Dạy Học Tổ Hợp Xác Suất Để Phát Triển Tư Duy Logic Cho Học Sinh

Khám phá phương pháp dạy học tổ hợp xác suất nhằm phát triển tư duy logic cho học sinh trong khóa luận tốt nghiệp. Mục lục tự động kèm theo.

• Tác giả: Nguyễn Hoàng Nhựt
• Người hướng dẫn: ThS. Nguyễn Thị Kim Hoa
• Trường học: Trường Đại học Kiên Giang
• Chuyên ngành: Sư phạm Toán học
• Đề tài: Dạy Học Chủ Đề Tổ Hợp – Xác Suất Trong Đại Số Và Giải Tích 11 Theo Hướng Phát Triển Năng Lực Tư Duy Logic Cho Học Sinh
• Loại tài liệu: Khóa luận tốt nghiệp
• Năm xuất bản: Năm 2022
• Địa điểm: Kiên Giang

Mục lục chi tiết

• LỜI CẢM ƠN
• LỜI CAM ĐOAN
• NHẬN XÉT CỦA NGƯỜI HƯỚNG DẪN
• NHẬN XÉT CỦA CƠ QUAN THỰC TẬP
• MỤC LỤC
• DANH MỤC BIỂU BẢNG
• DANH MỤC HÌNH
• DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
• PHẦN MỞ ĐẦU
• 0.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
• 0.2. MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU
• 0.2.1. Mục tiêu chung
• 0.2.2. Mục tiêu cụ thể
• 0.3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
• 0.3.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
• 0.3.2. Phương pháp điều tra
• 0.3.3. Phương pháp quan sát
• 0.3.4. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
• 0.3.5. Phương pháp thống kê Toán học
• 0.3.6. Phương pháp chuyên gia
• 0.4. Ý NGHĨA NGHIÊN CỨU
• 0.4.1. Về lý luận
• 0.4.2. Về thực tiễn
• 0.5. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
• 0.5.1. Đối tượng nghiên cứu
• 0.5.2. Phạm vi nghiên cứu
• 0.6. CẤU TRÚC KHÓA LUẬN
• 1. CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
• 1.1. NĂNG LỰC TƯ DUY LOGIC
• 1.1.1. Khái niệm năng lực
• 1.1.2. Các mức độ của năng lực
• 1.1.3. Cấu trúc của năng lực
• 1.2. Năng lực toán học
• 1.2.1. Khái niệm năng lực toán học
• 1.3. MỘT SỐ NỘI DUNG CHỦ ĐỀ “TỔ HỢP – XÁC SUẤT” TRONG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11
• 1.4. KHẢO SÁT THỰC TRẠNG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TỔ HỢP – XÁC SUẤT Ở TRƯỜNG THPT
• 1.4.1. Khảo sát đối với GV
• 1.4.2. Khảo sát đối với HS
• 1.5. KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
• 2. CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TỔ HỢP - XÁC SUẤT TRONG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11
• 2.1. NGUYÊN TẮC XÂY DỰNG CÁC BIỆN PHÁP
• 2.1.1. Nguyên tắc 1: Đảm bảo góp phần thực hiện các mục tiêu của việc dạy và học Toán trong trường THPT
• 2.1.2. Nguyên tắc 2: Đảm bảo chuẩn kiến thức kĩ năng của chương trình hiện hành đồng thời tiếp cận chương trình Toán mới
• 2.1.3. Nguyên tắc 3: Đảm bảo tính khả thi và có thể áp dụng trong dạy học chủ đề
• 2.1.4. Nguyên tắc 4: Đảm bảo sự thống nhất giữa vai trò chủ đạo của thầy và tính tự giác, tích cực, chủ động của trò
• 2.1.5. Nguyên tắc 5: Đảm bảo phù hợp với đặc điểm nhận thức của HS, tức là đảm bảo tính vừa sức giữa chung và riêng trong dạy học
• 2.1.6. Nguyên tắc 6: Đảm bảo dựa trên những khó khăn, chướng ngại, sai lầm của HS trong quá trình học chủ đề Tổ hợp – Xác suất
• 2.2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TỔ HỢP – XÁC SUẤT TRONG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
• 2.2.1. Biện pháp 1: Rèn luyện cho HS biết cách phân tích ra điểm giống, khác giữa các đối tượng
• 2.2.2. Biện pháp 2: Rèn luyện cho HS phát hiện, sửa chữa và khắc phục sai lầm trong khi giải toán chủ đề Tổ hợp – Xác suất
• 2.2.3. Biện pháp 3: Rèn luyện cho HS phát hiện ra nhiều cách giải quyết cùng một vấn đề, một bài toán và lựa chọn phương án tối ưu
• 2.2.4. Biện pháp 4: Rèn luyện cho HS vận dụng các kiến thức của Tổ hợp – Xác suất vào giải quyết các bài toán thực tiễn
• 2.2.5. Biện pháp 5: Hệ thống hóa kiến thức và bổ sung thêm bài tập cho HS
• 2.3. KẾT LUẬN CHƯƠNG 2
• 3. CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
• 3.1. MỤC ĐÍCH THỰC NGHIỆM
• 3.2. ĐỐI TƯỢNG VÀ THỜI GIAN THỰC NGHIỆM
• 3.3. NỘI DUNG THỰC NGHIỆM
• 3.4. PHƯƠNG PHÁP THỰC NGHIỆM
• 3.5. TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM
• 3.5.1. Chọn lớp thực nghiệm
• 3.5.2. Tiến hành thực nghiệm
• 3.6. ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM
• 3.6.1. Đánh giá định tính
• 3.6.2. Đánh giá định lượng
• 3.7. KẾT LUẬN CHƯƠNG 3
• PHẦN KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Phát Triển Tư Duy Logic Qua Dạy Học Tổ Hợp Xác Suất

Phát triển tư duy logic là một trong những mục tiêu quan trọng trong giáo dục hiện đại. Đặc biệt, việc dạy học chủ đề Tổ hợp - Xác suất trong Đại số và Giải tích 11 không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức mà còn rèn luyện khả năng tư duy, phân tích và giải quyết vấn đề. Chủ đề này không chỉ mang tính lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn cao, giúp học sinh phát triển tư duy phản biện và khả năng ra quyết định. Việc áp dụng các phương pháp dạy học hiện đại sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh trong việc phát triển năng lực tư duy logic.

1.1. Khái Niệm Tư Duy Logic Trong Giáo Dục

Tư duy logic được hiểu là khả năng suy nghĩ một cách có hệ thống và hợp lý. Trong giáo dục, việc phát triển tư duy logic giúp học sinh có thể phân tích, tổng hợp và đánh giá thông tin một cách chính xác. Điều này đặc biệt quan trọng trong môn Toán, nơi mà các khái niệm như Tổ hợp và Xác suất yêu cầu học sinh phải có khả năng tư duy trừu tượng và logic.

1.2. Vai Trò Của Tổ Hợp Xác Suất Trong Phát Triển Tư Duy

Chủ đề Tổ hợp - Xác suất không chỉ là một phần kiến thức trong chương trình học mà còn là công cụ giúp học sinh phát triển tư duy logic. Việc giải quyết các bài toán liên quan đến tổ hợp và xác suất yêu cầu học sinh phải biết cách phân tích và tổng hợp thông tin, từ đó rèn luyện khả năng tư duy phản biện.

II. Thách Thức Trong Việc Dạy Học Tổ Hợp Xác Suất

Mặc dù việc dạy học chủ đề Tổ hợp - Xác suất có nhiều lợi ích, nhưng vẫn tồn tại nhiều thách thức trong quá trình thực hiện. Nhiều giáo viên vẫn áp dụng phương pháp truyền thống, dẫn đến việc học sinh không phát huy được tính tích cực trong học tập. Hơn nữa, sự thiếu hụt tài liệu và phương pháp giảng dạy hiện đại cũng là một trong những nguyên nhân khiến việc dạy học chưa đạt hiệu quả cao.

2.1. Khó Khăn Trong Việc Áp Dụng Phương Pháp Mới

Nhiều giáo viên gặp khó khăn trong việc áp dụng các phương pháp dạy học hiện đại vào thực tiễn. Điều này có thể do thiếu kiến thức hoặc kinh nghiệm trong việc sử dụng các công cụ giảng dạy mới, dẫn đến việc học sinh không được tiếp cận với các phương pháp học tập tích cực.

2.2. Sự Thụ Động Của Học Sinh

Một trong những thách thức lớn nhất là sự thụ động của học sinh trong quá trình học tập. Nhiều học sinh chỉ tiếp thu kiến thức một cách máy móc, không có sự chủ động trong việc tìm hiểu và giải quyết vấn đề, điều này ảnh hưởng đến khả năng phát triển tư duy logic.

III. Phương Pháp Dạy Học Tổ Hợp Xác Suất Hiệu Quả

Để phát triển tư duy logic cho học sinh qua dạy học chủ đề Tổ hợp - Xác suất, cần áp dụng các phương pháp dạy học tích cực. Các phương pháp này không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức mà còn khuyến khích sự sáng tạo và khả năng giải quyết vấn đề. Việc sử dụng các bài tập thực tiễn và tình huống thực tế sẽ giúp học sinh dễ dàng tiếp cận và hiểu rõ hơn về các khái niệm toán học.

3.1. Sử Dụng Bài Tập Thực Tiễn

Việc áp dụng các bài tập thực tiễn vào giảng dạy sẽ giúp học sinh thấy được sự liên quan giữa lý thuyết và thực tiễn. Điều này không chỉ giúp học sinh hiểu rõ hơn về Tổ hợp - Xác suất mà còn phát triển khả năng tư duy phản biện và giải quyết vấn đề.

3.2. Khuyến Khích Học Sinh Thảo Luận Nhóm

Thảo luận nhóm là một phương pháp hiệu quả để phát triển tư duy logic. Khi làm việc nhóm, học sinh có cơ hội trao đổi ý kiến, phân tích và giải quyết vấn đề cùng nhau, từ đó nâng cao khả năng tư duy và hợp tác.

IV. Ứng Dụng Thực Tiễn Của Tư Duy Logic Trong Học Tập

Việc phát triển tư duy logic không chỉ có giá trị trong môn Toán mà còn có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Học sinh có thể áp dụng những gì đã học vào thực tiễn, từ việc giải quyết các bài toán trong cuộc sống hàng ngày đến việc phân tích và đánh giá thông tin trong các lĩnh vực khác. Điều này giúp học sinh trở nên tự tin và chủ động hơn trong việc học tập.

4.1. Tư Duy Logic Trong Giải Quyết Vấn Đề Thực Tiễn

Học sinh có thể áp dụng tư duy logic để giải quyết các vấn đề thực tiễn, từ việc lập kế hoạch cho đến phân tích dữ liệu. Điều này không chỉ giúp học sinh phát triển kỹ năng mà còn nâng cao khả năng ra quyết định.

4.2. Tư Duy Logic Trong Các Môn Học Khác

Khả năng tư duy logic cũng rất quan trọng trong các môn học khác như Khoa học, Lịch sử hay Ngữ văn. Học sinh có thể sử dụng tư duy logic để phân tích thông tin, lập luận và đưa ra các kết luận chính xác.

V. Kết Luận Về Phát Triển Tư Duy Logic Qua Dạy Học Tổ Hợp Xác Suất

Việc phát triển tư duy logic qua dạy học chủ đề Tổ hợp - Xác suất là một nhiệm vụ quan trọng trong giáo dục hiện đại. Các phương pháp dạy học tích cực không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức mà còn phát triển khả năng tư duy, phân tích và giải quyết vấn đề. Để đạt được điều này, cần có sự phối hợp chặt chẽ giữa giáo viên và học sinh trong quá trình học tập.

5.1. Tương Lai Của Dạy Học Tổ Hợp Xác Suất

Trong tương lai, việc dạy học chủ đề Tổ hợp - Xác suất cần được cải tiến hơn nữa để đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh. Cần áp dụng các công nghệ mới và phương pháp giảng dạy hiện đại để nâng cao hiệu quả học tập.

5.2. Đề Xuất Các Giải Pháp Cải Tiến

Cần nghiên cứu và đề xuất các giải pháp cải tiến trong việc dạy học chủ đề Tổ hợp - Xác suất nhằm phát triển tư duy logic cho học sinh. Các giải pháp này cần được thực hiện đồng bộ và có sự hỗ trợ từ các cấp quản lý giáo dục.

Trích đoạn nội dung tài liệu

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. NĂNG LỰC TƯ DUY LOGIC 1. Khái niệm năng lực Năng lực là một vấn đề khá trừu tượng và thu hút rất nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu, nhà tâm lý học. Khái niệm này cho đến ngày nay vẫn có nhiều cách tiếp cận và cách diễn đạt khác nhau.

Theo Dự thảo Chương trình giáo dục tổng thể của Bộ Giáo dục và Đào tạo: “Năng lực là khả năng thực hiện thành công hoạt động trong một bối cảnh nhất định nhờ sự huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,. Theo từ điển Bách khoa Việt Nam (2011): “Năng lực là đặc điểm của cá nhân thể hiện mức độ thông thạo, nghĩa là có thể thực hiện một cách thành thục và chắc chắn một số dạng hoạt động nào đó”. Theo từ điển Tiếng Việt (2014): “Năng lực là phẩm chất tâm lý và sinh lý tạo cho con người khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao”. Weinert (2001): “Năng lực là tổng hợp các khả năng và kĩ năng sẵn có hoặc học được cũng như sự sẵn sàng của học sinh nhằm giải quyết những vấn đề nảy sinh và hành động một cách có trách nhiệm, có sự phê phán để đi đến giải pháp”.

Chúng ta có nhiều cách để phân chia năng lực thành các nhóm khác nhau, trong đó có một cách phân chia năng lực thành hai nhóm: Nhóm các năng lực chung và nhóm các năng lực chuyên biệt. Năng lực chung là năng lực cơ bản, thiết yếu để mọi cá nhân có thể sống, làm việc, tham gia hiệu quả trong nhiều hoạt động và các bối cảnh khác nhau của đời sống xã hội. Nhóm các năng lực chung bao gồm các năng lực: Tự học, tự quản lý, giải quyết vấn đề, sáng tạo, giao tiếp, hợp tác, sử dụng công nghệ thông tin và truyền thông, sử dụng ngôn ngữ và tính toán. 5 Năng lực chuyên biệt là những năng lực được hình thành và phát triển trên cơ sở các năng lực chung theo hướng chuyên sâu, riêng biệt trong các loại hình hoạt động, công việc hoặc tình huống, môi trường đặc thù, cần thiết cho những hoạt động chuyên biệt, đáp ứng yêu cầu cao và sâu hơn của một môn học hay hoạt động nào đó.

Nhóm các năng lực chuyên biệt được hình thành, phát triển, thông qua dạy học các bộ môn, đáp ứng yêu cầu riêng biệt của một lĩnh vực hoạt động. Tổ chức Hợp tác và Phát triển kinh tế Thế giới (OECD) cũng quan niệm rằng năng lực là “khả năng đáp ứng một cách hiệu quả những yêu cầu phức hợp trong bối cảnh cụ thể. Khái quát lại, năng lực có thể hiểu là sự kết hợp của kiến thức, kĩ năng, phẩm chất, thái độ và hành vi của một cá nhân để thực hiện một công việc có hiệu quả. Năng lực bao gồm cả khả năng chuyển tải kiến thức, kĩ năng, kinh nghiệm và thói quen làm việc vào các tình huống cụ thể.

Đồng thời, năng lực còn liên quan đến khả năng phán đoán, nhận thức, hứng thú, niềm tin, ý chí và tình cảm. Năng lực tồn tại và phát triển thông qua hoạt động. Quá trình hình thành năng lực phải gắn với luyện tập, thực hành và trải nghiệm các công việc thuộc ngành nghề nào đó và bảo đảm thực hiện có hiệu quả. Các mức độ của năng lực Năng lực chia làm ba mức độ: + Mức độ thứ nhất là năng lực cơ bản.

Đó là khả năng của một cá nhân ở một thời điểm nào đó có thể hoàn thành một nhiệm vụ nào đó mà nhiều người khác có cùng điều kiện hoàn cảnh cũng có thể thực hiện được. Một HS lớp 11 phát hiện ra sự khác nhau giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân, đồng thời trong lớp cũng có nhiều HS khác phát hiện ra điều này thì ta có thể xem HS đó có năng lực cơ bản. + Mức độ thứ hai là tài năng. Đó là khả năng của cá nhân có thể hoàn thành một nhiệm vụ nào đó một cách sáng tạo nhưng vẫn nằm trong khuôn khổ hoặc không vượt quá xa những thành tựu của xã hội tại thời điểm đó.

Một HS lớp 10 có thể viết chương trình mới có ứng dụng vào Toán học có thể coi là một tài năng Toán học. 6 + Mức độ cao nhất của năng lực là thiên tài. Đó là một năng lực đặc biệt mà kết quả của sự hoạt động vượt xa thành tựu của xã hội và mang ý nghĩa lịch sử đối với loài người. Pythagoras, nhà toán học, triết học, khoa học người Hy Lạp nổi danh trong thời cổ đại.

Ông là thiên tài toán học xuất chúng trong lịch sử. Với định lý nổi tiếng mang tên ông: "Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông" được coi là tiền đề cơ bản trong hình học và giúp ông nổi danh khắp thế giới. Cấu trúc của năng lực Theo Cục nhà giáo và cán bộ quản lý cơ sở giáo dục (2010), cấu trúc năng lực của HS được thể hiện theo sơ đồ: Hình 1. Cấu trúc năng lực Theo hình 1.1, để hình thành, bồi dưỡng năng lực cho HS, việc dạy học không chỉ dừng ở nhiệm vụ trang bị kiến thức, rèn luyện kĩ năng, bồi dưỡng thái độ sống đúng đắn mà phải làm cho những kiến thức sách vở trở thành hiểu biết thực sự của mỗi HS; làm cho những kĩ năng được rèn luyện trên lớp được thực hành, ứng dụng trong đời sống; làm cho thái độ sống được giáo dục qua mỗi bài học có điều kiện, môi trường bộc lộ, hình thành phát triển qua hành vi ứng xử, trở thành phẩm chất bền vững của mỗi HS.

Năng lực toán học 1. Khái niệm năng lực toán học Năng lực toán học là một loại hình năng lực chuyên môn, gắn liền với môn học. Có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực toán học. Theo Niss (2002): “Năng lực toán học như khả năng của cá nhân để sử dụng các khái niệm toán học trong một loạt các tình huống có liên quan đến toán học, kể cả các lĩnh vực bên trong hay bên ngoài của toán học”.

Niss cũng xác định tám thành tố của năng lực toán học và chia thành hai cụm. Cụm thứ nhất bao gồm: năng lực tư duy toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực suy luận toán học. Cụm thứ hai bao gồm: năng lực biểu diễn; năng lực sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu hình thức; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện toán học. Tám năng lực đó tập trung vào những gì cần thiết để cá nhân có thể học tập và ứng dụng toán học.

Các năng lực này không hoàn toàn độc lập mà liên quan chặt chẽ và có phần giao thoa với nhau. Theo Hoàng Ngọc Anh và các cộng sự (2017): “Năng lực toán học là khả năng thực hiện thành công hoạt động trong một bối cảnh nhất định nhờ sự huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng về môn Toán và các thuộc tính cá nhân khác nhau như hứng thú, niềm tin, ý chí”. Năng lực toán học bao gồm các năng lực thành phần: + Năng lực thu thập và xử lý thông tin toán học: thu thập được các kiến thức, thông tin có liên quan đến toán học, xử lý được thông tin và nhớ các khái niệm, công thức, định lý, quy tắc… trong môn Toán. + Năng lực tính toán, giải toán (thực hiện các phép toán bằng số và cả biến đổi các biến đổi các biểu thức đại số).

+ Năng lực tư duy toán học (khả năng phân tích, tổng hợp, lập luận logic, phản biện và sáng tạo). + Năng lực giao tiếp toán: Năng lực thể hiện quan điểm của HS trong quá trình học toán, bao gồm năng lực giao tiếp về toán (đề cập đến quá trình HS suy nghĩ, giải quyết vấn đề và HS nêu được lý do tại sao chọn phương án đó để giải quyết bài toán); năng lực giao tiếp trong toán (đề cập đến việc HS sử dụng ngôn 8 ngữ, các kí hiệu và các biểu diễn toán học nào là hợp lý với vấn đề đặt ra); năng lực giao tiếp với toán (đề cập việc HS sử dụng kiến thức toán để giải quyết vấn đề theo cách hiểu của HS). + Năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn (vận dụng toán vào đời sống, giải quyết các bài toán, vấn đề thực tiễn hay có nhiều tài liệu gọi tên là năng lực mô hình hóa toán học hay năng lực mô hình hóa). + Năng lực sáng tạo toán học (năng lực này thường có ở HS giỏi toán, các nhà toán học là khả năng phát hiện, hiểu và kiến tạo được các cấu trúc, quy luật toán học mới).

Các thành tố của năng lực toán học Năng lực toán học bao gồm các thành tố sau: - Năng lực tư duy và lập luận toán học + So sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự, quy nạp, diễn dịch. + Chỉ ra được chứng cứ, lý lẽ và biết lập luận hợp lý trước khi kết luận. + Giải thích, điều chỉnh cách thức giải quyết vấn đề về phương diện toán học. - Năng lực mô hình hóa toán học + Sử dụng các mô hình hóa toán học (gồm công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị,…) để mô tả các tình huống đặt ra trong các bài toán thực tế.

+ Giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập. + Thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp. - Năng lực giải quyết vấn đề toán học + Nhận biết, phát hiện được vấn đề cần giải quyết bằng toán học. + Đề xuất, lựa chọn được cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề.

+ Sử dụng được các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra. + Đánh giá giải pháp đề ra và khái quát hóa cho vấn đề tương tự. - Năng lực giao tiếp toán học + Nghe hiểu, đọc hiểu, ghi chép các thông tin toán học cần thiết được trình bày 9 dưới dạng văn bản toán học hay do người khác nói hoặc viết ra. + Trình bày, diễn đạt (nói hoặc viết) được các nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học trong sự tương tác với người khác (với yêu cầu thích hợp về sự đầy đủ, chính xác).

+ Sử dụng hiệu quả ngôn ngữ toán học (chữ số, chữ cái, kí hiệu, biểu đồ, đồ thị, các liên kết logic,.