Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Trạng thái kết hợp và các trạng thái phi cổ điển Khái niệm "các trạng thái phi cổ điển" xuất hiện đầu tiên vào đầu thập kỷ 80 của thế kỷ 20 trong tiêu đề các bài báo của Helstrom [57], Hillery [58] và Mandel [94]. Các bài báo đầu tiên có khái niệm "các hiệu ứng phi cổ điển" được công bố bởi Loudon [89], Zubairy [132], Lugiato và Strini [91]. Ánh sáng phi cổ điển là chủ đề của ba nghiên cứu đầu tiên của Schubert [109], Janszky cùng cộng sự [73] và Gea-Banacloche [46].
Trạng thái kết hợp Tiền đề cho sự phát triển các trạng thái phi cổ điển là sự ra đời của trạng thái kết hợp. Năm 1963, Glauber và Sudarshan đã dùng các trạng thái này để mô tả tính chất của chùm tia laser [52], [114]. Glauber xây dựng các trạng thái riêng của toán tử hủy của dao động tử điều hòa, nghiên cứu các hàm tương quan điện từ có vai trò rất quan trọng trong quang lượng tử. Ông cho rằng các trạng thái như vậy là vô cùng hữu ích đối với việc mô tả quang lượng tử.
Do đó, ông đặt tên những trạng thái này là trạng thái kết hợp. Chùm tia laser có độ đơn sắc cao tạo ra các trường điện từ chứa các trạng thái kết hợp. Về mặt hình thức, các trạng thái kết hợp có thể được mô tả như là hệ quả của việc điều khiển 10 một dao động tử điều hòa lượng tử đầu tiên được tạo ra trong trạng thái chân không |0i bởi một dòng cổ điển có biên độ và pha đã cho. Có ba cách tương đương để định nghĩa trạng thái kết hợp: thứ nhất là định nghĩa nó như các trạng thái riêng của toán tử hủy; thứ hai là định nghĩa nó bởi tác dụng của toán tử dịch chuyển lên trạng thái chân không; thứ ba là xem trạng thái kết hợp như một trạng thái lượng tử với hệ thức bất định cực tiểu.
Trường hợp cụ thể được xét như sau: Trạng thái kết hợp |αi là trạng thái riêng của toán tử hủy â cùng với giá trị riêng α và thỏa mãn hệ thức â|αi = α|αi, (1.1) trong đó α là một số phức, α = |α| exp (iθa ) được gọi là tham số dịch chuyển có biên độ |α| với giá trị từ 0 đến ∞ và θa biến thiên từ 0 đến 2π (rad). Biểu thức của trạng thái kết hợp |αi viết theo trạng thái Fock (trạng thái số hạt |ni) được cho bởi [48] ∞ 1 2 X αn |αi = exp − |α| √ |ni, (1.2) 2 n=0 n! trong đó n là số nguyên không âm. Thay trạng thái số hạt |ni = √ [(↠)n / n!]|0i vào phương trình (1.2), trạng thái |αi được viết lại là |αi = exp(−|α|2 /2) exp(α↠)|0i.3) Toán tử dịch chuyển D̂(α) được định nghĩa là D̂(α) = exp(α↠) exp(−α∗ â), (1.4) và trạng thái kết hợp |αi được cho bởi |αi = D̂(α)|0i.5) 11 Theo công thức Baker-Hausdorff, nếu [Â, B̂] 6= 0 và [[Â, B̂], Â] = [[Â, B̂], B̂] = 0 (1.8) Ta chọn  = α↠, B̂ = −α∗ â và [Â, B̂] = |α|2 thỏa mãn hệ thức (1.9) √ Chúng ta cần lưu ý âl |0i = 0 (ngoại trừ l = 0) và (↠)n |0i = n!|ni, ta có ∞ ∗ † X (−α∗ â)l exp(−α â )|0i = |0i = |0i, (1.11) n=0 n! n=0 n! Từ đó suy ra ∞ 1 2 X αn |αi = D̂(α)|0i = exp − |α| √ |ni, (1.12) 2 n=0 n! hoàn toàn phù hợp với cách định nghĩa trạng thái kết hợp |αi là trạng thái riêng của toán tử hủy â ở đoạn trên. Toán tử dịch chuyển D̂(α) là một toán tử unita, ta có D̂† (α) = D̂−1 (α) = D̂(−α) = exp(−|α|2 /2) exp(−α↠) exp(α∗ â), (1.14) 12 Vì vậy, ta thu được D̂(α)D̂† (α) = D̂† (α)D̂(α) = 1 (1.15) như định nghĩa toán tử unita.16) trong đó =(x) là phần ảo của số phức x.
Sử dụng phương trình (1.8), ta thu được D̂(α)D̂(β) = exp(Â) exp(B̂) = exp[i=(αβ ∗ )]D̂(α + β).17) Áp dụng đối với trạng thái chân không D̂(α)D̂(β)|0i = D̂(α)|βi = exp[i=(αβ ∗ )]|α + βi.18) Từ công thức (1.18) ta thấy toán tử dịch chuyển D̂(α) tác dụng lên trạng thái |βi làm nó dịch chuyển thành trạng thái |α + βi. Cũng có thể định nghĩa trạng thái kết hợp như một trạng thái mà phương sai của biên độ trực giao thỏa mãn hệ thức bất định cực tiểu. Các thăng giáng trong một đại lượng X̂ bất kỳ mô tả bởi phương sai được xác định bởi h(∆X̂)2 i = hX̂ 2 i − hX̂i2 , (1.19) trong đó để ngắn gọn, chúng ta viết hX̂i thay cho cách viết hΨ|X̂|Ψi, và ghi nhớ rằng phương sai là một đại lượng phụ thuộc vào trạng thái. Khảo sát ba toán tử Hermite Â, B̂ và Ĉ thỏa mãn hệ thức giao hoán [Â, B̂] = iĈ, các phương sai h(∆Â)2 i và h(∆B̂)2 i của hai đại lượng cho cùng một trạng thái |Ψi có hệ thức bất định là 1 h(∆Â)2 i h(∆B̂)2 i ≥ h(Ĉ)2 i, (1.20) 4 nếu dấu "=" xảy ra thì trạng thái |Ψi được gọi là trạng thái có độ bất định cực tiểu đối với phép đo đồng thời hai đại lượng A và B.
13 Các trạng thái được định nghĩa từ trạng thái kết hợp đã được đề xuất trong [125], [128], các tính chất toán học của trạng thái kết hợp đã được nghiên cứu độc lập trong [75]. Tuy nhiên, chỉ sau khi công trình của Glauber và Sudarshan [52], [114] (đặc biệt là công trình của Glauber [52]) được công bố thì trạng thái kết hợp mới phổ biến rộng rãi và được sử dụng nhiều. Khái niệm "trạng thái kết hợp" xuất hiện lần đầu tiên trên các Tạp chí Quốc tế thuộc về hai bài báo [25], [53]. Trạng thái kết hợp có thể được dùng như một xuất phát điểm để xác định các trạng thái phi cổ điển theo hàm P (α), được giới thiệu trong [53] để biểu diễn trạng thái nhiệt và trong [114] cho các ma trận mật độ bất kỳ Z ρ̂ = P (α)|αihα|d2 α (1.21) R thỏa mãn điều kiện P (α)d2 α = 1.
Hàm P (α) có tính chất của hàm phân bố xác suất, nhưng nó có thể nhận giá trị âm hoặc tính kỳ dị của nó mạnh hơn hàm Delta, nên không thể hiểu nó như một hàm phân bố cổ điển và lúc này P (α) được gọi là hàm phân bố chuẩn xác suất. Các trạng thái có hàm phân bố P (α) như hàm phân bố thông thường P (α) ≥ 0 được gọi là các trạng thái cổ điển. Các trạng thái có hàm P (α) âm hoặc có tính kỳ dị cao hơn hàm Delta được định nghĩa là các trạng thái phi cổ điển. Hàm P (α) ứng với trạng thái nhiệt (trạng thái 2 cổ điển tiêu biểu) cho bởi một phân bố Gauss P (α) = (1/(πn̄))e−|α| /n̄ [48], với n̄ là số hạt trung bình.
Trong trạng thái kết hợp |βi, biểu diễn P (α) có dạng hàm Delta δ (2) (α − β), chúng có dạng của một hàm Delta hai chiều. Trạng thái kết hợp là trạng thái cổ điển, vì phân bố P (α) của chúng là hàm Delta. Mặt khác, trạng thái kết hợp nằm ở ranh giới của tập hợp các trạng thái cổ điển và phi cổ điển, vì hàm Delta là phân bố kỳ dị nhất được chấp nhận trong lý thuyết cổ điển.22) n! ∂α ∂α Ngoài việc sử dụng hàm P (α) để nhận biết các trạng thái là cổ điển hay phi cổ điển, còn có thể nhận biết các trạng thái phi cổ điển thông qua việc khảo sát các tính chất của chúng. Các trạng thái phi cổ điển thể hiện các tính chất phi cổ điển, khi một trạng thái được gọi là phi cổ điển nếu nó thể hiện một hay nhiều hơn một tính chất phi cổ điển như: tính chất phản kết chùm; tính thống kê sub-Poisson; tính chất nén;.
Các trạng thái cổ điển và phi cổ điển còn có thể phân biệt được thông qua việc xem xét đặc điểm của hàm tương quan bậc hai g (2) (τ ). Tại một vị trí cố định, hàm hàm tương quan bậc hai có dạng hÊ (−) (t)Ê (−) (t + τ )Ê (+) (t + τ )Ê (+) (t)i g (2) (τ ) = , (1.23) hÊ (−) (t)Ê (+) (t)ihÊ (−) (t + τ )Ê (+) (t + τ )i trong đó các thành phần Ê (−) (t) và Ê (+) (t) tương ứng là thành phần tần số âm và thành phần tần số dương của trường tại thời điểm t. Hàm tương quan bậc hai đặc trưng cho xác suất có điều kiện, đó là: nếu một photon được tìm thấy ở thời điểm t thì cũng tìm thấy được một photon ở thời điểm t + τ. Đối với thời gian trễ τ = 0, ta có g (2) (0) = 2 và g (2) (τ ) < g (2) (0), bất đẳng thức này đặc trưng cho tính chất các photon có xu hướng xuất hiện theo chùm.
Cho một trạng thái kết hợp, dùng định nghĩa g (2) (τ ) = 1+(h(∆n̂)2 i−hn̂i)/hn̂i2 , có thể thấy rằng g (2) (τ ) = 1, khi đó các photon xuất hiện một cách ngẫu nhiên và tuân theo theo phân bố Poisson. Đối với trường hợp g (2) (τ ) > g (2) (0) thì bất đẳng thức này đặc trưng cho tính chất phản kết chùm của photon, lúc này các photon xuất hiện cách đều nhau theo thời gian và xác suất thu được để các photon kết chùm trong khoảng thời gian τ nhỏ hơn đối với trường hợp các photon xuất hiện ngẫu nhiên. Trạng thái nén Khái niệm trạng thái nén được đưa ra bởi D. Stoler vào năm 1970, đó là các trạng thái mà độ thăng giáng của một đại lượng nào đó có thể nhỏ hơn giá trị tương ứng của trạng thái bất định cực tiểu đối xứng [113] mở đầu cho các lớp trạng thái phi cổ điển.
Nén photon được quan sát lần đầu tiên trong phòng thí nghiệm bởi R. Trạng thái nén cũng được phát triển đối với các chuẩn hạt boson khác như exciton [9], biexiton [10]. Trạng thái nén được định nghĩa như sau: Nếu ba toán tử Hermite Â, B̂ và Ĉ thỏa mãn hệ thức giao hoán [Â, B̂] = iĈ thì tuân theo hệ thức bất định Heisenberg ở (1. Một trạng thái của hệ được gọi là nén đối với phép đo đại lượng vật lý A nếu có 1 1 h(∆Â)2 i < |hĈi| thì h(∆B̂)2 i > |hĈi| (1.24) 2 2 (trạng thái của hệ đối với phép đo đại lượng vật lý B không nén) và ngược lại, sao cho tích của h(∆Â)2 ih(∆B̂)2 i không vi phạm hệ thức bất định Heisenberg ở (1.
Khi trạng thái nén có tích phương sai của toán tử Â và toán tử B̂ bằng độ bất định tối thiểu thì chúng được gọi là trạng thái nén lý tưởng.