Mở đầu bài “Hàm số”, SGK Toán 7 nêu ba ví dụ về các đại lƣợng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch đƣợc diễn tả bằng bảng và công thức ( Tr. - Ví dụ 1: Nhiệt độ T0(C) tại các thời điểm t (giờ) trong cùng một ngày 9 đƣợc cho bằng bảng sau: t (giờ) 0 4 8 12 16 20 T0 (C) 20 18 22 26 24 21 - Ví dụ 2: Khối lƣợng m(g) của một thanh kim loại đồng chất có khối lƣợng riêng 7,8 (g/cm3) tỉ lệ thuận với thể tích V (cm3) theo công thức: m = 7,8V. Tính các giá trị tƣơng ứng của m khi V = 1, 2, 3, 4. - Ví dụ 3: Thời gian t(h) của một vật chuyển động đều trên quãng đƣờng 50 50 km tỉ lệ nghịch với vận tốc v (km/h) của nó theo công thức: t.
Tính và lập v bảng giá trị tƣơng ứng của t khi v = 5, 10, 25, 50. - Từ đó HS có thể thấy: + Bảng hoặc công thức đều cho mối quan hệ phụ thuộc giữa hai đại lƣợng biến thiên một cách ngầm ẩn. + Bảng hoặc công thức đều cho quy tắc thiết lập sự tƣơng ứng giữa các phần tử của hai tập hợp. - Sau đó SGK Toán 7 mới nêu khái niệm hàm số (Tr63): “Nếu đại lƣợng y phụ thuộc vào đại lƣợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định đƣợc chỉ một giá trị tƣơng ứng của y thì y đƣợc gọi là hàm số của x và x gọi là biến số”.
- Định nghĩa này làm nổi bật một cách tƣờng minh hai đặc trƣng: phụ thuộc và tƣơng ứng của khái niệm hàm. Còn đặc trƣng biến thiên thì ngầm ẩn. SGK Toán 7 chƣa nhắc tới thuật ngữ “biến thiên” và đặc trƣng biến thiên của hàm số là có dụng ý sƣ phạm. a Phần 3: Trình bày về đồ thị hàm số và nghiên cứu các hàm số y = ax và y x - SGK Toán 7 giới thiệu về mặt phẳng tọa độ thông qua một số ví dụ thực tế, sau đó xây dựng tọa độ của một điểm.
Xây dựng khái niệm đồ thị của hàm số f(x) - Tr.69: “Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tƣơng ứng (x; y) trên mặt phẳng tọa độ”. 10 - Việc lập các cặp số (x; y) để định nghĩa đồ thị của hàm số có tác dụng củng cố đặc trƣng tƣơng ứng, đặc trƣng phụ thuộc và cả đặc trƣng biến thiên cua hàm số một cách ngầm ẩn. - Ở lớp 7, HS chỉ làm quen với việc vẽ đồ thị của hai hàm số đơn giản là a y = ax và y =. Để khái quát hoá lên đồ thị của chúng, SGK Toán 7 cũng cho a x 1 là các số cụ thể: a = 2; a =.
Lớp 8 - SGK Toán 8 không trình bày vấn đề hàm số. Nhƣng ta có thể thấy hàm số đƣợc sử dụng một cách ngầm ẩn qua các khái niệm khác của Toán 8: đa thức, phân thức, phƣơng trình. - Ở đây HS làm quen với việc thực hiện các phép biến đổi đồng nhất trên các biểu thức chữ (các đa thức, phân thức,…) và tìm giá trị của các biến để đa thức, phân thức nhận giá trị 0. - Từ đó giúp HS rèn kuyện kỹ năng làm việc trên các đối tƣợng tổng quát chứ không phải là các con số cụ thể, nhằm tạo cơ sở để HS tiếp thu những khái niệm về hàm số sau này.
Lớp 9 - Định nghĩa khái niệm hàm số trong SGK Toán 9 bắt đầu sử dụng khái niệm tập hợp: “Hàm số f từ tập hợp X đến tập hợp số Y là một quy tắc tƣơng ứng mỗi giá trị x thuộc X, một và chỉ một giá trị y thuộc Y mà ta kí hiệu là y = f(x), x gọi là biến số và y = f(x) gọi là giá trị của hàm số tại x”. - Ở lớp 9, HS đƣợc tiếp cận một cách tƣờng minh với đặc trƣng biến thiên của hàm số. Bƣớc đầu nghiên cứu về tính đồng biến và tính nghịch biến của hàm số thông qua hai hàm số đơn giản: y = ax + b và y = ax2. - Đến đây HS mới thấy đầy đủ ba đặc trƣng của khái niệm hàm số.
Tuy nhiên đặc trƣng biến thiên mới chỉ cho HS bƣớc đầu làm quen thông qua việc nắm khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến và xét sự đồng biến, nghịch biến của một số hàm số đơn giản. Đặc trƣng biến thiên chƣa đƣợc ứng dụng vào giải 11 toán và vẽ đồ thị. Lớp 10 Chƣơng II - SGK Đại số 10 đã trình bày vấn đề hàm số với: §1. Khái niệm hàm số; §2.
Hàm số y = ax + b; §3. Hàm số bậc hai; §4. Vài hàm số khác. Ở §1 có mục I đã nêu định nghĩa hàm số nhƣ sau (Tr.23): “Cho D là một tập con khác rỗng của tập hợp các số thực R.
Một hàm số f xác định trên D là một quy tắc cho tƣơng ứng với mỗi phần tử x D một và chỉ một số thực y. D đƣợc gọi là tập xác định của (hay miền xác định) của hàm số f. Phần tử bất kì x D gọi là biến số độc lập (hay biến số, đối số). Số thực y tƣơng ứng với biến số x gọi là giá trị của hàm số f tại x, kí hiệu là y = f(x).
Ta viết: f: D R x y = f(x) Công thức y = f(x) gọi là quy tắc tìm giá trị f(x) của hàm số f tại mọi x D. Định nghĩa này tuân theo quan điểm của lý thuyết tập hợp, coi hàm số là một quy tắc tƣơng ứng giữa các phần tử của hai tập hợp là D và R. Định nghĩa này làm nổi bật đặc trƣng tƣơng ứng của hàm số. Định nghĩa này không dựa vào đại lƣợng biến thiên, không đề cập đến khái niệm này một cách tƣờng minh.
Sau đó SGK có nêu ra hai ví dụ về hàm số. Ví dụ 1 cho hàm số bằng một biểu thức giải tích. Ví dụ 2 cho hàm số bằng hai biểu thức giải tích. Nhƣng chỉ có hai ví dụ đó thôi có thể dễ gây cho HS hiểu nhầm rằng cho hàm số là một công thức.
Đáng tiếc là SGK lại không nêu phản ví dụ: quy tắc nào không phải là hàm số. Do đó cơ hội khắc sâu khái niệm hàm số cho HS bị “bỏ quên”. Ở §1 có mục II: Giới thiệu hàm số cho bởi công thức. Nhƣng ở đó chƣa nhấn mạnh lại là hàm số cho bằng cách nào cũng không quan trọng, miễn là nó thỏa mãn các tính chất đã nêu.
Do cách xếp nội dung mục II liền kề với hai ví dụ ở mục I, nên càng làm tăng khả năng HS hiểu nhầm cho hàm số là phải cho bởi một công thức. 12 Có nhiều cách cho hàm số, cho bằng: bảng, công thức, đồ thị, biểu đồ Ven, … Nhƣng khi nghiên cứu hàm số, chủ yếu là các hàm số cho bởi công thức, đặc biệt là khi nghiên cứu về đặc trƣng biến thiên. SGK Đại số từ lớp 10 đến lớp 12: Hàm số đƣợc nghiên cứu chủ yếu về đặc trƣng biến thiên. Các đặc trƣng phụ thuộc và tƣơng ứng không còn giữ vai trò quan trọng nhƣ trƣớc nữa.
Đặc trƣng biến thiên đã đƣợc lợi dụng để giải toán. Ở §1 có mục IV: Bắt đầu xuất hiện thuật ngữ “sự biến thiên của hàm số”. Mục này đã nhắc lại định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến và đề cập đến: “Khảo sát sự biến thiên của hàm số trên (a; b) là xét xem hàm số đó đồng biến hay nghịch biến trên khoảng này” - Tr.26 Sự biến thiên của hàm số đƣợc mô tả trực quan bằng bảng biến thiên và tiếp đó là bằng đồ thị của hàm số đồng biến, nghịch biến. Các mô tả này mang bản chất định tính chứ không định lƣợng vì vậy có sức khái quát hoá cao.
Ở §1 có mục V: Khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ và đồ thị của chúng. Đây là hai lớp hàm số có nhiều tính chất đặc biệt và thƣờng gặp. Các tính chất đặc biệt về đồ thị của chúng: đối xứng qua trục tung (hàm số chẵn), đối xứng qua gốc tọa độ (hàm số lẻ) đã đƣợc phát biểu thành định lí và chứng minh. Từ đó và sau này HS sẽ có thêm căn cứ để vẽ chính xác đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ.
Ở §2 có nêu lại định nghĩa hàm số bậc nhất (a 0). Đồ thị hàm số hằng y = b; khảo sát hàm số y = ax + b ở đó sự biến thiên đã đƣợc phát biểu thành định lí và chứng minh. Phần đồ thị hàm số y = ax + b thì kế thừa SGK Toán 9. Ở §3 SGK Đại số 10 có nói về hàm số bậc hai với các đặc điểm sau: - Sự biến thiên của hàm số đã phát biểu thành định lí và có chứng minh (khác với lớp 9, chỉ giới thiệu qua mà không chứng minh) và hàm số đƣợc khảo sát sự biến thiên một cách tổng quát sau đó mới lấy ví dụ cụ thể để minh họa.
- Ở §3 có mục I: Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = ax2 có tính chất ôn lại kiến thức lớp 9 và chính xác hoá kiến thức đó bằng phép chứng minh. - Ở §3 có mục II: Sự biến thiên của hàm số y = ax2 + bx + c là sự mở rộng kiến thức lớp 9. 13 - Ở §3 có mục III: Đồ thị (C) hàm số: y = ax2 + bx + c (a 0). Ở đây SGK có nêu ra phƣơng pháp đổi trục tọa độ để nhận dạng đồ thị (C).
Cách làm này cho phép kết luận khoa học: Đồ thị (C) của hàm số y = ax2 + bx + c và đồ thị (C0) của hàm số y = ax2 là hai đƣờng cong “bằng nhau”, tức là có thể trùng khít lên nhau nhờ một phép tịnh tiến. - Lý thuyết đƣa vào phƣơng pháp đổi trục tọa độ sẽ tạo khả năng cho HS vận dụng phƣơng pháp này để làm các bài tập về đồ thị. - Ở §3 có mục IV: Trình bày hai ví dụ mẫu: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai. Phần vẽ đồ thị ở hai ví dụ này lại không lập bảng giá trị tƣơng ứng hay các cặp điểm tƣơng (nhƣ ở lớp 9) là ẩn đi đặc trƣng tƣơng ứng của hàm số.
Theo chúng tôi việc này đã làm mất cơ hội khắc sâu kiến thức tƣơng ứng của hàm số cho HS và cũng làm cho HS lúng túng khi muốn vẽ chính xác đồ thị.