Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT Trong chương này chúng tôi sẽ trình bầy tổng quan các kiến thức cơ bin vé trạng thái kết hợp va trạng thái nén. Tiếp theo, chúng tôi trình bày các tính chất phi cổ diễn cụ thể như tính chất nén tổng, nén hiệu, nén Hillery bậc cao, lính chất phản kết chùm, sự 0ì phạm bất đẳng thúc Cauchụ-Schaørz và khảo sát tính chất đan rối của trạng thái hai mode két hop SU(1,1) thêm một vd bớt một photon lẻ. Trạng thái kết hợp. Khái niệm “Trạng thái kết hợp là trạng thái ứng với giá trị thăng giáng nhỏ nhất suy ra từ hệ thức bất định Heisenberg và được đưa ra năm 1963 bởi Glauber (18] va Sudarshan [23], ký hiệu là |a) với œ là một số phức Đó là trạng thái được tạo ra bằng cách tác dụng toán tử dịch chuyển Ô(a) lên trạng thái chân không (là trạng thái mà tại đó không có hạt nào được kích thích và được kí hiệu |0) ) của trường điện từ, nghĩa là D(a) |0) (11) véi D(a) = exp (aa! — 0°@) là toán tử dịch chuyển của toán tử â, với a = rexp (02) là tham số kết hợp, r và y lần lượt là biên độ và pha kết hợp, âÌ,â lần lượt là toán tử sinh, hủy hạt boson của trường điện từ Trạng thái kết hợp có thể được biểu diễn la) = exp (a↠— a*3) |0).
(13) trong đồ |n) = I" Jo) a vects trang thai chita n hat boson hay còn gọi là trạng thái Fock va [0) li vects trang thai chân không của hệ hạt. Nên trang thái kết hợp có thể được biểu diễn (14) 1. Các tính chất của trạng thái kết hợp Tính chất 1: Trạng thái kết hợp |a) có phân bố số hạt tuân theo phân bố Poisson, nghĩa là số hạt trung bình của trạng thái kết hợp la) chính bằng bình phương biên độ kết hợp r, nghĩa là That vay Ngoài ra a=rexp(0) Do đó (ñ) = (ala*ala) = la|? = Xác suất p(n) để tìm n hạt bœson ở trạng thái |a) chính là phân bố Poisson P(n) = (nl a) (an) lalae exp (-lal*) _ (nyNexp (= (A) —— (18) “Tính chất 3: Tập hợp tắt cả trang thái ja) I mot tap hop dit ;I»® (ala = (17) Thậtat vệvay fla) (alfa @a == fer" fer? YF $9 In) DoFs SE SL (m|đla,a (m|a,a == rẻ re? chuyển sang tọa độ cực ta được đ?œ = rdrde, do đó nemeil e nme fo (al a= J te face x In) (m|, vali 2 với f eM Pdy = 28mm nen suy ra Sle) (al a= 2x Frade S> eSIn) (ni In) (nlỆf fer tdr, Me no a Tich phan Poison J = fe? r?"'dr a [i (al da ==. hay ta có f ja) teliêa = SW) (nl = m0 "Tính chất 3: Các trạng thái kết hợp thỏa mãn điều kiến chuẩn hóa (ala) = 1, nhưng chúng lại không trực giao với nhau, nghĩa là a # đ thì (a|3) #0 ‘That vậy từ định nghĩa trạng thái kết hợp |a), ta có.
Hệ quả của sự không trực giao nhau là bất kì trạng thái kết hợp nào cũng có thể khai triển theo các trạng thái kết hợp khác, nghĩa là la)=‡ Ƒ la) (ala)d8a =‡J #a|la)exp (-Hel? +aa*— He) (8) Điều này cho thấy rằng tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp tạo thành. hệ quá đủ Tính chất 4: Trạng thái kết hợp là trạng thái tương ứng với độ bất định nhỏ nhất, được suy ra từ hệ thức bất định Heisenberg. Để chứng minh trạng thái kết hợp là trạng thái có độ bất định cực tiểu, chúng tôi đưa vào hai đại lượng X, P không thứ nguyên và được biểu diễn thông qua hai toán tử tương ứng là Ä va P được định nghĩa như sau. trong đó x và p là các đại lượng có thứ nguyên tương ứng với tọa độ và xung lượng.
Các toán tử X va Ê được biểu diễn thông qua các toán tử sinh, hãy photon của trường điện từ dưới dạng 1 i 3 (a #=- (â! +â),ð +4). p= 5 (a = 2 (ât — â) —a) Mặt khac, X va P là các toán tử Hermite nên chúng tương ứng với các đại lượng vật lý đo được. Do đó, ta có thể tính được phương sai của mỗi đại lượng Phương sai của Ẩ (l(AX) la) =(a x =4(a =} (a7? +a?+2jal? +1) —$ (a"? +a? +200") = 4. Phương sai của Ê (oer) (oho) ~ (Ae) Vậy ta có (el(AX) la) (al(APla) = z (1.9) Dây là giá trị nhỏ nhất tương ứng với he thức bắt định Heisenberg, Do vậy, các trạng thái kết hợp là trạng thái cho phép thực hiện các phép đo đồng thời hai toán tử Ấ và P với sai số nhỏ nhất.16) gọi là giới hạn lượng tử chuẩn.
Dây cũng chính là tính chất quan trọng nhất của trạng thái kết hợp. Trang thái nén cho hai toán tử Hermitic Á và Õ theo thứ tự biểu diễn cho hai đại lượng vật lý A và B Theo cơ học lượng tử nếu hai đại lượng vật lý này không do được đồng thời thì về mặt toán học hai toán tử  , Ø cũng không giao. hoán với nhau, nghĩa là giao hoán tử (A.B) = AB- BA=C 40 (110) Với trường hợp này ta có được hệ thức bắt định trong trạng thái lượng tử bất kỳ |ớ) của hệ Log at VAVB> 14.8)| Jo, (1) trong đó, đại lượng đặc trưng cho mức độ thăng giáng của giá trị đo được À quanh giá trị trung bình lượng tit (A) của đại lương gọi là phương sai, phương sai V. được định nghĩa như sau VA (A — (A))?) = (4) - (À).12) Nếu ta cụ thể hóa / X va B= P thi ta được .PÌ= [se +a), i@ ra] =5 Voi trang thái Fodk ta có (vx) (vp) agen +1P> (13) Đối với trang thái kết hợp ta có (oleeop(ol(raay-4-KOE em Trong các trang thái nén chúng ta có thể đo một đại lượng A nào đó với độ chính xác tuyệt đối nhưng không vi phạm hệ thức bắt dinh Heisenberg thì sai số khi đo đại lượng B là vô cùng. Ta thấy nếu ở trạng thái kích.
thích thì trạng thái Fode luôn thỏa mãn hộ thức bắt dink Heisenberg, còn đối với trang thái kết hợp thì dấu bằng luôn xảy ra. Do vậy, các trạng thái kết hợp là các trạng thái có độ bắt định tối thiểu. Bên cạnh đó với các trạng thái lượng tử, thông thường các phương sai V'Â, V Ö đều đồng thời lớn hơn giới hạn lượng tử chuẩn lẤÊÌÌ, Điều đó có nghĩa là nếu một trạng thái có một thăng giáng lượng tử nhỏ hơn giới hạn lượng tử chuẩn thì trạng thái đó được gọi là trạng thái nén khi V. (hoặc W ) bé hơn giới hạn lượng tử chuẩn và dãy nhiên V8 (hoặc VÂ) phải lớn hơn giới hạn đó, sao cho nguyên lý bất định không vi phạm thì gọi là trạng thái nền đối với trang thai A (hoặc B. Trong trường hợp đặc biệt nếu trạng thái nén của A (hoặe B) thỏa mãn điều kiện VA = vB = LOI thì được gọi là trạng thái nén lý tưởng.
Một số tính chất phi cổ điển Một trạng thái được gọi là phi cổ điển là trạng thái thể hiện tinh chất nền, tính phản kết chùm và sự vỉ phạm bất đẳng thức Cauchy- Sch z. Một trạng thái đang xem xét có thể biểu hiện các tính chất phi cổ điển ở mức độ khác nhau, có thể nó chỉ có một trong các tính chất trên, nhưng cũng có thể thể hiện đủ các tính chất này. Trong nội dung nghiên cứu của luận văn này, chúng tôi chỉ xét cho trường hợp hai mode bậc hai được đưa ra bdi Hillery [19] và được gọi là nén tổng và nến hiệu hai mode 1. Nền tổng và nén hiệu hai mode 1.1 Nến tổng hai mode Nền tổng được Hillery [19] dua ra vao nim 1989.
Xét hai photon, một có tần số góc «ị„ và một photon có tần số góc (0, # 4), kết hợp thành một photon có tần số œ¿ = z„ + œ0. Toán tử nén tổng được định nghĩa như sau Ñ ; (cisalé! + ead) Vier) = ịfe sor),. (115) trong dé at va ñ tương ứng là toán tử sinh hủy photon của mode thứ nhất, ôÌ và ỗ là toán tử sinh hảy a mode thit hai, Cúc toán tử này thỏa mãn hộ thức giao hoán. (118) trong dé ty = mode b.
That vay (e'“alðt + eab) [Dalit + MOF ai] iat + MDa] (at + tá) ña + ñy + 1) Một trạng thái được gọi là nén tổng hai mode nếu trung bình trạng thái này thỏa mãn bắt đẳng thức sau.18) với mọi giá trị của ở và trong đó. (aØ,)) = (v2) - (wy Đây chính. Tà điều kiện để chúng tôi khảo sát tính chất nén tổng hai mode của trạng, thái SU(1, 1) lẽ trong phần sau 1.2 Nền hiệu hai mode Nền hiểu được Hillery [19] dita ra vao nam 1989, Xét hai photon, một có tần số góc «¿ và một photon có tần số góc ¿(su 7 4%), tương tác với nhau sinh ra photon có tần số hiệu œ, = œy — «ụ. Giả sử rng w, > wy, Toán tử nén hiệu được định nghĩa như sau ¬ i, = 1 ions (cieait 7 We=5(e “abi + +e eatab) 5 (1.21) trong d6 he = ala, iy = bd Lan Iugt 1a ton tit s6 hat cia mode a va mode b That vay, [We.
Woy] = WoW org) — Woes) = Met 4 aly [OrDabt 4 40 Patl it + eM Dat] (abt + ea) Hệ thức bắt định cho hai toán tử IŸ„ và AI, (1.22) Một trang thai được gọi là nén hiệu hai mode nếu trung bình trạng thái này thỏa mãn bắt đẳng thức sau (A2) < 3 (6u — ñ) (129) l „À2 với mọi giá trị của ở và trong đó (am) = (W2) - (Wa) Day cũng chính là điều kiện mà chúng tôi sử dụng đổ khảo sát tính chất nén hiệu hai mode của trạng thái hai mode SU(1,1) lẽ 1. Nén Hillery bac cao Vào năm 1985, Hong va Mandel da dita ra các trạng thái nén đơn mode bậc cao gọi là nén Hong-Mandel. Một kiểu nén đơn mode khác cũng được Hillery đưa ra vaò năm 1987 (bac hai) và sau đó bậc ba, bậc k được gọi chung là nén Hillery. Toán tử biên độ lũy thừak được định nghĩa như sau > 1 Xax(d) = z( ‘ak + el@al®), z1 : ; Xaalo+ %)3) — Ì;((2~i613)g*a 2+ elloeilordath Dal ) (1.24) Giao giữa toán tử Ä„z(ó) và Ấ„¿(ó+ 5) là oa), Xeal+ 3)] = Sal, (1.25) rút ra được hệ thức bắt định dối với phương sai VXjk(9).
Sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Các tính chất thống kê của các mode được đặc trưng bởi (1.29) với các trường cổ điển thì bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có dạng GixGig - G2, > 0, (1.32) Bắt đẳng thức Cauchy-Schwarz cé thé viét lai như sau 22) (gitgeyy 1 = Pe) oP 0 (1.
