Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT Những kiến thức tổng quan uê trạng thái kết hợp, trạng thái Fock, toán tử dịch chuyển sẽ được chúng tôi đưa ra trong chương nàu nhằm hình thành một nên tảng kiến thức cho tiệc nghiên cứu các chương sau. Bên cạnh đó, chúng lôi sẽ trình bày tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubaing, định lương độ rối theo tiêu chuẩn Độ đồng quụ, cũng như mô hình viễn tải biến liên tục để áp dung vio vige khảo sát tính đan rối, định lượng độ rối và uiễn tải lượng tử ôi trang thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một tà bớt một photon lẻ. Trạng thái kết hợp. Khái niệm Trạng thái ứng với giá trị thăng giáng nhỏ nhất suy ra từ hệ thức bất định Heisenberg và được đưa ra năm 1963 bởi Glauber [17] và Shudarshan [24] được gọi là trạng thái kết hợp, ký hiệu là |a) với a là một số phức.
Như vậy, trạng thái kết hợp là trạng thái được tạo ra bằng, cách tác dụng toán tử dịch chuyển D (a) len trạng thái chân không (là trạng thái mà tại đó không có hạt nào được kích thích và được kí hiệu (0) ) trường điện tit, nghĩa là Ô(a)|0). (11) với Ô(œ) = exp(aá* — a*ô) là toán tử dịch chuyển của toán tử â, với a= rexp (ig) la tham số kết hợp, x vag lần lượt là lên độ và pha kết hợp, â*,ê lần lượt là toán tử s nh, hủy hạt boson của trường điện từ. 'Vậy chúng tôi biểu diễn trang thái kết hợp như sau a) = exp (aâ* — a*8) |0) Với Â, Ô là hai toán tử bất kỳ tôi áp dụng đồng nhất thức Baker Hausdorff thì sẽ được kết quả exp (4+ 8) =exp (4) exp (8) exp (3 [a 2) (12) thực hiện khai triển toán tử dịch chuyển dưới dạng.3) Mặt khác, áp dụng khai triển chuỗi Taylor (aâ*) „ (aâ*)? sp (aấ”) = 1+ TT 14) exp(-a"a) = 14 C24 1 L5) Ở đây, toán tử sinh hạt â* và toán tử hủy hạt â tuân theo hệ thức giao hoán 10 Ngoài ra, chúng ta cũng có exp(~a*8)|0) = ye a) ==#â+ l0) = |0).1), thì kết quả thu được sẽ là a) = D(a)|0) an =r Pew (Fler) 1) "`. en (Her) as) ~È Ÿn vài ở đây |n) = eo) là vectơ trạng thái chứa n hat boson hay con goi là trạng thái Foek và |0) là vectơ trạng thái chân không của hệ hạt.
Do vây, trạng thái kết hợp có thể được biểu diễn (MER Tit đây ta suy ra được trang thái kết hợp được biểu diễn ở chỗ nó là (19) trang thái riêng của toán tử hủy photon (được chứng minh ở phụ lục 1) Gla) = ala).10) lien hgp Hermite của biểu thức (1.10) thì kết quả thu được sẽ là (a|â* =a*( q1) Tom lai, trạng thái kết hợp (a|â* có chứa photon không xác định và toán tử hủy không làm thay đổi trạng thái này. Các tính chất của trạng thái kết hợp. ‘Tinh chat 1: Trang thái kết hợp |a) có phân bồ số hạt tuân theo phan bé Poisson, nghĩa là số hạt trung bình của trạng thái kết hợp |a} u chính bằng bình phương biên độ kết hợp r, tức là (a (1.12) chúng tôi xét (8) = (ala)= Mặt khác, chúng tôi có a= rexp(ig). Chính vì thế 4 ala*a|a) = |a|? Lúc này, phân bố Poisson chính là xác suất p(n) để tìm n hat boson 6 trạng thái Ja), hay là P(n) = (nl a) (an) laf?" exp (—lal*) (1.13) Tinh chat 2: Tap hợp tất cả các trạng thái |a) là một tập hợp đủ.14) Để chứng mình tính chất 2, ching tôi xét fioraida= fee > im ST imide, are, 2 ấp dung toa độ cue ta dive Pa = rdrdg, hay là “ 3T km dfnSm)e Ji el on [rt Jace aver (mỊ, as ở đây [ e2 = 2mổm„, nên ta có a [elase-xj.Ỹ |a) (a| Pa =2n | ra” = Yn) ot fe 2 dp.
= Ũ Ấp dụng tích phân Poison 7 Re miar a J la) (a| Ba = 7, Thay biểu thức trên vào (1.14), như vậy chúng ta đã chứng mình được tính chất 2, z fi (al d?a = SP in) (n| =o Tinh chất 3: Các trạng thái kết hợp thỏa mãn điều k (a|a) = 1, nhưng chúng lại không trực giao với nhau, tức là a # 6 thi (al) #0. ứng mình tính chất 3, chúng tôi đi từ định nghĩa trạng thái kết hợp |a), ole (flo) I9 =ee (cjI4P) 8 ức trên ta dễ dàng thu được (al2) = œe(-j| Ï)exp(=g|nh È mm mì =exp(~ 3Ị0 959-109 52 3) TT = = = exp(—$al? Leh & ve = exp(—5lal’ tpn Lop — 516!. )expa’a mà hệ quả của sự không trực giao nhau là bắt kì trạng thái kết hợp nào. cũng có thể khai triển theo các trạng thái kết hợp khác, hay ta có thể viết lại la) =F fla) (ale) Pa (1.15) =! @alayexp (— Biểu thức (1.15) cho ta thấy rằng tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp tao thành hệ quá đủ.
Tính chất 4: Trạng thái kết hợp là trạng thái tương ứng với độ bất định nhỏ nhất, được suy ra từ hệ thức bất dinh Heisenberg. “Thật vậy trạng thái kết hợp là trạng thái có độ bất định cực tiểu, ở đây chúng tôi đưa vào hai đại lượng X, P không thứ nguyên và được biểu diễn thông qua hai toán tử tương ứng là Ä và được định nghĩa như sau. với z và p là các đại lượng có thứ nguyên tương ứng với tọa độ và xung, lượng. Còn các toán tử Ä và P được biểu diễn thông qua các toán tử sinh, hủy photon của trường điện từ dưới dạng Ma X và P là các toán tử Hermite nên chúng tương ứng với các đại lượng vật lý đo được.
Chính vì thế, ta có thể tính được phương sai của mỗi đại lượng Xét phương sai của Ä (oan) = lle) (9) “Tương tự với phương sai của (alaZ'e) = (e|#|s)= ((|Z|a)) 1(a|@* =Ÿ[a)+ ((e|@* =a)|a)Ÿ i =.=Ò 44 (a°? +a? — 200") 1 4 Lấy tích phươngsai của ÄÝ và phương sai của Ê thì ta được kết quả.16) Giá trị này là giá trị nhỏ nhất tương ứng với hệ thức bắt định Heisenber. Vì thể, các trạng thái kết hợp là trạng thái cho phép thực hiện các phép. đo đồng thời hai toán tử Ä và P với sai số nhỏ nhất. Khi đó, hệ thức (1.16) gọi là giới hạn lượng tử chuẩn.
Và đây cũng chính là tính chất quan trọng nhất của trang thái kết hợp. Trạng thái kết hợp chẵn và lẻ Năm 1973, Dodonov và cộng sự lần đầu tiên đưa ra bằng lý thuyết trạngthái kết hợp chẵn và trạng thái kết hợp lẻ. Từ biểu thứ 1 trạng thái kết hợp ja) = Ô„ (a) |0) với Ô„ (a) là toán tử dịch chuyển, chúng tôi định nghĩa trạng thái két hgp chin la)„, = Ca (la) + |~a)) = Cr [Ba (a) + Ø¿(=a)|l0), (1.17) tương tự với trạng thái kết hợp lẻ la), = (la) = |~a))= Cas [Ba (a) = Ba (=a)] fo).18), đễ dàng nhận thấy |a),„ là hàm chẫn và |a), là hàm 18 theo a, hay nói cách khác la)+ .19) Ap dung trang thái Fock để biểu diễn (1.19) la) “a[ao (- la 02) a jae) > mm] = 2Cnexp (cee) van a lay =C1 [an (- f2) gonna =zaew(-Ie2) 3 TT = (121) Như vậy, khi biểu diễn sang trang thai Fock thi các trạng thái kết hợp. Tiếp tục tiền hành chuẩn hóa các trạng thái kết hợp chẵn chúng ta được.
„la |a)„ = 43, exp (= leh) oS | 2n) (an = 4C?, exp (ca ) os(e9) 16 Từ đó, ta tính toán được kết quả. đa = fryer (a?) /eosh (la?) Tinh toán tương tự cho trạng thái kết hợp lẻ exp (Jal?) /siah (lai?) làng rút ra một số tinh chất của các trạng thái kết hợp chẵn và kết hợp lẻ như sau trạng thái kết hop chin va két hợp lẻ không trực giao với nhau nhưng các trạng thái kết hợp chẫn lại trực giao với các trạng thái kết hợp lẻ. Để chứng minh tính chất trên chúng tôi xét (a |)a, SN ~Ca(a) Ca Bex» (Fla) ex (Flat) YoaS Fe ~4C¿ (a) Ca (8)ep ( Jie) exe (318?) cosn (ora) Chúng tôi tiến hành tính toán tương tự với trường hợp trang thái lẻ da |2),=.461()6(6)e (fla?) exp (~HI9P) sinh "ap Ngoài ra, chúng ta cũng có «(ai Ôn | 2m +1 any! (1.22) b) Các trạng thái kết hợp chẵn và kết hợp lẽ có thể được chuyển đổi qua lại lẫn nhau bằng cách tác dụng toán tử hủy â lên chúng. Để chứng mình tính chất này, tôi xét ".23) ‘ch Két quả này cho chúng ta biết được toán tử hị có tác dụng như là một toán tử quay giữa |a),„ va fa), ©) Khác với các trạng thái kết hợp là hàm các trạng thái kết hợp chẫn và kết hợp lẻ là hàm riêng của @? tng v các trị riêng di 2, 18 Để chứng minh tính chất nay a 2 @ a), = 2C.exp = ola)4, Chúng tôi tính toán tương tự cho trường hợp trạng thái lễ â*|a), = a*|aỳ, (124) 4d) Tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp chẫn và kết hợp lẻ tạo thành một hệ đủ, nghĩa là ;Í/ 3 la); (a|dla =1 (1.
Tính chất của toán tử dịch chuyển. “Tính chất 1: Áp dụng công thức Baker-Hausdorff lên hai toán tử bắt kỳ  và Ổ, ta có [lH] a] [aa] 0 Ta dễ dàng chứng mình được công thức sau (được chứng minh phụ lục 2) exp (4, exp (— [4,8] /2) exp (4) exp (8), " =o ([4.8] 2) (8) 0 (A) 19 Nếu ta xết  Thay vào biểu thức (1.26), chúng tôi suy ra được Ba (a) = exp (~lal?/2) exp (aa*) exp (-a%a) = exp (aa* — a*a) (1.27) xp (a⁄2) exp (~a*â) exp (aâ*) Đối với từng trường hợp cụ thể mà chúng ta có thể vận dụng một trong, ba dạng này của Ö, (a) để tính toán sao cho thuận lợi nhất. th chất 2: Từ dạng thứ 2 trong (1.27) cho ta biét D, (a) là toán tử chuẩn tắc (Unita) (được chứng mình phụ lục 3), hay D3 (a) = Dy (=a) = Dz* (a) (1.28) Từ tính chất này ta thu được hệ quả là vectơ trạng thái kết hợp được chuẩn hoá (a: a) = (0) D,* (a) By (a) |0) = (0 | 0) = (129) Như vậy, đối với hai toán tử bất ky A va B ta ludn có (được chứng minh phụ lục 4) exp (-aA) Bexp (ad) = B-a [A,B] + “ l4.32) Xết về phải của biểu thức (1.32) theo thứ tự bị dich di một lượng bằng œ và a* so với các về trái tương ứng. Chính vì thế, toán tử này được gọi là toán tử dịch chuyển.
Các tính chất này được dùng nhiều tính toán lý thuyết Tinh chất 3: Chting ta dé dàng đưa ra được biểu thức thể hiện. tinh chất 3 như sau (được chứng minh phụ lục 6) D(a) D(8) = D(a + B)exp Œ Bt 2 (1. Các tiêu chuẩn đan rối 1.