Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT Trong chương một, chúng tôi trình bàu tổng quan về trạng thái kết hợp, trạng thái nén va các tính chất phi cổ điển. Trong đó, các tính chất phi cổ điển bao gồm: tính chất nén tổng, nén hiệu hai mode; tinh chất nén kiểu Hillery bac cao; tinh phản kết chim bậc cao; sự tí phạm bắt đẳng thức Caueh- Schanarz; tiêu chuẩn đan rối Hilerg-Zubairy tà tiêu chuẩn đan tối entropy von Newmann. Trạng thái kết hợp 1. Định nghĩa Trang thai kết hợp đã được Glauber [14] va Sudarshan [32] đưa ra vào năm 1963 dùng để mô tả tính chất e tỉa laser, là chàm tia có có độ đơn sắc cao tạo ra các trường điện từ chứa các trang thái kết hợp, Trạng thái kết hợp |a) eó thể được tạo ra bằng cách tác dụng toán tử dịch chuyển D(a) lén trang thai chan không |0) của trường điện từ.
(0) trong đó D(a) = exp(a8!) exp(~a*ả) là toán tử dịch chuyển với tham số kết hợp là œ rexp(ig); r vay lan lượt là biên độ và pha kết hợp; đÏ(ã) là toán tử sinh (hủy) hat boson và chúng tuân theo hệ thức giao hoán. 2 (12) thì exp(A + B) = exp(A) exp(B) exp(—Z148) as) Ta chon A = aat, B = —a*â và [A, B) = |a| thỏa mãn hệ thức (1. (9) Ấp dụng khai triển chuỗi Taylor của hàm dạng cho hai thừa số đầu tiên. trong biểu thức (1.6) ta được exp(aäÏ) = 1+ (eat) (17) exp(~a'4) = 1 + (=a—Ñp (18) 8 Bằng cách tác dụng toán tử dịch chuyển lên trạng thái chân khong trường điện từ ta thu được 2 - ° 1 2(e)|0) = esp(aä')exp(~a'4) exp(~zIaÏ)|0) (19) Tit (1.12) n Từ đó suy ra.
la) = Đ(a)l0) = ew(=gIaP) 3" in, (8) trong đó |n) = 20) là các trạng thái Fock. |n) là trạng thái riêng của toán tử số hạt ñ — âÌâ nghĩa là al0) = 0, a|n) = Yn|n—1), (1. (115) Các trạng thái Fock tạo nên một hộ cơ sở đủ, nghĩa là (116) Vì vậy ta có thể khai triển một vectơ bất kỳ trong hệ cơ sở này. Diều có nghĩa là trong không gian Eock, các trạng thái kết hợp có thể biểu diễn dưới dang la) =ep(-laf)32= Sim).
Phương sai của toán tử số hat trong trạng thái kết hợp |a) là (A8)? (ne) = (iy = #n|8#|n) = (n|ñ|n)® = (alãtãâÌâ|a) — ( (a|a*ââÌa|a) — ( = lalÊ(a|1+ aÌ4|a) — | lal?((ala) + (alã 2 = laP(1 + fal’) — alt = lal’. Đối với trang théi Fock (nlf? |n) — (n}a|n)? la|n) — (nlatâ|n)? n{n — 1|ââÌ|n— 1) — nŸ{n — 1|n — 1)? =n{n — l|ãÌã ‡ lỊn — 1) n = n(n — l)ƒn — |n — 9) + n{n — lịn =n(n—1)+n— -n+n~ Như vậy, số hạt có thể đo được một cách chính xác đối với trạng thái Fock nhimg trong trang thái kết hợp |a} thì phép đo phải chịu một sai số tỉ lệ với trung bình của số hạt. Các tính chất của trạng thái kết hợp “Tính chất 1: Phân bố số hạt ở trạng thái kết hợp |œ) tuân theo phan bé Poisson. $6 hat boson trung bình cũa trạng thái kết hợp |a) là (1.22) Tinh chất 2: Tap hgp tất cả các trạng thái |a) là một tập hợp đủ.23) That vay [ivawta= = fe fee » m sa.
Chuyén sang toa dé cue ta duge Pa = rdrdg. do đó [eletfa= [ rà i mm (1.25) lọ lọ Vnlmt với [Ệ” cÍ"~")zd = 2nổm„„ nên suy ra J \a){a\Pa = 2x f° rdr Š = Š #Im)(nl le 16 mà fer tdr aa.26) hay ta có £ [volta == myenl - (1.27) = Tinh chat 3: Các trạng thái kết hợp thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa. lật vậy, ta có. (el) = œø(-j|al)eœp(-jI5) 3, S25 (nÌm) = exp(-Hlal?)exp(-$42) SSPbum = exo(—Hlal?— 46?) > EE = exp(—3lal? ~ š|đ|Ÿ) expa*ổ = exp(—}al?— 314° +.
Nhận xét 7 + Trường hợp œ # đ thì exp(—|a — đ|) # 0. nghĩa là các trạng thái kết hợp không trực giao với han, + Trường hợp|a— đ| > 1 thì exp(—|a — đ|”) = 0, nghĩa là các trạng thái kết hợp xem như gần trực giao với nhau. Do đó, trạng thái kết hợp không trực giao với nhau, chúng được xem như là gần gần trực giao với nhau khi |a — đ| >> 1 Hệ quả của sự không trực giao nhau là bất kì trạng thái kết hợp nào cũng có thể khai triển theo các trạng thái kết hợp khác, nghĩa là ( 1 x[In)telasalad)Éa 51 | = | @ala) Cale) exexp(-: 1 f+aa*— lel?) (1.30) Điều này cho thấy rằng tập hợp tắt cả các trạng thái kết hợp tạo thành. Tính chất 4: Trạng thái kết hợp là trạng thái tương ứng với độ bất định nhỏ nhất, được suy ra tit he thite bt dinh Heisenberg ° 7 1 (AX) (AP?) = Tạ (1.31) Để chứng minh trạng thái kết hợp là trang thái có độ bắt định cực tiểu, úng tôi đưa vào hai đại lượng X, P không thứ nguyên và được biểu diễn thông qua hai toán tử tương ứng là và Ê được định nghĩa it +a), P= <(at—a).32) Mặt khéc, X và # là các toán tử Hermite nên chúng tương ứng với các đại lượng vật lý đo được.
Do đó, phương sai của mỗi đại lượng là Phương sai của Ä ” $ ° (a|(AX) Ja) = (| X7Ia) — ((a|X ay)? = Hal(a' + @)"Ja) - 4((a\(a' + @)Ja)) = Ha? +a? + Qlal? +1) — ja? +0? + 20a") 1 18 Phương sai của (al?) (a|P?|a) — ((a|Pja))? = ‡ Vậy (al(A#)Ïla)(al(AÐ) la) = 16 Đây là giá trị nhỏ nhất tương ứng với hệ thức bắt định H‹ đó, các trang thái kết hợp là trạng thái cho phép thực hiện các phép đo đồng thời hai toán tử Ä và với sai số nhỏ nhất.33) gọi là giới hạn lượng tử chuẩn. Đây cũng chính là tính. chất quan trọng nhất của trang thái kết hợp. Trạng thị kết hợp thêm photon.
Vào năm 1991, Agarwal vi Tara [10] đã đưa ra được định nghĩa được trạng thái kết hgp them photon, Trang thái két hgp them photon là trung gian giữa trang thái Fock và trạng thái kết hợp. Với trạng thái kết hợp |a), trạng thái kết hợp thêm photon được định nghĩa như sau |a.34) la) với mm là số nguyên không âm. Trong đó sata) = (my lal? = 1u(—|al?)ml, foley È lứm — p)lŸm với tafe) So Gant i (nlm =n)! Ia da thite Laguerre bie m theo r. Hay ta có thể almay (0m) Tala 19 ‘Trung hgp m = 1 thì (1.
lat) =eala) la.Ð) /1+lal? Trạng thái |a,sn) được biểu diễn dưới dang trạng thái Fock Ia frita( eR? ) n(n +m)! 2 nm) (1. Trạng thái nén Các tính chất toán học của các trạng thái nén đã được Stoler [B1] khảo sát vào năm 1970 và đến năm 1979 được Hollenhorst [20] đặt tôn. Sau đó, nó đã được khẳng định bằng thực nghiệm vào năm 1987. Tit he th bắt định Heisenberg với hai toán tử A va B theo thit ty lin lượt biểu diễn cho hai đại lượng vất lý 4 và /.
Theo eơ học lượng tử nếu hai đại lượng này không đo được đồng thời thì hai toán tử Ä và 8 không giao hoán với nhau, nghĩa là l4.36) Với trường hợp này, ta có được hệ thức bắt định trong trang thai bat ky |e) của hệ 056A Ø5 > xI(4,8) (24/28) sự an — = KỘI, Ke an Trong đó, đại lượng đặc trưng cho mức độ thăng giáng của giá trị đo được A quanh giá trị trung bình lượng tử (Â) của đại lượng 4 là phương sai ((A4)') được định nghĩa (A4)? 3 = (A= (A))’) = (4) - (4 (1.38) Nếu chúng ta cụ thể hóa cho A = X, va B= P thi = flat. a)} 3 Đối với các trang thái Fock |n) ta có (nl(A))Im = (nl (X)"pIn) = (nf (X) ny? 1(al((â! + 8) )|n) — 4(n|(al + an)? (nl(@!|n) + (nl(@)|n) + (n|@8)|n) +(n|(aa")|n)) = 3(n|(@))|n) + (nl(@)|n))? = }@n+1). Tương tự ta có. Vậy ta được (ax) ary) = hens yrs f= LOL (139) Đối với trạng thái kết hợp ta có (al(A#))Ie) = (al(@AÐ) la) = 3, (140) hay @alqqA4)?)la)el(AP) la) = (14) Từ (1.41) ta thấy rằng nếu ở trang thái kích thích các trạng thái Foek luôn thể hiện đấu lớn hơn trong hệ thức bắt định Hoisenberg.
2 hay thỏa mãn hệ thức bất định Heisenberg. Đối với trạng thái kết hợp |a) thi dầu bằng của hệ thức bat định Heisen- berg ở (1.42) xảy ra và các phương sai của toán tử biên độ trực giao bằng nhau ((A4)”) = ((A#Ø)”) = 1/4. Do đó, các trạng thái kết hợp. còn được gọi là trạng thái ứng với độ bất định tối t Bên cạnh đó, hệ thức bất đị Hei berg chỉ áp đặt sự bắt định lên tích của các thăng giáng ((A.
Nếu một trong hai thăng giáng là rất bé và thăng giáng còn lại trở nên lớn hơn thì hệ thức n hoàn toàn không, vi phạm. Về mặt toán học, một trang thái gọi là trạng thái nén với đại lượng 4 nếu thỏa mãn (Ady) < Ko, (1.42) Giá trị tương ứng với độ bất định l'?! ứng với giới hạn lượng tử chuẩn. Vậy nên, một trạng thái có một thăng giáng lượng tử nhỏ hơn giới hạn. lượng tử chuẩn thì trạng thái đó được gọi là trạng thái nén.
Đối với trường hợp đặc biệt, nếu trạng thái nào mà các thăng giáng lượng tử bằng giới hạn lượng tử chuẩn thì trạng thái đó có thể coi là trạng thái nến lý tưởng. Một số tính chất phi cỗ điển. Tính chất nén tổng Nền tổng được hiểu đơn giản là hiện tượng hai photon ở hai mode ø và ở có tần số lần lượt là w,,w5(w, #0»), kết hợp thành một photon có tần s6 we = œạ + «ụ. Toán tửu nén tổng được định nghĩa như sau: ati + ab), (1.43) 2 - 1, seman Ếlg+«/3) = geet Patt te" Hab), " (149) với ó là góc hợp bởi Ý2 và trục thực của mặt phẳng phức, với âÌ(â) và.
ÖÏ(Ô) lần lượt là các toán tử sinh (hủy) photon của mode a vi mode ở. Các toán tử Ẳ, {e:a/a) thỏa mãn hệ thức giao hoán [ Vers] = $(ta + ñy + 1), (145) với jÊ là các toán tử số hạt của mođe a và mode ở. Thật vậy [Ves Viersm] = Veorera —Vorante = (9A + ab) (eto Pallt +e Pab) — Leterbalbl + everBab)(ci@atbl + e-i@ab) [ e8 — e8)ã|BlãÊ + (e3 — e “3)abal'] =! [(-2natitad + 2i(ala + I) + 9] ú Mặt khác chúng luôn thỏa mãn hệ thức bất định Heisenberg. A2AÑ,,„ > TẾ, + ñh + 1) (146) Một trạng thái được gọi là nén tổng hai mode theo phương xác định góc ở nếu thõa mãn bất đẳng thức sau ((A2)) < le + is +1), 4) trong đó ((AW,)”) = (V2) — (Ý¿)°.
Đây chính là điều kiện để khảo sát tính chất nén tổng hai mode của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tich S0(1, 1) lẻ 1.