chương 1 nay, bao gồm: tính chat nén tổng; nén hiệu; nén bậc cao; tính chất phản kết chùm bậc cao; sự vi pham bất đẳng thite Cauchy-Schwarz; tinh chất đan rối theo tiêu chuẩn Hillery-Zubairy tà tiêu chudn Mancini. Trang thái kết hợp 1. Định nghĩa ‘Trang thai kết hợp |a) là trạng thái ứng với giá trị thăng giáng nhỏ nhất suy ra từ hệ thức bắt định Heisenbers, được Glauber và Sudarshan đưa ra vào nam 1963 (14, 36], ‘Trang thái kết hợp |a) là trang thái riêng của toán tử hủy photon â với trị riêng œ là một số phức, ala) = ala), (ala a*(al. Sử dụng công thức Baker - Hausdorff, exp(d + B) = eap(4)esp(8) ep(~3I4, 8) 03) Ta có Dla) = exp(aat - `.
—œ'4)), (14) trong đó |aä†,—a*a| = =|a|*|ât,a] = |a|?[a,at] = |a|°, nen Ble) = exp(ad')exp(—0°a)exp(—hlal) (15) Sit dung Khai trién chudi Taylor Thay (1.5) ta duge D(a) = exp(—Jlal?)exp(aa) ` (17) no “Tác dụng toán tử dịch chuyển Ô(a) lên trạng thái chân không |0) Đa) = œp(~saf)ep(aä') 3292p, (ng) Ta có.10) Sit dung Khai trién chudi Taylor exp(aat) = = (1) ta được 1 S (aál)" Đía)0) Ô = ep-glalf)32 mm 9y —= sec exp( Tạp 2) SẺ ay" a vat -= ep(-gInlƒ) 12) 2.12) Như vậy, trạng thái kết hợp |a) khai triển trong không gian Foek có dạng. Các tính chất của trạng thái kết hợp. a) Số hạt boson trung bình ở trạng thái kết hợp.14) Lam ¥ ala) = ala) = (aa a|a* và điều kiện chuẩn hóa (a|a) b) Xác suất dé tìm ở trạng thái kết hợp tuân theo phân bố Poisson Xuất phát từ trạng thái kết hợp, la sp(=5IaP) 3 2 hộ = Ta có (nla) = exp(—5}1 laPrexp (lal?) _ (n)"exp( Pín) in) = |(nla)l (n|a)|* = ss (15) e) Phương sai của toán tử số hạt trong trạng thái kết hợp.16) “Trong khi đó, đối với trạng thái Fock Vq = 0, điều này có nghĩa là trong trang thai Fock |n) số hạt có thể đo được một cách chính xác nhưng, trong trạng thái |a) phép đo này phải chịu một sai số tỷ lệ với trung bình số hạt. Với các hệ các số hạt lớn như hệ photon trong các chùm.
laser, hé exciton ở mật độ cao,. việc xác định chính xác số hạt là khong thể làm được. Theo nguyên lý bắt định, với độ bắt định tối thiểu trong. trạng thái |a), sư thăng giáng theo pha của hệ hạt la rat nhỏ.
Như vậy, các hạt trong trạng thái |a) hầu như có cùng một pha, trái ngược với sự hoàn toàn không xác định về pha của các hạt trong trạng thái Fock. Với ý nghĩa đó |a) được gọi là trạng thái kết hợp (các hạt đồng pha), 4) Tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp là một tập hợp đủ £ fionalea 1 —Í la)(a|d°a = 1.17) ©) Các trang thái kết hợp tạo thành hộ quá đủ (overcomplete) Mặc dù các trạng thái kết hợp là chuẩn hóa, (aja) = 1, nb ng chúng lại không trực giao với nhau, nghĩa là với (a|Z) không triệt tiêu (el8) = œg(~5lel'~ sI8f + a*8).19) Điều này cho thấy rằng tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp tạo thành hệ quá đủ (ouercomplete). Một số tính chất của toán tử dịch chuyển Sự tạo thành các trạng thái kết hợp là do sự tác dụng của toán tử dịch chuyển lên các voctơ trạng thái chân không. Các tính chất của nó đồng một vai trò quan trọng trong việc hiểu rõ trạng thái kết hợp.
Hơn nữa, nó còn thể hiện tầm quan trọng rit lén trong qui trình viễn tải lượng tử. Vì vậy trong mục này chúng tôi đề cập đến một số tính chất quan trọng của nó như sau a) Tính chất 1 Di(a) = D(a) = D(-a).20) Chứng mình: “Ta có D,(a) = exp(aa! — a*a), Di (a) = exp(a*a — ad!) = exp[-aa! — (-a*A)] = D,(-a), (1.21) mặt khác =1, _ 1 1 Bua) = Daa) — a") explaa? = exp(—aat + a*a)) = Di(a), (1.27) Sit dung cOng thite Baker - Hausdorff, với hai toan tit A va B bat ky ta có exp(=œÂ)#exp(a4) = B~ a[Â.27) ta được a] exp(—a*a) D;"(a)aDa(a) = exp(a+ *a)|a exp(a*4)âexp(~a"8) + œexp(a'â) exp(~a"â) = ñ*#aflã,8]+a=â+a.24): “Tương tự, ta có Dz(a)a! D,(a) = exp(a*a) exp(—aa'')a! exp(aâ') exp(—a*â).31) 10 trong đó exp(—aâ†)âÌ exp(aá†) = ↠— alâ†, â†] = at suy ra D;\(a)a'Da(a) = exp(a"a)al exp(—a"A) = 8'+a*la,äÌ|+a +a".32) ©) Tính chất 3 Địa)Ð() = Đ(a + 8)ep(*“‡®"2) (1.33) Chứng minh: “Ta có D(a) = exp(aat — a*a) = exp(A), D(A) = exp( 3a! — fa) = exp(B) +Ð(a)Ð(9) = œp(4)esp(8)ee(~j(Â.8|)ep(SIÂ, 8) = ep(Â+ 8)eapGIÂ, 8) =_esplœ + đ)8! — (a" + #94exp(GIÁ.BỊ) =_Ôía+8)ep(3IÂ,B)), (30 trong đó [A,B] = AB- BÀ = (aâf = a*8)(8âÌ = 8*ã) = (đã! = 8*â)(aäÌ = a*a) œØ*(ââÌ = ãÌâ) a*8(ãâÌ = ã!â) (a8* ~ 0°8)|a,a] = aữ'—a*8 (135) Suy ra D(a) D(B) = Địa + 8) exp( a8 u 1.4, Trang thai két hgp thém photon ‘Trang théi kết hợp thêm photon lần đầu tiên được định nghĩa bởi Agarwal và Tara vio nim 1991 [7]. Trang thái kết hop them photon I trung gian giữa trang thai Fock và trang thái kết hợp. Với trạng thái kết hop |a), trang thái kết hợp thêm photon được định nghĩa như sau: la,m) = aia) (1.36) với m là số nguyên không âm.
fa [(m - p)tp trong đó. (aml fale) aona là đa thức Laguerre bậc m theo x. Do dé, ta có thể viết ___ alla) loo = =a 1 thi (1. la1)= ál|a) la,1) /(@alãâtla) _ 1+ la|? “Trang thái |a,mn) được biểu diễn dưới dạng trạng thái Foek là.
Trạng thái nén Các tính chất toán học a các trạng thái nén đã được Stoler D. khảo át vào năm 1970, và ông gọi chú hà 'các bó sóng có độ bắt định cực tiểu". Nền photon được quan sát lần đầu tiên trong phòng thí "2 nghiệm bởi Slusher R. cùng cộng sự (3, sau đó được khẳng định bởi Kimble [23], Levenson cùng các cộng sự [20].
Hiện tại, các trạng thái nón được vận dụng trong lĩnh vực truyền thông quang và thực nghiệm để sóng hấp dẫn. Trạng thái nén được định nghĩa như sau: Nếu ba toán tử Hermite A, B và Ở thỏa mãn hệ thức giao hoán [A,B] Ở thì tuân theo hệ thức bất định Heisenbergr ((AÂ)) (A8)) > 1€), (38) Một trạng thái của hệ được gọi là nén đối với phép đo đại lượng vật lý: ‘A nếu có (Ay) < gI/Ó)| thì (4#)? > II (139) (trạng thái của hệ đối với phép đo đại lượng vật lý không nén) và ngược lại, sao cho tích ci a ((AA)?)((AB)?) khong vi phạm hệ bắt định Heisenberg (1. Khi trang thái nén có tích phương sai của toán tit A và toán tử Ø bằng độ bat định tối th nu thì chúng được gọi là trạng thái nén lý tưởng. Trong trường hợp nén biên độ trực giao, dat A và Ø tương ứng với hai toán tử biên độ trực giao Ẩ; = (ô + âÏ)/2 và xX — a) /(28), khi d6 (X), X3] = ¡/2 và Ở = 1/2.
Hệ thức bất định Heisenberg trong trường hợp này là ((A%)?)((AX)*) > 1/16, (1.40) suy ra nén biên độ trực giao tồn tại khi + 1 ẻ 1 ((AÄ0?) <j hoặc (AÄ)?) < 5. (141) Đối với trạng thái kết hợp |a), dấu bằng của hệ thức bắt định Heisenberg. ở (1-40) xây ra và các phươngsai của hai toán tử biên độ trực giao bằng nhau: ((A. Nếu một trong hai thành phần trực giao Ấ hoặc Xp ở trong các trạng thái thỏa mãn một trong hai điều 13 kiện của phương trình (1.41) thì sẽ có phương sai nhỏ hơn so với khi chúng ở trong trạng thái kết hợp hoặc trạng thái chân không, nghĩa là các thăng giáng trong thành phần biên độ trực giao đó được nén.
Nền biên độ trực giao là một hiệu ứng phi cổ điển, vì hàm P(a) của nó có thể nhận giá trị âm. Các phương sai của hai toán tử biên độ trực giao Ấ¡ và Ấ; được biểu diễn theo các số hạng của hàm P(a) [13] (A809 = 3 [L+ Í Pa) @ xa = (8+ @)@a} — a4 và ((AÄ;)®) = i { + [ P@la =a9/i ~ (8) = (49)/i2#a Ì, (148) trong đó (a= / P(a)ad?a va (al) J P(a)a*dPa. (144) Bởi vì các số hạng [.]? dưới dấu tích phân ở phương trình (1.43) luôn dương nên điều kiện ((AẤ/)?) < 1/4 hoặc (AÄ;)) < 1/4 yêu cầu P(a) phải không dương trong một số miền của không gian pha. Một số tính chất phi cổ điển 1.
Tính chất nén tổng Nền tổng là một đặc tính đa mode của một trạng thái phi cổ điển. Nền tổng được hiểu đơn giản là hiện tượng hai photon ở hai mode a và b có tần số lẫn lượt law, va wy, kết hợp lại thành một photon 4 mode e có tần số tng 1 we = wy +4. Cho hai mode a và b bat ky, nền tổng hai mode liên quan đến toán tử biên do hai mode V;, có dạng 11 (c'9glột Vy0y — 5( ø-12a8) „ ali! ++e-"ab) .45) trong đó ở là góc hợp béi V, va true thye cia mat phiing phife. Mot trạng thái được gọi là nén tổng hai mode theo phương được xác định w bởi góc ¿ nếu thỏa mãn bắt đẳng thức ((Af,)}?) < Ha +i +1), (1.46) trong dé ((AV,)?) = (V2) — (Vo), fig = ala va iy = BÌô.
Từ bất đẳng thức (1.46), ta có thể định nghĩa tham số nén tổng hai mode Š bằng cách đặt S= (A2) ~ 1 + ñu + Ð) (147) Điều đó cho thấy rằng nén tổng chỉ xuất hiện nếu tham số nén tổng <0. Khi tham số nén tổng $ càng am thì cấp độ nén tổng càng cao. Tính chất nén hiệu Nền hiệu cũng là quá trình nén đa mode của một trạng thái phi cổ điển đã được gi thiệu trong [11], [18]. Ne hiều cũng được hiểu đơn.
giản là hiện tượng hai photon ở hai mode a va b có tần số lần lượt Ia we < us), két hợp lại thành một photon ở mode e có tần số hiệu là «œc = e» — œá. Toán tử nén hiệu hai mode Ws duge định nghĩa là We=5 ir, =} ( (cioagt “abt + 1é al i) lệ (148) Một trang thái được gọi là nén hiệu hai mode theo phương xác định bởi sóc ¿ niều (AW?) < Has — yh (149) trong đó ((AIE2)2) = (W2) — (IV,)?. Tir bit dang thife (1.49), ta có thể định nghĩa tham số nén hiệu hai mode D bang cach dat D= (atts) ~ Fila. Aah (50) Do đó, một trạng thái có nén hiệu nếu tham số nén hiệu D < 0 và cấp độ nén hiệu càng cao khi tham số nén hiệu 7 càng âm.
Tính chất nén bậc cao hai mode Hai loại nén bậc cao đơn mode lần đầu tiên được giới thiệu bởi Hillery (17] và Hong-Mandel [22]. Các tiêu chuẩn nén bậc cao này được phát triển hơn nữa trong một số trạng thái lượng tử và các hệ lượng tử [8], [I2], [37]. Mở rộng cho trường hợp nén bác cao hai mode đã được giới thiệu bởi An [9].
