Chương 1 MOT SO KIEN THUC TONG QUAN 1.1 Trạng thai Fock Trong mục này trước tiên chúng ta giới hạn chỉ khảo sát đơn mode của trường với tần số ” theo thứ tự có toán tử sinh và toán tử hủy ây và ô} tương ứng, Gọi | n) là trạng thái năng lượng riêng tương ứng với giá trị năng lượng, riêng E„, nghĩa là [4]: 2 1 TÑ | nỳ = hư(ãÌâ + 3) Im) = Buln) (1a) Nếu chúng ta tác dung toán tử ä từ bên trái, sau khi sử dụng mối quan hệ tương ứng [â, @!] = 1 va mot số biến đổi, ta thu được: ‘Ha | n) = (E„ — hw) | n) (12) H|n-1)=E,y|n-1); a ng[m—1) Vậy trạng thái In=1)= In) (13) cũng là một trạng thái riêng nhưng với trị riêng giảm Bì = E, — hy (4) Trong phương trình (1.3), a„ là lượng không đổi định nghĩa từ điều kien chuẩn hóa: (@n=l|n=1) (15) Tập lại kết quả này n lần tức là dịch chuyển xuống thang năng lượng. từng bac hv cho dén khi ta nhận được.6) u 'Ta có thể tiền hành tương tự với toán tử đi.1 H | n) = h(áal = g) |n) = Eụ |n) Nếu chúng ta tác dụng toán tử aŸ từ bên trái, sau khi sử dụng mối quan hệ tương ting (4, at] = 1 và một số biến đổi, ta thu được: Ha | n) = (E, + hư)â | n) (4) #n+1 Enya (ntl); ain By |n-+1) Tit két quả này ta thấy ring at | n) hàm riêng ứng với trị riêng (, + hv): a! |n) = 8, |[n+1) Enya = En + hy Với /3, là một lượng không đổi cũng được xác định từ điều kiện chuẩn hóa; (n+lln+1) Trạng thái | 0) ứng với năng lượng nhỏ nhất Eụ ứng với n = 0 từ phương trình trị riêng ta có. 7 | 0) = Sh | 0) = Ea |0) Vậy ta có E = tw 5 Suy ra 1 Ey = (n+ shy Ta thm 3, từ điều kiện chuẩn hóa va trang thai | n +1) =| n) ¬ | n) — ore lái Phuong trình thu được là ât |n)=vdn+T|n+1) (14) Lặp lại việc sử dụng phương trình này Với œ = 0 thì n=1 n=2 Hay ta có (1.15) Điều này rất hữu ích khi dùng để giải thích những giá trị năng lượng riêng (1.10) ứng với sự hiện diện của n lượng tử hoặc photon có năng lượng fy, Trang thai ng |) được gọi là trạng thái Fock hay trang thái số photon. Chúng tạo thành một tập hợp đủ các trạng thái, nghĩa là > [n)@ |=1 (1.16) Và do đó có thể khai triển bắt kị ot vectơ nào trong hệ cơ sở này.2 Trạng thái kết hợp và toán tử dịch chuyển “Ta xét hệ hạt boson có toán tử sinh hạt â* và toán tử hủy hạt â, chúng tuân theo các hệ thức giao hoán (1] sau la.17) la,â] = lát,& Trạng thái kết hợp |a) được định ngĩa như sau [4] (118) trong đói (119) là vectơ trạng thái chứa ø hạt boson òn gọi là trạng thái Foek) và |0) là vectơ trang thái chân không của hệ hạt.20) theo đó suy ra được trạng thái |a) là trạng thái riêng của â với trị riêng œ Gla) = ola).
(121) Vi @ khong phai là toán tử Hermitic nên œ nói c ung là một số phức, a = rexp(i0) với z,0 là số thực. Lưuý rằng do exp(=a*8)|0) = 3T mĩ —+"|0) = (L= a*á + cá? + .)|0) = |0) nên biểu thức (1.20) có thể viết dưới dạng, la) = Ða(a) |0), (1.22) trong đó Bala) = exp ( 3) exp (aa) exp (0A) (1.23) 15 được gọi là toán tử dịch chuyển của ñ với độ dịch chuyển œ. Trạng thái |œ) được xác định bởi (1.28) được gọi là trang thái kết hợp có tham số kết hợp a = rexp(i0), trong đó các số thực r và Ú theo. thứ tự được gọi là biên độ kết hợp, pha kết hợp.
Trước khi làm rõ ý nghĩa của thuật ngữ "kết hợp” hãy tìm hiểu một số tính chất của toán tử dịch chuyển.1 Tính chất của toán tử dịch chuyển. a) Theo công thức Baker-Hausdorff, nếu  và Õ là hai toán tử bất kỳ có thì [az)-4)- [la3)4 exp (4 + —ep (- [43] /) exp (4) ex (8) (1. Cho A = aa* va B = —a*â, theo đó 4.25) = exp (la|?/2) exp (—a°@) exp (aa*) “Ta có thể vận dụng một trong ba dạng này của D,(a) dé tinh toan sao cho thuận lợi nhất. b) Vận dụng dạng thứ hai trong (1.26) 16 ‘Tinh chat Các trạng thái kết hợp không trực giao với nhau, nghĩa là với a#0 thì l(a|Ø)| # 0.34) Thue vay (0109 =e (Hor) on (-Hoe) > y - oo - 5 (lr « is?) > wa = exp[- 5(loP -20'8 +188) Suy ra lía|đ)# = (a|2)(đ|a) ~9a*8+ | ep [( exp (la +a*°8+ a9 — a) exp G - 2) (135) « Nếu a # đ thì exp.
(“0 - 3) # 0, nghĩa là các trang thái kết hợp. không trực giao với nhau. « Nếu |a — đ| >> 1 thì exp (+ - 5) =, nghĩa là các trạng thái kết hợp gần trực giao với nhau Vậy các trạng thái kết hợp không trực giao với nhau, chúng được xem là gần trực giao khi |a — đ| >> 1. Tính chất 3: Tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp tạo thành một hệ quá.
đủ, nghĩa là phân giải đơn vị thỏa mãn ;je)et#a= (136) 18 Tinh chất 4: Phân bố số hạt ở trạng thái kết hợp |a) tuân theo phân bố. Poisson - là phân bố mà số hạt trung bình và p Yong sai của toán tử số hạt Đằng nhau. Ta có « Số hạt trung bình ở trạng thái kết hợp |a) là |) = (alã|a) (137) « Phương sai của toán tử số hạt trong trạng thái kết hợp |a) là ((Añ)?) = (a|ñ#|a) = (ala|a)? = (ala la) = (a|ã*á|a)? = laƒ(Jaf + 1) - lai! = lal’.38) ta thấy số hạt trung, ình và phương sai của toán tử số hạt trong trạng thái kết hợp |a} bằng nhau, nghĩa là (8) = ((AA)?) hay trang thái kết hợp tuân theo phân bố Poisson. Xác suất pín) để tìm thấy hạt ở trạng thái kết hợp |a) là p(n) - =ep(-lal) (139) lai" trong đó pín) = exp(~|a|)“— là hàm phân bố Poisson, Ham phan bố Poisson mô tả rất tốt các tính chất của chùm sáng laser và là hàm phân bố.
tương ứng với giới hạn lượng tử chuẩn. Do đó trạng thái kết hợp là trang thái cổ điển. 19 Tinh chất 5: Trạng thái kết hợp |a) là trạng thái có độ bắt định cực tiểu, nghĩa là ((A2)?)((A0) = 4 (140) Đây là tính chất quan trọng nhất của trạng thái kết hợp, nó gợi cho ta nghĩ đến khả năng tồn tại của trạng thái có độ bất định nhỏ hơn giới hạn lượng, tử chuẩn, những trạng thái này khác hoàn toàn so với trạng thái cổ điển, vì vậy nếu có chúng có thể sẽ là một lớp các trạng thái phi cổ điển. này mà có thể xem trạng thái kết hợp là ranh giới giữa hai lớp trạng thái cổ điển và phi cổ điển.
Tính chất 6: Trạng thái kết hợp ja) lA trạng thái riêng của toán tử hủy boson â, nghĩa là aa) = ala), (8) trong đó a là một số phức bất kì trong không gian phức. Khi khai trié thông qua các trang thai Fock |n) thì trạng thái kết hợp |a} được biểu diễn dưới dạng Ja) = >> (142) = Thay (1.42) ta được biểu thức của trạng thái kết hợp biểu diễn theo hệ cơ sở cũa các trạng thái Fock an .43) với Cụ là hệ số chuẩn hóa. Phương sai Cho hai toán tử Hermitic  và theo thứ tự biểu diễn cho hai đại lương vật lý A và B. Theo cơ học lượng tử nếu hai đại lượng vật lý này không ” đồng thời có thể chứng minh được rằng phương sai cita A cing bing phitong sai của B và bằng một giá trị gọi là giới hạn lượng tit chudn (standard quantum limit) VA=VB 3iel [á.8] la): (149) Đối với các trang thái lượng tử khác, thông thường các phương sai VA, VB đều đồng thời lớn hơn gi hạn lượng tử chuẩn.
Chẳng hạn như trong trường hop Ì mì độ trực giao của trường hạt boson Ẩ,(), la) là trạng thái kết hợp. của Ý„(œ) vì phương sai V.X„(¿) 7 X,( + ø/2) = 1/4 bằng giới hạn lượng tử chuẩn với độ bất định tối thiểu là 1/16. Còn trong trạng thái Fock |n) với số hạt m > 0 thì với moi giá trị của pha ø, phương sai của biên độ trực giao VXa(2) = (2n + 1)/4 luôn lớn hơn giới hạn lượng tử chuẩn là 1/4 và do đó VXa(y)VXalp + 2/2) = (2n + 1)/16 > 1/16. Một câu hỏi đặt ra là, dn tại một trạng thị ely của trường hạt boson cho hai đại htong A,B ma trong d6 VA (hose VB) bé hơn giá trị giới hạn lượng tử chuẩn và tất nhién VB (hoae VA) phải lớn hơn giới hạn đó sao cho nguyên lý bắt định khong bị vi phạm không? Nếu có.
thì ta có thể gọi |J) là trạng thái “nén đối với đại lượng 4 (hoặc ). “Nền Tà vì phương sai của 4 được nón xuống nhỏ hơn cả giới hạn lượng tử chuẩn. Trường hợp đặc biệt nếu trạng thái nén của A (hoặc B) cdn thỏa mãn điều kien 1a (VA)(VB) bing do bat định tối thiểu thì nó được gọi là trang (hái nến lý tưởng, 1.2 Toán tử nén S$, Xót toán tử 2 trong đó z = sexp(ix) c6 s va là các số thực. Š„(z) là toán tử chuẩn tắc.
vì toán tử liên hợp với nó cũng là toán tử nghịch đảo. (151) Ấp dụng công thức toán tử (1.40 va 141), ta rút ra được các công, thức biến đổi quan trong sau: Šu(z)887 (z) = â cosh s + â* exp (ix) sinh s (152) Sq(2)a*S3(2) = â* eoshs + âexp (~ix) sinh s (153) Sf (2)aSu(2) = a cosh s — â* exp (ix) sinh s (1. Trang thái nén kết hợp. a) Định nghĩa trạng thái nén kết hợp [4] la.z) = Ðu(a)8,(2)|0), (156) b) Tính chất: i) Trạng thái |a, z} = Є(a)8,(z)|0) đã được chuẩn hoá vì (a, z|œ, z (a,z|a,z) = (0|Š (z)Ї(a)Ð,(a)8,(z)|0) = (|8; (z)Š„(z)I0) = (00) =1 ii) Hai toán tử Ð,(a) và Š„(z) không giao hoán với nhau, nên.57) B Sử dụng dạng thứ hai của (1.
Suy ra phép biến đổi ngược |a, 2) = Sa(2)Da(arcosh s + a* exp(0x) sinh s)|0).60) iii) Từ các tính chất (1.62) Tit cée phép bién đổi trên ta tính được (a,zlá|a,z) = (0152 (2)Dz(a)aDa(a)Su(2)|0) = (Ola cosh s — a* exp(éy) sinhs + a|0) =a Tương tự (a, 21a" la, 2) = (O13 (2)Dx(a)a* Da(a)Se(2)|0) * cosh s — @exp(—ix) sinhs + a0) (a, 2|@* aja, 2) = (0|87' ( z)п (a)â*, ãÐ,(a)S,(z)|0) = (18; Œ ) Dz (a)@*D(a) Dz (a)@D,(a)S,(2)|0) 5 ( z)(â* + a")(â + a)8,(z)|0} 0/5; ( z )(&*8 + aã* + a*â + |al?)8,(2)|0) = (0|%7(z)ã*â§,(z)|0) + a(0|S7 (z)a#S„(z)|0) +a*(0|$2 (z)â8,(z)|0) + |a|*(0|8; (z)5„(z)|0) = lai? + sinh?
