi là trạng thái nén.
Trạng thái né lý tưởng là thái mà các thăng giáng lượng tử bằng giới han lượng tử chuẩn. Các tính chất phi cổ điển 1. Tính chất nén tổng Xét trường hợp nén tổng hai mode được đưa ra bởi Hillery [13], Nền tổng hai mode nghĩa là chúng ta có hai photon, mot photon có tần 6 wy vai mot photon có tần số «, kết hợp thành một photon có tần số tức = tu +6, Toán tử nén tổng được định nghĩa như sau. 5 (cali! + ea), Vow z (ele*Pald! + 98a), (149) với â†,â và BỲ,6 lan lượt là toán tử sinh, hủy photon của mode a va mode b va @ là góc xác định hướng của (4ÌÖ“ag) trong mặt phẳng phức.
Các toán tử này thỏa mãn hệ thức giao hoán i [Vo VYioes)] 5 (a+ f+), (1.50) trong d6 fy = a'a, Ay = bt là toán tử số hạt của mode a và mode b.50) 1 (t9 Đatô! + e 16°Øá6]| (e2aLô! + e '9á8) a [222ĐataIBl + eM Daabi +e Halla + Ti #lãt§lãlBI + e~"89*Š)aBab + e'#a!ÖlâB + e— [-2ia!élaé+ 2: (a'a +1) (006+ 1)] + +1) (151) Một trạng thái được gọi là trang thái nén tổng hai mode néu trung bình. trong trạng thái đó thỏa mãn bất đẳng thức sau (af) < Flr + fy +1) (1.52) ° 7 a \2 trong đó (a2) = (v2) -(We) - Dây chính là điều kiện để chúng tôi khảo sát tính chất nén tổng hai mode cia trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn trong chương hai.
