mở đầu, dự đoán những chướng ngại mà học sinh sẽ gặp phải khi học chương “Giới han” ở lớp 11. Có nhiều công trình nghiên cứu vé lịch sử hình thành lý thuyết giới hạn, nhưng chúng tôi sẽ dựa vào công trình nghiên cứu của Cornu (1983). Do khả năng có hạn, chúng tôi chưa thể đi sâu tìm hiểu công trình nghiên cứu của Cornu nên chúng tôi xin phép được trích những ghi nhận của tác giả Nguyễn Thành Long trong luận văn thạc sĩ: “Nghiên cứu Didactic về khái niệm giới hạn trong day học môn toán ở trường THPT” và luận văn thạc sĩ của tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung "Nghiên cứu về khái niệm giới hạn ham số trong dạy-học toán: Đổ án Didactic trong môi trường máy tính bỏ túi” và giáo trình “Phương pháp dạy-học hình hoc” của tác giả Lê Thị Hoài Châu vé công trình này. Có thể nói, lịch sử hình thành khái niệm giới hạn bắt đầu từ sự xuất hiện của khái niệm vô hạn (thế kỷ VI trước công nguyên) cho đến chương trình số học hóa giải tích của Weierstrass (thế kỷ XIX).
Quá trình này có thể chia thành ba giai đoạn chủ yếu mà chúng tôi sẽ để cập dưới đây.1 Giai đoạn 1: Từ thời Hi Lạp cổ đại đến đầu thế kỷ XV Khi nghiên cứu các quá trình vô hạn, các nhà khoa học gặp khó khăn và nhận ra rằng các phép toán và quy tắc đại số không đủ cho việc nghiên cứu. Như vậy nhu cẩu tất yếu là khám phá phép toán mới cho phép giải quyết vấn dé. Ngay từ thế kỷ VI trCN, thời trường phái Pythagore, sự kiện khám phá ra số vô tỉ đã phá vỡ sự tương ứng giữa số hữu tỉ và độ dài, đồng thời dẫn đến phát hiện ra sự tổn tại Trang 8 Chưamg 2: KHÁI NIỆM GIỚI HAN của các đoạn thẳng vô ước. Đó là lan đấu tiên toán học gặp phải khái niệm vô hạn.
Ở đây lập tức xuất hiện những khó khăn và gây ra một cuộc khủng hoảng sâu sắc đầu tiền làm lung lay nền tang của toán học. Cu thể là để xác định tỷ số hai đoạn thẳng, từ lâu người ta đã dùng thuật toán mà ngày nay gọi là thuật toán Euclide để tìm ước chung ƒ của hai đoạn thẳng a và » cho trước. Nếu a= mƒ và benf thì a:b=m:n. Nhưng trường hợp a, b là các đoạn thẳng vô ước với nhau thì thuật toán trên sẽ trở nên vô hạn và người ta không thể biết được tỷ số hai đoạn thẳng đó.
Để giải quyết vấn để này, những người thuộc trường phái Pythagore đã giả thiết rằng các đoạn thẳng vô ước có một ước chung vô cùng bé, đó là những phan tử đơn giản nhất, xem là những điểm va theo họ đoạn thẳng gồm những phần tử đơn giản nhất không còn chia nhỏ được như vậy. Đây là một thể hiện của quan niệm nguyên tử cho rằng một số, không gian, thời gian và vật chất có những yếu tố ban đầu không thể chia nhỏ được. Tuy nhiên, ngược lại cũng có quan niệm liên tục cho rằng các đối tượng này có thể chia nhỏ vô hạn. Zénon (495 — 430 trCN) là người đã bóc trần những khó khăn thực sự có liên quan tới khái niệm vô hạn và liên tục.
Ông bác bd một số quan niệm trực giác trước kia vể vô cùng bé, vô cùng lớn, cũng như quan điểm trên của trường phái Pythagore và đã đưa ra bốn nghịch lý: “Chia đôi", “Asin đuổi rùa”, “Mũi tên”, “Sân vận động” vạch ra những mâu thuẫn trong các quan niệm trên. Những nghịch lý này hoàn toàn không có ý định giải quyết những mâu thuẫn đó, nhưng dẫn đến hậu quả là các nhà toán học thời đó đã loại bỏ tính vô hạn và các nguyên tử (vô cùng bé) khỏi các chứng minh trong hình học. Do vậy, để giải quyết các vấn để tính độ dài đường tròn và diện tích hình tròn: vào khoảng năm 430 trCN, Antiphon cho rằng bằng cách cứ liên tiếp nhân đôi số cạnh của một đa giác đều nội tiếp trong một đường tròn thì hiệu số giữa diện tích hình tròn với diện tích đa giác cuối cùng sẽ không còn nữa. Cùng thời gian đó, với ý tưởng tương tự, Hippocrate de Chios đã ngầm ẩn “cho qua giới hạn” để chứng minh rằng tỉ số diện tích S/S; của hai đường tròn bằng bình phương tỉ số hai đường kính d,/d; của chúng.
Nhưng người đầu tiên xây dựng phương pháp cho phép chuyển qua giới hạn là Eudoxus (năm 410-356 trCN. Phương pháp “vét kiệt” của Eudoxus dựa vào một bổ để, để chứng minh bổ để này ông phải sử dụng một tiên để mà sau này ta gọi là tiên để Archimedes: "với hai số a,b, a>b, ta có thể gấp b lên N lin sao cho Nb>a". Có thể nói Eudoxus đã đặt nền móng cho giái tích vô cùng bé. Cách chứng minh theo phương pháp vét kiệt, bao hàm ý tưởng của lý thuyết giới hạn vé sau này.
Nó còn chứa đựng yếu tố rất quan trọng của khái niệm giới hạn là: có thể tìm được giá trị gần đáng của một đại lượng với độ chính xác bao nhiêu căng được. Nhưng trong phương pháp vét kiệt chỉ để cập đến đại lượng hình học chứ không nêu bật được ý tưởng về đại lượng biến thiên bất kì, cũng không có ý tưởng cho qua giới hạn (do lẫn tránh sự vô hạn). Quả thực, phương phấp vét kiệt cho phép họ tránh sử dung vô hạn trong chứng minh Trang 9 Chương 2: KHÁI NIỆM GIỚI HAN (bằng lập luận phản chứng). Ngay cả đến cuối thế kỷ XVIII, mà Lagrange vẫn còn cho ring khái niệm giới hạn không có tính thuyết phục, những phép toán trên số không bắt buộc phải sử dụng giới hạn.
Sau Archimède, lịch sử xảy ra dồn dập những biến cố tường chừng như đã vùi lấp các tư tưởng của các nhà toán học cổ Hi Lạp. Mãi đến thế kỷ XVI các tư tưởng đó mới được nhà toán học châu Âu biết đến, kế thừa và phát triển. Từ đây bắt dau thời kỳ mà để cập đến khái niệm vô hạn không còn bị coi là cấm ky như trước đây. Chẳng hạn như Kepler đổng nhất đường tròn với một đa giác déu có số cạnh vô hạn và tính diện tích hình tròn bằng cách lấy tổng vô hạn các điện tích tam giác, Bônaventura Kavalêri sáng tạo ra “phương pháp về những yếu tố không phân chia được”, trong cách đặt vấn để tính tích phân định hạn một cách tổng quát, ông có sự tiến bộ so với Kepler vì đã áp dụng nhanh chóng những kết quả của mình vào việc tính những điện tích và thể tích khác nhau.
Tóm lại, trong giai đoạn này, giới hạn chủ yếu vẫn liên quan đến các đại lượng hình học khi tính điện tích, thể tích,. Nhận thức vé vô hạn đi từ thái độ phủ định sang khẳng định: việc tính tổng của chuỗi được phát triển, khái niệm giới hạn có thêm phạm vi tác động là đại số nhưng chỉ ở mức độ kĩ thuật Gregory bắt dau khai triển hàm số thành chuỗi và ngắm ẩn đưa vào khái niệm giới hạn qua các thuật ngữ “hội tụ”. Mam mống của tư tưởng vô cùng bé (“cdi không thể chia nhỏ được ") cũng đã xuất hiện. Nhưng các nhà toán học quan tâm nhiều đến việc tính tổng của các chuỗi hơn là suy nghĩ về sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi.
Nhiều đối tượng dù không được định nghĩa nhưng vẫn có sức thuyết phục do dựa vào hiệu quả của chúng. Nói cách khác, khái niệm giới hạn chỉ mới là công cụ (ngầm ẩn) để giải toán, chưa phải là đối tượng để nghiên cứu.2 Giai đoạn 2: Từ thế kỷ XVII đến nửa đầu thế kỷ XVII Sự ra đời của Giải tích các vô cùng bé Thế kỷ XVII với thắng lợi của cuộc cách mạng khoa học kỹ thuật đã tao ra xu hướng chú trọng nghiên cứu cơ học lý thuyết. Cũng vì lý đó, trong toán học người ta bat đầu quan tâm đến chuyển động và các đại lượng biến thiên. Chỉ có toán học về các lượng biến thiên mới có thể đáp ứng được yêu cẩu của ngành Toán tự nhiên đã được phát sinh.
Kết quả là một số phương pháp mới liên quan đến việc khảo sát các lượng “vô cùng bé ” (hay phương pháp “chia nhỏ vô han”) xuất hiện. Giải tích Toán học hình thành một lĩnh vực khoa học độc lập được gọi là “giải tích các lượng vô cùng bé ". Lúc đầu, mỗi sự kiện cá biệt đòi hỏi người nghiên cứu phải có những cách giải quyết đặc biệt nhưng sau đó xuất hiện những phương pháp chung để giải quyết các bài toán cùng loại đã thiết lập được mối liên quan giữa các bài toán thuộc loại khác nhau. Fermat (1601-1665) xây dựng một phương thức tổng quát để tính diện tích các parabol và hyperbol nhờ cấp số nhân.
Phương thức của ông cho phép phát huy khía cạnh thuật toán của Giải tích các vô cùng bé. Trang 10 Chương 3: KHÁI NIỆM GIỚI HAN Newton (1642-1727) coi một đường không phải do những điểm kể nhau mà do một điểm chuyển động liên tục mà thành. Nếu tại mỗi thời điểm của chuyển động, ta có khái niệm vận tốc tức thời thì tương ứng tại mỗi điểm của đường ta có khái niệm mà sau này gọi là đạo hàm. Trong công trình lớn nhất của mình là “Cơ sở toán học của triết học tự nhiên” (1686- 1687), Newton công bố quan điểm về vô cùng bé mà về nguyên tắc gắn với quan điểm hiện đại: các vô cùng bé “tiém năng” (các giới hạn của các tổng và các tỉ số của chúng) được đưa vào khảo sát thay cho các vô cùng bé “thực tại”.
(Vô cùng bé “thực tại” là đại lượng tĩnh, không thay đổi, không bằng 0, có giá trị tuyệt đối bé hơn lượng hữu hạn bất kỳ; vô cùng bé “tiém năng” là đại lượng biến thiên và trong quá trình biến thiên mới trở nên bé hơn lượng hữu hạn) Ông dành cho lý thuyết giới hạn độc đáo dưới để mục “Phuong pháp các ti số dau và tỉ số cuối" trong tác phẩm “Cơ sở toán học của triết học tự nhiên”. Những tỉ số này của hai đại lượng là tỉ số giới hạn (tỉ số biến thiên) của chúng. “Ti số dau” biểu thị giới hạn tỉ số của hai dai lượng “phat sinh” (các vô cùng bé) nghĩa là dạng vô định ng * “Ti số cuối" biểu thị tỉ số của các đại lượng “biến mất" có thể là vô cùng bé, đại lượng hữu hạn hay vô cùng lớn) nghĩa là kết quả của việc khử dạng vô định HỆ Newton cũng nói tới "tổng đầu của các đại lượng phát sinh” hay “tổng cuối của các đại lượng biến mất”.