Chương 1: Cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn của đề tài nghiên cứu. Chương 2: Thiết kế và tổ chức dạy học với các bài toán gắn liền với thực tiễn. Chương 3: Thực nghiệm sư phạm. Kết luận và khuyến nghị Tài liệu tham khảo 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com CHƢƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU 1.
Một số vấn đề về lý luận 1. Bài toán, bài toán thực tiễn và Quá trình toán học hóa 1. Các bài toán thực tiễn G. Polya định nghĩa: “Bài toán là nhu cầu hay yêu cầu đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay” [Sáng tạo toán học, trang 119].
Bài toán xuất phát từ yêu cầu hay nhu cầu mà ta gọi là ước muốn (hay vấn đề), ước muốn có khi dẫn đến một bài toán, có khi không dẫn đến bài toán. Nếu khi có một ước muốn, mà trong đầu ta, không cần một chút cố gắng nào, lập tức nảy sinh ra một phương tiện rõ ràng mạch lạc, mà dùng phương tiện đó chắc chắn có thể thực hiện được ước muốn, thì sẽ không nảy ra bài toán. Nhưng nếu không có được một phương tiện như vậy, thì đó là một bài toán. Một vấn đề có thể là bài toán đối với người này nhưng không phải là bài toán đối với người khác tùy thuộc vào phương tiện (kiến thức và kinh nghiệm) mà họ có.
Như vậy, bài toán thực tiễn là bài toán mà yêu cầu hay nhu cầu cần đạt được xuất phát từ trong thực tiễn cuộc sống. Ví dụ: “Chọn một chỗ ngồi thích hợp trong rạp chiếu phim” là một bài toán thực tiễn. Chúng ta cần phân biệt bài toán “thực tiễn đích thực” với bài toán “ngụy thực tiễn”. Có một số sách, tài liệu đã đồng nhất hai khái niệm này.
Ví dụ: “Một bà bán trứng cho ba người: bán cho người thứ nhất số trứng và 3 quả; bán cho người thứ hai số trứng còn lại và 4 quả; bán cho người thứ ba số trứng còn lại và 5 quả. Cuối cùng còn lại 6 quả. Tính số trứng bà đã bán cho ba người?” [Bùi Văn Tuyên, Bài toán 383, trang 90, Bài tập nâng cao một số chuyên đề Toán 6]. Thoạt nhìn đây là bài toán thực tiễn bởi “ngôn ngữ thực” của bài toán.
Tuy nhiên, bài toán này không xuất phát từ một mong muốn nào trong thực tế, chúng ta 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com có thể đếm xem trong rổ có bao nhiêu quả trứng có khi còn khả thi hơn là tính tỷ lệ như bài toán nêu trên. Polya gọi các bài toán này là các “bài toán đố bằng lời”, tức là các bài toán được hư cấu nhằm thách đố người giải. Về nhiều phương diện, các bài toán thực tế khác xa những bài toán thuần túy toán học. Tuy nhiên, các lý luận và phương pháp chính để giải thì về căn bản là như nhau.
Hơn nữa, những bài toán thực tiễn nói chung có bao gồm một phần toán học. Trong bài toán thực tiễn, các ẩn, các dữ kiện, các điều kiện là phức tạp hơn và không được xác định rõ ràng như trong một bài toán thuần túy toán học. Để giải quyết một bài toán thuần túy toán học, chúng ta xuất phát từ những khái niệm rất rõ ràng, tương đối có trật tự trong ý nghĩ của chúng ta. Với một bài toán thực tế nhiều khi ta phải xuất phát từ những ý nghĩ mơ hồ và việc làm sáng tỏ các khái niệm có khi lại là một bộ phận quan trọng của bài toán.
Như vậy, giải một bài toán thực tiễn đòi hỏi năng lực giải quyết vấn đề cao hơn khi giải một bài toán thuần túy toán học. Muốn đạt và giải một bài toán thuần túy toán học xuất phát từ những vấn đề thực tiễn thì thông thường chúng ta giới hạn trong việc tính gần đúng, vì ta buộc phải bỏ qua một số dữ kiện và điều kiện phụ của bài toán thực tiễn. Vì vậy, “trong các bài toán thực tế, tất cả đều phức tạp hơn và không rõ ràng như trong các bài toán thuần túy toán học. Đó là điều khác nhau cơ bản giữa hai loại bài toán đó và từ đó dẫn đến nhiều sự khác nhau nữa, tuy nhiên, các lập luận và phương pháp cơ bản để đạt được lời giải thì đều như nhau trong cả hai loại bài toán” [G.
Polya, Sáng tạo toán học, tr 50]. Chính vì vậy mà khi gặp một vấn đề thực tiến để giải một bài toán thực tiễn này, người ta tìm cách dịch nó sang ngôn ngữ toán học để được bài toán thuần túy toán học. Quá trình đó gọi là quá trình “toán học hóa”. Từ một vấn đề của thực tiễn hoặc bài toán thực tế thông qua quá trình toán học hóa, có thể biến thành một bài hoặc có thể nhiều bài toán thuần túy toán học mà mỗi bài toán giải quyết một nhiệm vụ của bài toán thực thế đó.
Điều đó phụ thuộc vào tính phức tạp của bài toán thực tế, bản chấn của lĩnh vực thực tế và vào “tay 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com nghề” của người thực hiện quy trình toán học hóa. Trong quá trình toán học hóa, để biến một bài toán thực tế thành một bài toán thuần túy toán học chúng ta thường đặt một số điều kiện lý tưởng cho ẩn. Ví dụ “Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút chỉ được bể nước.
Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu?”, trong bài toán này ta đã coi rằng vòi nước chảy với lưu lượng nước như nhau trên mỗi khoảng thời gian bằng nhau, trên thực tế ít khi có những vòi nước chảy được với lưu lượng như vậy; cũng giống như ví dụ trên với những bài toán về vận tốc, không phải lúc nào cũng có chuyển động đều với vận tốc mà có lúc đi nhanh, có lúc đi chậm. Do đó, kết quả của bài toán thuần túy toán học nhiều khi không phản ánh đúng kết quả thực tế. Để có quá trình toán học hóa tốt, chúng ta cần xây dựng quy trình để đảm bảo sự tương ứng chặt chẽ của bài toán thực tiễn và bài toán thuần túy toán học. Dựa trên quy trình đánh giá học sinh quốc tế của PISA tôi đưa ra một quy trình mà chúng ta sử dụng trong luận văn này.
Mô hình hóa toán học và quá trình toán học hóa Mô hình hóa toán học theo Kaiser (2005) cho rằng, bên cạnh việc áp dụng các thuật toán chuẩn trong chương trình vào bối cảnh thế giới thực và các bối cảnh thế giới phục vụ như là minh họa cho các khái niệm toán học (ví dụ như sử sụng các khoản nợ để giới thiệu số âm), các vấn đề mô hình hóa như là các ví dụ dựa theo bối cảnh của đời sống thực đang ngày càng được coi trọng. Tiếp cận mô hình hóa, theo đó, dựa trên cả thế giới thực và thế giới toán học. Một quá trình mô hình hóa được thực hiện như sau: một bối cảnh thế giới thực là điểm khởi đầu của quá trình. Tiếp đó, bối cảnh được ý tưởng hóa (chẳng hạn, đơn giản hóa hoặc được cấu trúc để có được một mô hình thế giới thực).
Tiếp theo, mô hình thế giới thực được toán học hóa (tức là được diễn dịch vào trong toán học sao cho nó trở thành một mô hình toán học của 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com bối cảnh ban đầu). Những xem xét toán học cho mô hình toán tạo nên các kết quả toán học, cái mà phải được thông dịch trở lại bối cảnh thực tế. Tính phù hợp của các kết quả phải được kiểm tra, xác nhận. Trong trường hợp lời giải không thỏa đáng, điều hay xảy ra trong thực tế, quá trình này cần được lặp lại.
Quá trình mô hình hóa theo Kaiser Mô hình thế giới thực Mô hình toán học Bối cảnh thực tế Kết quả toán học Thực tế Toán học Quá trình mô hình toán học theo Kaiser được thể hiện cụ thể qua một sơ đồ tối giản kèm theo giải thích. Chúng tương đồng với quá trình mô hình hóa toán học mà PISA chọn làm nền tảng lý luận. Trong sách “Functions and Models” của tác giả James Stewart có đề cập đến Mathematical model. Mô hình toán học của tác giả James Stewart Mô hình toán học là sử dụng tóan học để đưa ra những đánh giá về các hiện tượng trong xã hộ ví dụ như tính dân số, số lượng sản phẩn trong sản 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com suất, vận tốc của các vất thể….Mục đích của mô hình là để hiểu rõ hơn về các hiện tuợng đó và có thể đưa ra những dự đóan trong tương lại.
Hình dưới đây diễn tả quá trình mô hình hóa toán học. Đưa ra một bài toán tực tế, nhiệm vụ đầu tiên là lập công thức bằng xác định các biến độc lập và phụ thuộc, đưa ra các giả sử về tính đơn giản của bài tóan để có thể giải được. Chúng ta sử dụng các hiểu biểt về vật lý và kỹ năng tóan học để có thể đưa ra các phương trình liên quan tới các biến. Trong trường hợp không có định luật vật lý , chúng ta cần phải thu thập các số liệu và kiểm tra các số liệu đó dưới dạng bảng để đưa ra quy luật.
Từ cách biển diễn bằng bảng số liệu, ta sẽ tìm cách để biểu diễn số liệu đó theo các hàm số. Mô hình toán học của tác giả James Stewart Bài toán thực tế Công thức Mô hình toán học Giải Kiể m tra Dự đóan Kết luận toán Phân tích học Bước tiếp theo là áp dụng các kiến thức toán học mà ta biết vào xây dựng công thức để đưa ra các kết luận tóan học. Từ đó ở bước thứ ba, ta lấy những kết luận tóan học đó để phân tích chúng, đưa ra những dự đóan. Bước cuối cùng là kiểm tra những dự đóan vào số liệu thực tế để điểu chỉnh mô hình tóan học xây dựng và tiếp tục quy trình trên cho đến khi được một mô hình tương đối chính xác.
Mô hình toán học thì luôn có những sai số nhất định. Một mô hình tóan học tốt thì sai số đủ nhỏ để có những kết luận đúng. Có rất nhiều dạng hàm số khác nhau được dùng để đưa ra mô hình các bài tóan trong thực tế. 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.