Phần mở đầu trình bày lý do chọn đề tài, mục tiêu nghiên cứu, đối tượng và phạm vi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, những đóng góp mới của luận án, ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án, bố cục luận án. - Phần nội dung bao gồm bốn chương. Chương một trình bày về cơ sở lý thuyết của luận án. Chương hai trình bày về việc khảo sát các tính chất và các quá trình động học của các trạng thái phi cổ điển hai và ba mode.
Chương ba trình bày về trạng thái hai mode mới và các quá trình động học của trạng thái mới này. Chương bốn trình bày ứng dụng các trạng thái đa mode vào viễn tải lượng tử. - Phần kết luận trình bày về những kết quả đã đạt được, đánh giá mức độ đạt được so với mục tiêu đề ra, các ưu nhược điểm của đề tài, hướng khắc phục và phát triển của đề tài. Các kết quả nghiên cứu của luận án được công bố trong 05 công trình dưới dạng các bài báo khoa học, trong đó 01 bài đã được đăng trên tạp chí chuyên ngành nằm trong hệ thống SCIE (International Journal of Theoretical Physics), 01 bài đã được đăng và 01 bài đã được nhận đăng trên tạp chí chuyên ngành trong nước thuộc danh mục ACI (Hue University Journal of Science: Natural Science, Dalat University Journal of Science), 01 bài đã được đăng trên tạp chí Khoa học, trường Đại học Sư phạm Huế, và 01 bài đã được đăng trong Kỷ yếu Hội nghị Vật lý Thừa Thiên Huế.
Ngoài ra, có 01 bài đã gửi đăng trên tạp chí chuyên ngành quốc tế nằm trong hệ thống SCIE (Optical and Quantum Electronics). 8 PHẦN NỘI DUNG Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Mở đầu Các trạng thái phi cổ điển là các trạng thái thể hiện một hoặc nhiều tính chất phi cổ điển như tính chất nén, tính chất phản kết chùm, tính chất rối, tính chất thống kê sub-Poisson mà có nhiều ứng dụng trong quang học lượng tử và thông tin lượng tử [54]. Lớp các trạng thái phi cổ điển đầu tiên được chỉ ra là các trạng thái nén đã được Stoler đưa ra vào năm 1970 [55] và đã được Kimble khẳng định bằng thực nghiệm [56].
Tiếp đến là họ các trạng thái kết hợp phi tuyến như trạng thái kết hợp cặp [57], trạng thái kết hợp phi tuyến K hạt [58] và trạng thái kết hợp bộ ba [33]. Lớp các trạng thái phi cổ điển kế tiếp với nhiều ứng dụng tiềm năng là các trạng thái thêm/bớt photon lên một trạng thái cổ điển hoặc phi cổ điển nào đó để tăng cường thêm tính chất phi cổ điển của trạng thái ban đầu, chẳng hạn như trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode [32], trạng thái kết hợp cặp chồng chất thêm và bớt photon hai mode [28], trạng thái kết hợp bộ ba chồng chất thêm photon [34]. Các trạng thái phi cổ điển mới, đặc biệt là các trạng thái phi cổ điển thêm, bớt photon đã và đang đóng vai trò rất quan trọng trong thời gian gần đây. Do đó, có nhiều trạng thái phi cổ điển mới tiếp tục được đề xuất, nghiên cứu và ứng dụng vào thực hiện các giao thức, các nhiệm vụ trong kỹ thuật truyền thông lượng tử [59].
Có nhiều cách tiếp cận để chỉ ra một trạng thái là cổ điển hay phi cổ điển. Thứ nhất là sử dụng hàm phân bố chuẩn xác suất Glauber- 9 Sudarshan [60]. Trạng thái là cổ điển khi hàm phân bố xác suất của trạng thái đó nhận các giá trị thông thường. Nếu như hàm Glauber-Sudarshan nhận các giá trị âm hoặc có tính kì dị mạnh hơn tính kì dị của hàm Delta thì đó là trạng thái phi cổ điển [61].
Ngoài ra, trạng thái phi cổ điển cũng được xác định trên cơ sở của hàm Wigner [62]. Đây cũng là một hàm phân bố chuẩn xác suất vì nó có thể nhận giá trị âm. Khi hàm Wigner của một trạng thái nhận giá trị âm, đó là trạng thái phi cổ điển. Tuy nhiên đây chỉ là điều kiện đủ, bởi vì một trạng thái có hàm phân bố Wigner âm thì chắc chắn đó là trạng thái phi cổ điển, nhưng trạng thái phi cổ điển không nhất thiết phải có hàm Wigner âm, trạng thái nén là một ví dụ cho trường hợp này [63].
Còn khi xét đến tính thống kê của hàm phân bố photon, chúng ta có thể sử dụng hàm tương quan bậc hai để xét đến tính chất phản kết chùm của photon mà đặc trưng cho các trạng thái phi cổ điển [64]. Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các trạng thái phi cổ điển như trạng thái kết hợp đơn mode thêm photon, trạng thái kết hợp cặp, trạng thái kết hợp cặp thêm photon tổng quát, trạng thái kết hợp bộ ba và trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon. Đây là các trạng thái được chúng tôi nghiên cứu trong quá trình chúng tương tác với nguyên tử trong mô hình JC. Trước khi làm rõ các tính chất phi cổ điển của các trạng thái trên, chúng tôi trình bày về trạng thái Fock và trạng thái kết hợp đơn mode.
Tiếp theo, chúng tôi trình bày về mô hình JC là một mô hình diễn tả sự tương tác giữa ánh sáng và vật chất. Chúng tôi phân loại các mô hình JC gồm đơn mode và đa mode với nguyên tử là nguyên tử hai mức hiệu dụng và trường chính là các trường phi cổ điển đã được mô tả ở các tiểu mục trước đó. Đây là mô hình cơ sở để chúng tôi tiếp tục khảo sát các quá trình động lượng tử xảy ra theo thời gian khi nguyên tử tương tác với trường. Các trạng thái phi cổ điển hai và ba mode 1.
Trạng thái Fock Trạng thái Fock hay còn gọi là trạng thái số hạt |n⟩ mà được xây dựng từ kết quả của quá trình lượng tử hóa lần thứ hai. Đây là trạng thái có số hạt xác định và được khái quát từ trạng thái chân không. Trạng thái Fock được thu bằng cách tác dụng liên tục các toán tử sinh lên trạng thái chân không, â+n |n⟩ = √ |0⟩ , (1.1) n! trong đó |0⟩ là trạng thái chân không, â+ là toán tử sinh và n là số nguyên không âm. Đây chính là trạng thái riêng của toán tử số hạt N̂ với trị riêng tương ứng n thỏa mãn phương trình trị riêng N̂ |n⟩ = n |n⟩ , (1.
Các trạng thái Fock phải thỏa mãn điều kiện trực chuẩn và đầy đủ, nghĩa là ∞ X ⟨m|n⟩ = δm,n và |n⟩ ⟨n| = 1, (1.3) n=0 trong đó δm,n là hàm delta-Kronecker. Khi tác dụng nhiều lần toán tử sinh hoặc hủy hạt lên trạng thái Fock, ta được p (n + m)! â+m |n⟩ = √ |n + m⟩ , n! √ (1.4) n! âk |n⟩ = p |n − k⟩ , (n − k)! trong đó m, n và k là các số nguyên dương, k thỏa mãn điều kiện 0 < k < n, và các toán tử sinh, hủy thỏa mãn các hệ thức giao hoán (1. 11 Do các tính chất tiện lợi của trạng thái Fock, nên các trạng thái phi cổ điển thường được biểu diễn qua trạng thái này. Đồng thời với tính chất của các toán tử sinh, hủy trong biểu thức (1.4), kỹ thuật thêm (bớt) photon được áp dụng lên các trạng thái Fock để tạo ra các trạng thái phi cổ điển với các tính chất phi cổ điển được tăng cường [65].
Điều này rất quan trọng khi thực hiện các nhiệm vụ lượng tử. Trạng thái kết hợp đơn mode Trạng thái kết hợp đơn mode được tạo thành bằng cách tác dụng toán tử dịch chuyển lên trạng thái chân không như sau: |α⟩ = D̂(α) |0⟩ , (1.7) ∗ với α là một số phức được gọi là tham số dịch chuyển có dạng α = |α| eiϕ , biên độ |α| biến thiên từ 0 đến ∞, φ nằm trong khoảng từ 0 đến 2π (rad). Trạng thái kết hợp này được giới thiệu bởi Glauber [66] và Sudarshan [60] vào năm 1963 để mô tả các tính chất của chùm sáng laser. Trong đó tính chất kết hợp là đặc trưng nổi bật của chùm sáng laser, nên nó còn có tên gọi trên.
Tên gọi trạng thái kết hợp đơn mode để phân biệt với trạng thái kết hợp đa mode vì các hạt boson trong trạng thái này dao động cùng một mode. Trong biểu diễn trạng thái Fock, trạng thái kết hợp có dạng ∞ 2 X αn |α⟩ = e −|α| /2 √ |n⟩ , (1.8) n=0 n! trong đó |n⟩ là trạng thái Fock được cho trong biểu thức (1. Trạng thái kết hợp còn được định nghĩa là trạng thái riêng của toán tử hủy boson với 12 trị riêng α, nghĩa là thỏa mãn phương trình trị riêng â |α⟩ = α |α⟩ .9) Áp dụng biểu thức (1.8), ta xác định được xác suất tìm n photon trong trạng thái kết hợp 2n −|α| |α| 2 2 P (n) = |⟨n |α⟩| = e .10) n! Đây là hàm phân bố Poisson vì nó luôn nhận giá trị trong đoạn từ 0 đến 1. Để biết được trạng thái kết hợp |α⟩ thuộc lớp các trạng thái cổ điển hay phi cổ điển, chúng tôi sử dụng định nghĩa của hàm phân bố chuẩn xác suất Glauber-Sudarshan [60].
Hàm phân bố P (α) của trạng thái ρ̂ là hệ số khai triển của trạng thái trong biểu diễn trạng thái kết hợp Z ρ̂ = P (α) |α⟩ ⟨α| d2 α, (1.11) thỏa mãn điều kiện P (α)d2 α = 1. Sở dĩ P (α) được gọi là hàm phân bố R chuẩn xác suất vì ngoài các tính chất tương tự hàm phân bố xác suất thông thường, hàm này có thể nhận các giá trị âm hoặc có tính kì dị mạnh hơn tính kì dị của hàm delta. Các trạng thái cổ điển là các trạng thái có hàm phân bố P (α) nhận các giá trị thông thường. Đối với các trạng thái phi cổ điển, P (α) nhận các giá trị âm hoặc có tính kì dị cao.
Đối với trạng thái kết hợp |β⟩, hàm Glauber-Sudarshan P (α) là hàm delta δ (2) (α − β). Theo tính chất của hàm delta đây là giới hạn cuối cùng của hàm phân bố cổ điển. Do đó trạng thái kết hợp thuộc lớp các trạng thái cổ điển. Tuy nhiên các tính chất của nó đều nằm ở giới hạn cuối cùng có thể chấp nhận được theo quan điểm cổ điển nên ánh sáng kết hợp được xem là ranh giới giữa ánh sáng cổ điển và phi cổ điển.
Chính vì vậy trạng thái kết hợp được sử dụng để tạo ra các trạng thái phi cổ điển, ví dụ với kỹ thuật thêm/bớt photon lên trạng thái kết hợp đã tạo ra các trạng thái phi cổ điển mới với nhiều tính chất phi cổ điển được tăng cường [18],[33],[67].