Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT Trong chương nà, chúng tôi trình bà tổng quan về các kiến thức làm cơ sở lý thuyết như trụng thái kết hợp, các tính chất phí cổ điển như nén tổng - nén hiệu, tính chất phản kết chùm hai mode va sự ui phạm bất đẳng thite Cauchy ~ Sluarz. Ngoài ra một số tiêu chuẩn đan rối cũng như trang thai them photon đã được chúng tôi trình bày khá chỉ tiết 1. Trạng thái kết hợp 1. Khái niệm ‘Trang thái kết hợp được đưa ra vào năm 1963 bởi Glauber |9} và SudarShan [23].
Đây là trạng thái ứng với thăng giáng lượng tử nhỏ nhất được suy ra bởi hệ thức bất định Heisenberg và có thể được đưa. ra bằng cách tác dụng toán tử dịch chuyển Ö(a) lên vector trạng thái chân không |0) của trường điện từ [2] la =Ô(a) |0).2) với độ dich chuyển a = rexp(ig) 1A mot s6 phite, a va a lin htot 1A toán nh, hủy photon của trường điện từ. Xét hai toan tit A va B khong giao hoán với nhau hay [Aa] # 0, sử dụng đồng nhất thức Baker 10 Hausdorff cho hai toán tử  và B, ta có exp (A+B) = exp (A) exp (8) exp (5 [A#) .— (4) Khi này trang thái kết hợp |a) được khai triển theo trạng thái Fock |n) có dạng la) = Ôa)l0) =eø (<jaP) 3 Sim, œ9 trong đó |n) = É È |0) là vector trạng thái chứa n hat boson hay còn sọi là các trạng thái Fock. That vay, ta có Ja) = Ô(a) |0) = exp(aâf — a*â) |0) 1ã ~ em (nä)ep(=a'8) sp (S3 la .,—a*â] aâÌ (—a*â) (—a*â) ++ a*ã a*ãa,aâ! q4) = a)? (aa! — ala) = Ja? Thay (1.5), ta được Ja) = D(a) |0) = exp(aat — a*@) |0) (1.
Ap dụng khai trién Taylor cho hai thita s6 exp (aa!) va exp (=a”â), ta được oat)" exp (aa!) = 1+ m (18) exp(—a*â) =1+ u Trong đó š o=Ít i “ay ) I0) = |0) (1.10) Phương trình (17) trở thành.11), ta duge la) (112) Trang thai kết hợp |a) là hàm riêng hàm riêng của toán tử hủy photon. ứng với trị riêng a, nghĩa là â|a) = ala) (1.13) Ly liên hiệp Hermite của (1. Tinh chit Trang thái kết hợp có những tính chất quan trọng sau “Tính chất 1: Trạng thái kết hợp là trạng thái có độ bất định nhỏ nhất được suy ra từ hệ thức bit định Heisenberg, That vay, ta xót hai toán tử tọa độ và xung lượng được định nghĩa như 1 sau sel 1 atea ô i 5 ita ;ú a) (1. Hệ thức giao hoán giữa toán tử tọa độ và xung lượng.16), ta có hệ thức bắt định cho hai toán tử tọa độ và xung lượng là (Asrayy > 02”1 16 (ay Ngoài ra, ta có phương sai của £ là (a|(A2j la) (a| 22 |a) — ((a|#£|la))* (al(ä! +8) la) = gI(e| (+4) Ja)|? e BI le (al (al + @ + ala + aa!) |a) qo’ +a)? (al (al? + a? + 2a'a + 1) Ja) — i (0? +0 + 2lal?) (0°? +02 + 2lal? +1) = 51 (a? +0? + 2la) BỊ BI (118) “Tương tự ta tính phương sai cia (a|(AØ)° la) = (a|8?la) = ((a|@la))" 1 2 1 at 2 2 =~] (al (@— a)" la) + Gal (@' - a) fa)] === (al (a? + a? — ata — dat) la) + Fe -a) _ =- (al (a? +a = 1) |a) +51 (a? (24 +aat? ala 2Ia\*) ==} (0? +02 2\al? = 1) + 1 (s2+a2~3la[) 1 (119) Từ (1.20) chính là giá trị nhỏ nhất ứng với hệ thức bất định Heisenberg và biểu thức (1.20) được gọi là giới hạn lượng tử chu (standard quantum limit).
Day là tính chất quan trong nhất của trạng thái kết hợp. Như vi y, trong trạng thái kết hợp, ta có thé đo được đồng thời # và ÿ với sai số nhỏ nhất tương ứng với giới hạn lượng tử chuẩn. 'Tính chất 2: Số hạt trung bình của trạng thái kết hợp bằng bình. phương biên độ kết hợp.
"Thật vậy, với toán tử số hạt được định nghĩa.21) “Thì số hạt trung bình ở trạng thái kết hợp |a) là.22) Ta tinh phương sai của toán tử số hạt trong trạng thái kết hợp |a) ((An)*) = (al a) ~ (al ja)? = (ala = (a|at (ata + 1) @ Ja) = (Jal)? = (0| aa? + aa la) — |a|* = la!+| (1.23) “Từ phương trình (1.24) u 'Tính chất 3: Tập hợp tắt cả các trạng thái kết hợp |a) là một tập hợp đủ.25) That vậy, ta có. Jiovowta= fe > mm mo cr a, (1.26) trong đó, ta chon a = re’, sit dung hệ tọa độ cực, ta c6 da = rdrdy, do đó / la)(al2a= | rác / đợc” “x ee nt (127) trong đó a / md = 2b ym (1.28) Phương trình (1.27) trở thành [rite fre = (1.29) -E Hine fe my = Trong phương trình (1.29), ta sử dụng tích phan Poisson, ta có e kém i! (1.29), ta được z fi (o| da = 1 (1.31) ‘Tinh cht 4:Các trạng thái kết hợp là chuẩn hóa nhưng chúng lại không trực giao với nhau That vay, các trạng thái kết hợp là chuẩn hóa (ola) =e (- ) (cặn?) >> SF on m = exp(- 1a?) 2) ex» exp (ae ($10 liao lal? — gl 2|+ ?a** (133) Hệ quả của sự không trực giao là bất kỳ một trạng thái kết hợp nào cũng được khai triển theo các trạng thái kết hợp khác [4], do đó te =2 [le a2 = + [ #als) se (Tÿ (1.34) Điều này cho thấy rằng tập hợp tất cả các trang thái kết hợp tạo thành hệ qué dit (overcomplete) [4] 16 1. Trạng thái kết hợp thêm photon ‘Trang thái kết hợp thêm photon đã được Sivakumar [21] định nghĩa là it Ja,my = 4"le) _ nan (1.35) + Khi m = 1, ta có trạng thái kết hợp thêm một photon. jot = ale) âFla) —_ — _ #lja) "¬ /lalaatja)_ víalalatlla) VlaP+i + Khi m = 2, ta có trạng thái kết hợp thêm hai photon "2 TTaja) - [ie+ dala___ Valara? +2]a) at? Ja) (1.
Một số tính chất phi cổ điển 1. Khái niệm trạng thái nén Khniệm về trạng thái nén lần đầu tiên được đưa ra bởi Stoler [22] vào năm 1970 và được Hollenhorst [14] đặt tên vào năm 1979 và được thực nghiệm vào năm 1987. Xét hai toán tử Hermite  và Ø lần lượt là các toán tử biểu diễn cho hai đại lượng vật lý A va B. Theo nguyen I it dinh Heisenberg, chúng ta không thể đo được đồng thời hai đại lượng vật lý này, nếu đo được chính xác đại lượng A thì độ bất định của đại lượng B sẽ là võ cùng.
Theo cơ học lượng tử, nếu hai đại lượng này không đo được đồng thời thì hai toán tử của chúng cũng không giao. hoán với nhau, nghĩa là Ể, (1.38) 1 trong đó Ở là toán tử khác không. Khi này, độ bắt định của hai đại lượng A và B được thể hiện qua hệ thức bắt định Hei enberg, ((a4)’) ((28)’) > ket, (1.39) " trong đó (4) ) là đại lượng đặc trưng cho mức độ thăng giáng của. giá trị đo được A quanh giá trị trung bình lượng tử (A) của đại lượng A va duge dinh nghĩa như sau ((a8)’) = ((A=(a))") =) = (A) a Xét với trường hợp cụ thể Â.2, ta được kết quả sau (a2) ((aø) (4) Phương trình (1.41) cho thấy thăng giáng trong trạng thái kết hợp luôn.
là nhỏ nhất. Vì vậy các trạng thái kết hợp được gọi là các trạng thái có độ bất định tối thiểu. Mặt khác, hệ thức bất định Heisenberg chi áp đặt Là? Ae sự bắt định lên tích của các phương sai (3) ) (9) ) Hệ thức Heisenberg hoan toan khong bi vi phạm nếu tích của hai thăng giáng luôn lớn hơn hoặc bằng giới hạn lượng tử chuẩn, nghĩa là một trong hai thăng giáng là rất nhỏ và thăng giáng còn lại trở nên lớn hơn rất nhiều. Tit d6 ta định nghĩa một trạng thái được gọi là nén với đại lượng A nều thỏa mãn (1.42) 66) trong đó 2 là độ bất định ứng với giới hạn lượng tử chuẩn.
Từ đó, nếumột trạng thái có một thăng giáng lượng tử nhỏ hơn giới hạn lượng, tử chuẩn thì được gọi là trạng thái nén. Bên cạnh đó, nếu một trạng thái 18 nền có. ch fia ((aa)’) ((a8)') bằng độ bất định tối thiểu thì nó được gọi là trạng thái nén lý tưởng. Nền tổng hai mode Sau khi được đưa ra lần đầu vào năm 1970, trạng thái nén đã được các nhà vật lý lý thuyết quan tâm nghiên cứu, đặc biệt là các kiểu nén.
Trạng thái nén da mode bac cao đã được Hillery (12] đưa ra vào năm 1989. Xét hai photon có tần số 18 wy vA «; (œ # wn) va hai photon này kết hợp lại thành một photon có tần 86 we = wa +». Ta định nghĩa toán tử nến tổng như sau v 3(cater + Wah) .43) trong đó â,⟠là toán tử sinh, hủy photon của mode thứ nhất, ô,ñŸ là toán tử sinh hủy photon của mode thứ hai. Từ phương trình (1.43), toán tử nén tổng ứng với (g + §) có dạng.
44) 19 That vay, ta chứng minh (1. (146) Tit phương trình (1.46), ta có hệ thức bất dinh Heisenberg cho hai toan tử này như sau AV,Al (ers) 2 1(8e+a+1).47), ta có định nghĩa một trạng thái được gọi là nén tổng hai mode nếu trung bình trạng thái này thỏa mãn bất đẳng thức sau ¬v (at) ) <1(8 +fu +1), (148) với mọi ý. Nón hiệu hai mode Xét hai photon có tần số là w, vA wp (ws, > wa) va hai photon này kết hợp lại thành một photon có tần số œ¿ = —wy. Ta định nghĩa toán tử nén hiệu như sau.
(149) trong đó â,⟠là toán tử sinh, hủy photon của mode thứ nhất, ô,ñŸ là toán tử sinh hủy photon của mode thứ hai. Từ phương trình (1.49), toán 20 tử nền tổng ứng với (+ §) có dạng H(s„g) = 5 |£' Đai + e1) (150) Hai toán tử này thỏa mãn hệ thức giao hoán Wug)] = plete), (151) trong d6 fi, = ata va iy = 61d Lin Iuot la toán tử số hạt của mode a và. That vậy, ta chứng mình (1.51) như sau (152) “Từ phương trình (1.52), ta có hệ thức bất định Heisenberg cho hai toán tử này như sau.47), ta có định nghĩa một trạng thái được gọi là nén hiệu hai mode nếu trung bình trạng thai ni thỏa mãn bất đẳng thức sau = » < F(a - iy), (1. Tính chất phản kết chim Phân kết chùm còn được hiểu là phản kết hợp.
Khái niệm phản kết chùm được đưa ra bởi Kimble ~ Mandel [16] vA Carmichael ~ Walls [7] vao nam 1976 và được kiểm chứng bằng thực nghiệm bởi Kimble, Dagenais và Mandel [I7] vào năm 1977. C¡ photon phản kết chùm có thể được hiểu là các photon độc lập, cách xa nhau và không thể kết hợp với nhau.