Giáo trình Cơ học lượng tử nâng cao ngành Vật lý Lý thuyết và Vật lý Toán

Nghiên cứu chi tiết giáo trình cơ lượng tử nâng cao về tính toán. Hướng dẫn lý thuyết và ứng dụng thực tế trong vật lý hiện đại.

• Đề tài: Giáo trình Cơ học lượng tử nâng cao - Phương pháp giảng dạy Vật lý
• Loại tài liệu: Giáo trình
• Trường học: Đại học Sư phạm Hà Nội

Tóm tắt

I. Tổng quan về giáo trình cơ học lượng tử nâng cao

Giáo trình cơ học lượng tử nâng cao cung cấp kiến thức chuyên sâu về các phương pháp giải quyết bài toán lượng tử phức tạp. Nội dung bao gồm cơ sở toán học, tiên đề cơ bản, nguyên lý bất định Heisenberg và phương trình Schrödinger. Tài liệu hệ thống hóa lý thuyết tán xạ lượng tử và cơ học lượng tử tương đối tính, bao gồm phương trình Klein-Gordon, Dirac cùng các khái niệm về mật độ xác suất tương đối tính. Giáo trình được biên soạn cho học viên cao học chuyên ngành Vật lý Lý thuyết-Vật lý Toán và Phương pháp Giảng dạy Vật lý. Ngoài 4 chương chính, giáo trình bổ sung 15 tiết khảo sát chuyên sâu về trạng thái nguyên tử, hiệu ứng Zeeman dị thường và trạng thái năng lượng âm. Mục tiêu trang bị nền tảng vững chắc cho nghiên cứu vật lý hiện đại và ứng dụng trong các lĩnh vực tiên tiến.

1.1. Cơ sở toán học và tiên đề cơ học lượng tử

Cơ sở toán học bao gồm các phép tính trên toán tử, hàm riêng trị riêng và tính chất toán tử Hermitian. Tiên đề cơ học lượng tử thiết lập mối quan hệ giữa trạng thái lượng tử, đại lượng động lực và phép đo. Nguyên lý bất định Heisenberg giới hạn độ chính xác đo đồng thời vị trí và động lượng. Phương trình Schrödinger mô tả tiến hóa theo thời gian của hệ lượng tử. Những khái niệm này tạo nền tảng cho toàn bộ lý thuyết cơ học lượng tử nâng cao.

1.2. Phương trình Schrödinger và biến đổi đại lượng

Phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian mô tả sự tiến hóa của hàm sóng. Mật độ dòng xác suất đảm bảo bảo toàn số hạt trong hệ. Phương trình không phụ thuộc thời gian xác định trạng thái dừng. Sự biến đổi theo thời gian của đại lượng vật lý được biểu diễn thông qua đạo hàm toán tử theo thời gian. Những công cụ này cho phép phân tích động lực học lượng tử phức tạp.

II. Phân tích các phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử

Phương pháp nhiễu loạn là kỹ thuật quan trọng giải quyết bài toán lượng tử khi tương tác yếu. Lý thuyết nhiễu loạn dừng áp dụng cho trường hợp không suy biến, trong khi nhiễu loạn phụ thuộc thời gian xử lý tương tác thay đổi theo thời gian. Trường hợp suy biến đòi hỏi giải hệ phương trình tuyến tính kết hợp điều kiện trực chuẩn. Lý thuyết nhiễu loạn cung cấp biểu thức giải tích cho mức năng lượng và hàm sóng. Hiệu ứng Stark trong nguyên tử Hydro minh họa ứng dụng quan trọng của phương pháp này.

2.1. Nhiễu loạn dừng trong trường hợp không suy biến

Trong trường hợp không suy biến, mức năng lượng được biểu diễn dưới dạng chuỗi lũy thừa theo hằng số tương tác. Lần nhiễu loạn bậc nhất cung cấp hiệu chỉnh năng lượng tuyến tính. Lần nhiễu loạn bậc hai đưa ra hiệu chỉnh phi tuyến. Phương pháp này hiệu quả khi tương tác yếu so với năng lượng không nhiễu loạn. Kết quả thu được có dạng giải tích thuận lợi cho phân tích vật lý.

2.2. Nhiễu loạn dừng trong trường hợp suy biến

Trường hợp suy biến yêu cầu giải hệ phương trình tuyến tính cho hệ số tổ hợp tuyến tính. Điều kiện trực chuẩn đảm bảo nghiệm thỏa mãn nguyên lý chồng chất. Phương trình đặc trưng bậc hai xác định sự tách mức năng lượng. Mức năng lượng mới thể hiện sự tách do tương tác gây ra. Kết quả quan trọng trong nghiên cứu hiệu ứng Stark và các hiện tượng cộng hưởng.

III. Lý thuyết tán xạ lượng tử và tiết diện tán xạ

Lý thuyết tán xạ nghiên cứu tương tác giữa hạt tới và tâm tán xạ. Phương trình Schrödinger trong trường tán xạ có nghiệm đặc biệt ở vô cực. Mật độ dòng hạt tới và tán xạ được biểu diễn trong hệ tọa độ phù hợp. Tiết diện tán xạ vi phân xác định xác suất tán xạ theo hướng. Biên độ tán xạ liên quan đến hệ số của sóng cầu trong nghiệm. Phương pháp hàm Green cung cấp công cụ mạnh mẽ giải bài toán tán xạ.

3.1. Phương trình Schrödinger trong trường tán xạ

Phương trình Schrödinger trong trường tán xạ có dạng đặc biệt ở khoảng cách lớn. Nghiệm bao gồm thành phần sóng tới và sóng tán xạ. Sóng tới được chuẩn hóa theo vận tốc hạt. Sóng tán xạ thể hiện tương tác với tâm tán xạ. Mật độ dòng xác định theo gradient hàm sóng. Những đặc điểm này quyết định hình dạng tiết diện tán xạ.

3.2. Tính tiết diện tán xạ vi phân

Tiết diện tán xạ vi phân xác định bởi biên độ tán xạ. Biên độ được xác định từ hệ số sóng cầu trong nghiệm. Tiết diện toàn phần là tích phân theo góc. Phương pháp hàm Green chuyển bài toán vi phân thành tích phân. Kết quả quan trọng trong vật lý hạt nhân và vật lý hạt.

IV. Cơ học lượng tử tương đối tính và ứng dụng

Cơ học lượng tử tương đối tính kết hợp thuyết tương đối hẹp với cơ học lượng tử. Phương trình Klein-Gordon mô tả hạt spin 0. Phương trình Dirac mô tả hạt spin 1/2. Phương trình Pauli mở rộng cho tương tác từ trường. Những phương trình này thể hiện tính tương đối tính trong cơ học lượng tử. Mật độ xác suất tương đối tính đảm bảo bảo toàn số hạt. Spin và mômen từ là những khái niệm cơ bản trong lý thuyết này.

4.1. Phương trình Dirac và spin hạt

Phương trình Dirac là phương trình sóng tương đối tính cho hạt spin 1/2. Nó dự đoán sự tồn tại positron. Spin xuất hiện tự nhiên từ cấu trúc đại số của phương trình. Mômen từ của hạt liên quan đến spin thông qua hệ số Landé. Những tính chất này quan trọng trong vật lý hạt và vật lý chất rắn.

4.2. Mật độ xác suất tương đối tính

Mật độ xác suất tương đối tính đảm bảo bảo toàn số hạt trong lý thuyết tương đối tính. Nó liên quan đến mật độ dòng xác suất thông qua phương trình liên tục. Tính bất biến Lorentz đảm bảo tuân thủ nguyên lý tương đối. Những khái niệm này quan trọng trong vật lý năng lượng cao và vũ trụ học.

Nội dung chính

Tổng quan về giáo trình

Giáo trình Cơ học lượng tử nâng cao là tài liệu học tập và nghiên cứu bắt buộc trong chương trình đào tạo trình độ cao học (thạc sĩ), trực tiếp phục vụ hai chuyên ngành: Phương pháp Giảng dạy Vật lý và Vật lý Lý thuyết – Vật lý Toán. Về mặt vị trí trong cây tri thức đào tạo sau đại học, học phần này đóng vai trò là khối kiến thức cơ sở trực tiếp, tạo tiền đề lý thuyết để học viên tiếp thu các học phần chuyên sâu tiếp theo gồm: Vật lý thống kê, Vật lý chất rắn và Cơ sở lý thuyết trường lượng tử.

Mục tiêu học tập (learning outcomes) của giáo trình tập trung vào việc hệ thống hóa và nâng cao toàn diện các nội dung cơ bản của cơ học lượng tử phi tương đối tính, đồng thời phát triển năng lực giải quyết các bài toán vi mô phức tạp thông qua hệ thống các phương pháp gần đúng, lý thuyết tán xạ và các phương trình sóng tương đối tính cơ bản. Học viên được trang bị năng lực thiết lập phương trình, khai triển toán tử trên không gian Hilbert và giải tích số cho các hệ nguyên tử đa hạt.

Cấu trúc giáo trình gồm 4 chương chính kết hợp phần mở rộng chuyên đề 15 tiết. Cách tiếp cận của tài liệu đi từ cấu trúc tiên đề toán học giải tích chặt chẽ, mở rộng sang các kỹ thuật tính gần đúng thực nghiệm, khảo sát động lực học tán xạ và chuyển tiếp lên cơ học lượng tử tương đối tính.

Điểm đặc sắc của giáo trình thể hiện ở tính chuẩn mực học thuật cao: các tiên đề và định lý đều được chứng minh tường minh (như tính chất trực giao của toán tử Hermitic, hệ thức bất định Heisenberg, phương trình chuyển động Heisenberg); đồng thời cấu trúc thời lượng dành đúng 1/4 (25%) cho các hoạt động giải bài tập ứng dụng và thảo luận xêmine (seminar).

---

Nội dung kiến thức cốt lõi

Các chương/chủ đề chính

Nội dung giáo trình được thiết kế theo 4 chương trọng tâm với trình tự phát triển logic:

• Chương 1: Cơ sở của cơ học lượng tử (Trang 4 – 17): Khái quát cơ sở toán học (toán tử tuyến tính, giao hoán tử $[\hat{A}, \hat{B}]$, toán tử tự liên hợp/Hermitic $\hat{A}^+$, phương trình trị riêng và hệ cơ sở đầy đủ trong không gian Hilbert). Trình bày 3 tiên đề cốt lõi về hàm sóng chuẩn hóa, toán tử đại lượng động lực và phép đo xác suất. Phân tích điều kiện đo đồng thời, chứng minh hệ thức bất định Heisenberg $\Delta L^2 \Delta M^2 \ge \frac{1}{4}|\langle [\hat{L}, \hat{M}] \rangle|^2$. Thiết lập phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian, định luật bảo toàn số hạt qua mật độ dòng xác suất $\vec{j}$, phương trình trạng thái dừng và phương trình Heisenberg cho đạo hàm toán tử $\frac{d\hat{L}}{dt} = \frac{\partial \hat{L}}{\partial t} + \frac{i}{\hbar}[\hat{H}, \hat{L}]$ để xác định tích phân chuyển động.
• Chương 2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử (Trang 18 – 46): Trình bày lý thuyết nhiễu loạn dừng không suy biến với các công thức hiệu chính năng lượng bậc nhất $E_n^{(1)} = V_{nn}$, bậc hai $E_n^{(2)} = \sum_{k \neq n} \frac{|V_{nk}|^2}{E_n^{(0)} - E_k^{(0)}}$ và hàm sóng bậc nhất. Khảo sát lý thuyết nhiễu loạn dừng khi có suy biến, phương trình thế kỷ $|V_{mp} - E^{(1)}\delta_{mp}| = 0$, ứng dụng giải thích hiệu ứng Stark bậc nhất cho mức $n=2$ của nguyên tử Hydro. Trình bày lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian của Dirac, xác suất chuyển dời lượng tử $w_{mn}(t)$, điều kiện cộng hưởng bức xạ. Khảo sát nguyên tử Heli với hàm sóng đối xứng $\psi_s$ (trạng thái para, spin $S=0$) và phản xứng $\psi_a$ (trạng thái ortho, spin $S=1$). Xây dựng nguyên lý biến phân và phương pháp trường tự hợp Hartree, Hartree-Fock chứa các tích phân trao đổi $G_{ik}$.
• Chương 3: Lý thuyết tán xạ lượng tử (Trang 47 – 60): Định nghĩa tiết diện tán xạ vi phân $d\sigma(\theta, \phi) = |A(\theta, \phi)|^2 d\Omega$ và tiết diện tán xạ toàn phần $\sigma$. Trình bày phép biến đổi hệ quy chiếu giữa hệ tâm quán tính và hệ phòng thí nghiệm. Thiết lập phương trình tán xạ dừng với điều kiện biên tiệm cận gồm sóng phẳng tới và sóng cầu phân kỳ $A(\theta, \phi)\frac{e^{ikr}}{r}$. Giới thiệu phương pháp giải bằng hàm Green, phép gần đúng Born và phương pháp sóng riêng phần cho các hạt không có spin.
• Chương 4: Cơ học lượng tử tương đối tính (Trang 61 – 72): Xây dựng phương trình Klein-Gordon cho hạt spin bằng 0; phương trình Dirac cho hạt spin 1/2; định nghĩa mật độ xác suất và dòng xác suất tương đối tính; tìm nghiệm hạt tự do; khảo sát spin và mômen từ; xấp xỉ chuyển từ phương trình Dirac sang phương trình Pauli.
• Chuyên đề mở rộng (15 tiết): Dành riêng cho chuyên ngành Vật lý Lý thuyết – Vật lý Toán để nghiên cứu sâu về cấu trúc các trạng thái nguyên tử, lý thuyết lượng tử về bức xạ, hiệu ứng Zeeman dị thường, các trạng thái năng lượng âm và tính bất biến của phương trình Dirac.

Progression logic của giáo trình đi từ việc củng cố cấu trúc toán học giải tích trừu tượng $\to$ phát triển các phương pháp gần đúng cho hệ vi mô dừng và không dừng $\to$ phân tích tương tác va chạm tán xạ $\to$ mở rộng lý thuyết hiệp biến tương đối tính.

Kiến thức nền tảng được xây dựng

• Lý thuyết phổ toán tử Hermitic: Xây dựng nền tảng biểu diễn trạng thái và toán tử trong không gian Hilbert, tính trực giao, chuẩn hóa của hệ hàm riêng và tính thực của các trị riêng đo được.
• Nguyên lý biến phân và lý thuyết trường tự hợp: Mô hình hóa hệ đa hạt dựa trên việc tìm cực tiểu phiếm hàm năng lượng có điều kiện bằng phương pháp thừa số bất định Lagrange.
• Lý thuyết tán xạ dừng: Thiết lập công thức hàm sóng tiệm cận kết hợp giải tích hàm Green để xác định các đại lượng đo tán xạ.
• Lý thuyết phương trình sóng tương đối tính: Cung cấp cấu trúc toán học của ma trận Dirac, toán tử spinơ và phép xấp xỉ trường yếu phi tương đối tính.

Kỹ năng phát triển

• Kỹ năng kỹ thuật (Technical skills): Kỹ năng tính toán các phần tử ma trận nhiễu loạn $V_{mk}$, thiết lập và giải định thức phương trình thế kỷ, tính các tích phân Coulomb và tích phân trao đổi ($K, A, G_{ik}$), tính toán gần đúng biến phân với các hàm thử Gauss và lũy thừa.
• Kỹ năng phân tích (Analytical skills): Năng lực phân tích tính đối xứng của Hamiltonian để đánh giá sự suy biến mức năng lượng; phân tích sự tách mức năng lượng do trường ngoài (hiệu ứng Stark); phân tích tính đối xứng/phản xứng của hàm sóng toạ độ kết hợp hàm spinơ trong hệ đa electron.
• Kỹ năng ứng dụng học thuật (Practical competencies): Khả năng vận dụng các phép tính xấp xỉ giải tích để ước lượng năng lượng trạng thái cơ bản của nguyên tử, thiết lập mô hình tính toán số trên máy tính cho phương trình Hartree-Fock và đánh giá tiết diện tán xạ hạt vi mô.

---

Phương pháp giảng dạy và học tập

Giáo trình định hình phương pháp tiếp cận sư phạm theo hướng diễn dịch toán lý giải tích kết hợp mô hình hóa vật lý. Cấu trúc mỗi phần bài giảng được thiết kế mạch lạc: xuất phát từ bài toán thực tế không thể giải chính xác bằng phương trình Schrödinger chuẩn $\to$ thiết lập các giả thiết gần đúng $\to$ suy dẫn toán học chặt chẽ $\to$ rút ra công thức hiệu chính giải tích $\to$ minh họa bằng các hệ vật lý cụ thể.

Hệ thống bài tập mẫu và case studies trong giáo trình gắn liền với các bài toán kinh điển của vật lý lượng tử:

1. Khảo sát trạng thái cơ bản và kích thích của dao động điều hòa một chiều bằng phương pháp biến phân với các hàm thử dạng $A\exp(-\frac{1}{2}\alpha x^2)$ và $Bx\exp(-\frac{1}{2}\beta x^2)$.
2. Tính toán chi tiết độ tách mức năng lượng kích thích thứ nhất ($n=2$, suy biến bậc 4) của nguyên tử Hydro trong điện trường ngoài $\mathcal{E}$ (hiệu ứng Stark bậc nhất), xác định hệ số ma trận $V_{12} = -3ae\mathcal{E}$ và tìm các hàm sóng cấp không tương ứng.
3. Tính toán năng lượng trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích $(1s)^1(2s)^1$ của nguyên tử Heli, phân tích sự dịch chuyển mức năng lượng giữa trạng thái para và ortho thông qua tích phân tương tác đẩy Coulomb và tích phân trao đổi.

Đối với thực hành và tự học, giáo trình yêu cầu dành 25% thời lượng (1/4 số tiết học phần) cho việc giải bài tập và tổ chức xêmine (seminar). Phương pháp đánh giá kết quả học tập bao gồm: kiểm tra khả năng suy dẫn lý thuyết tiên đề, đánh giá bài tập tính toán giải tích các phần tử ma trận nhiễu loạn/biến phân, và đánh giá báo cáo seminar chuyên đề (đặc biệt là 15 tiết chuyên sâu về phương trình Dirac, hiệu ứng Zeeman dị thường và lý thuyết bức xạ).

---

Điểm nổi bật và cập nhật

• Tích hợp chuyển tiếp phi tương đối tính sang tương đối tính: Giáo trình không giới hạn ở khuôn khổ phương trình Schrödinger mà mở rộng hoàn chỉnh sang Chương 4 với phương trình Klein-Gordon và Dirac, giải quyết bài toán spin 1/2 và mômen từ của hạt vi mô, tạo cầu nối trực tiếp cho học phần Cơ sở lý thuyết trường lượng tử.
• Hệ thống hóa sâu các phương pháp gần đúng hiện đại: Đi sâu vào cấu trúc trường tự hợp Hartree và Hartree-Fock, làm rõ vai trò của tính đối xứng không gian kết hợp hàm spinơ, giải thích nguồn gốc của tích phân trao đổi $G_{ik}$ – kiến thức nền tảng bắt buộc của vật lý chất rắn và vật lý nguyên tử hiện đại.
• Gắn liền giải tích lý thuyết với các hiện tượng thực nghiệm: Các phương pháp toán học được áp dụng trực tiếp để giải thích các hiện tượng quang phổ và cấu trúc vi mô thực tế như: sự tách vạch quang phổ trong hiệu ứng Stark (phát hiện năm 1913), sự dịch mức năng lượng nguyên tử Heli, và hiện tượng tán xạ hạt qua tiết diện vi phân.
• Định hướng ứng dụng phương pháp tính số: Giáo trình nêu rõ giới hạn của giải tích giải nghiệm chính xác và khẳng định tầm quan trọng của việc kết hợp máy tính điện tử để giải số hệ phương trình vi phân phi tuyến Hartree-Fock trong nghiên cứu hệ nhiều điện tử.

---

Đối tượng sử dụng giáo trình

Giáo trình được biên soạn phục vụ các nhóm đối tượng học thuật cụ thể:

• Học viên cao học: Học viên thạc sĩ thuộc hai chuyên ngành chuyên sâu là Phương pháp Giảng dạy Vật lý và Vật lý Lý thuyết – Vật lý Toán. Giáo trình cung cấp nội dung học phần bắt buộc cốt lõi cùng 15 tiết chuyên đề mở rộng.
• Sinh viên đại học năm cuối: Sinh viên ngành Vật lý học, Sư phạm Vật lý chất lượng cao hoặc các chương trình cử nhân tài năng có định hướng làm khóa luận tốt nghiệp về vật lý lý thuyết hoặc chuẩn bị thi tuyển sinh sau đại học.
• Yêu cầu tiên quyết (Prerequisites): Người học cần hoàn thành học phần Cơ học lượng tử cơ sở, đồng thời nắm vững kiến thức toán học chuyên ngành gồm: Đại số tuyến tính (không gian vectơ, toán tử tuyến tính, lý thuyết ma trận, trị riêng - vectơ riêng), Giải tích toán học và Phương trình đạo hàm riêng của Vật lý toán, Điện động lực học cổ điển.
• Giảng viên và cán bộ nghiên cứu: Tài liệu cung cấp khung chương trình chuẩn, hệ thống định lý và phương pháp suy dẫn toán tử phục vụ công tác giảng dạy sau đại học và tra cứu chuyên môn trong nghiên cứu vật lý lý thuyết.

---

Câu hỏi thường gặp

1. Giáo trình này phù hợp với đối tượng nào?

Giáo trình là tài liệu học tập bắt buộc cho học viên cao học chuyên ngành Phương pháp Giảng dạy Vật lý và Vật lý Lý thuyết – Vật lý Toán, đồng thời là tài liệu tham khảo nâng cao cho sinh viên đại học năm cuối ngành Vật lý.

2. Cần chuẩn bị những kiến thức nền tảng nào trước khi học?

Người học cần có kiến thức vững chắc về Cơ học lượng tử cơ sở, Đại số tuyến tính không gian Hilbert, lý thuyết toán tử, phương trình vi phân vật lý toán và các kiến thức cơ bản về điện động lực học.

3. Giáo trình này có điểm gì khác biệt so với giáo trình Cơ học lượng tử cơ sở?

Giáo trình tập trung sâu vào các kỹ thuật giải gần đúng phức tạp (nhiễu loạn suy biến, biến phân, Hartree-Fock), lý thuyết tán xạ lượng tử (biên độ, tiết diện, hàm Green, gần đúng Born), và mở rộng sang cơ học lượng tử tương đối tính (Klein-Gordon, Dirac, Pauli).

4. Phương pháp tự học giáo trình này như thế nào để đạt hiệu quả cao?

Học viên cần bám sát tiến trình suy dẫn toán tử của từng chương, tự giải lại các bước chứng minh toán học giải tích, hoàn thành hệ thống bài tập tính toán phần tử ma trận và tham gia đầy đủ 1/4 thời lượng xêmine (seminar) thảo luận chuyên đề.

5. Có những nội dung chuyên đề bổ trợ nào đi kèm trong giáo trình?

Chương trình có phần chuyên đề 15 tiết nâng cao dành riêng cho chuyên ngành Vật lý Lý thuyết – Vật lý Toán để nghiên cứu sâu về cấu trúc trạng thái nguyên tử, lý thuyết lượng tử bức xạ, hiệu ứng Zeeman dị thường, trạng thái năng lượng âm và tính bất biến của phương trình Dirac.

---

Kết luận

Giáo trình Cơ học lượng tử nâng cao xác lập một hệ thống tri thức hoàn chỉnh và chuẩn mực, kết nối chặt chẽ từ cơ sở toán học không gian Hilbert, các phương pháp xấp xỉ vi mô (nhiễu loạn, biến phân, Hartree-Fock), động lực học tán xạ cho đến các phương trình sóng tương đối tính Dirac và Klein-Gordon.

Lộ trình học tập đề xuất cho học viên là hoàn thành tuần tự 4 chương lý thuyết cốt lõi, kết hợp thực hiện đầy đủ 25% thời lượng giải bài tập/xêmine và nghiên cứu sâu 15 tiết chuyên đề chuyên ngành. Đây là nền tảng lý thuyết tiên quyết để học viên tiếp tục nghiên cứu các lĩnh vực Vật lý chất rắn, Vật lý thống kê và Lý thuyết trường lượng tử.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 Cơ sở của cơ học lượng tử 1.1 Cơ sở toán học của cơ học lượng tử 1.1 Toán tử: a) Định nghĩa: Toán tử là một phép toán tác dụng vào một hàm này thì biến đổi thành một hàm khác. Ta gọi  là một toán tử nếu Âψ(x) = φ(x).1) Ví dụ: Các toán tử : + Phép nhân với x2 Âψ(x) = x2 ψ(x), trong trường hợp này  phụ thuộc biến số x. + Phép lấy đạo hàm với biến số x: dψ(x) Âψ(x) = dx + Phép nhân với một số phức C: Âψ(x) = Cψ(x), ở đây,  không phụ thuộc vào biến x và phép lấy đạo hàm theo x. Đặc biệt nếu: C=0 : Âψ(x) = 0,  là toán tử không, C=1 : Âψ(x) = ψ(x),  là toán tử đơn vị.

+ Phép lấy liên hiệp phức: Âψ(x) = ψ ∗ (x). b) Toán tử tuyến tính: Toán tử Â được gọi là toán tử tuyến tính nếu nó thoả mãn tính chất sau: Â(c1 ψ1 + c2 ψ2 ) = c1 Âψ1 + c2 Âψ2 .2) Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 5 Trong hệ thức trên, ψ1 và ψ2 là hai hàm bất kỳ, c1 và c2 là hai hằng số bất kỳ. dx dx dx Còn toán tử lấy liên hiệp phức không phải là toán tử tuyến tính vì Â(c1 ψ1 + c2 ψ2 ) = (c1 ψ1 + c2 ψ2 )∗ = c∗1 ψ1∗ + c∗2 ψ2∗ = c∗1 Âψ1 + c∗2 Âψ2 6= c1 Âψ1 + c2 Âψ2 .2 Các phép tính trên toán tử Cho ba toán tử Â, B̂, Ĉ. ta định nghĩa các phép tính toán tử sau: a) Tổng hai toán tử: Ŝ được gọi là tổng của hai toán tử Â, B̂, ký hiệu là Ŝ ≡ Â + B̂ nếu ∀ψ(x), Ŝψ(x) = Âψ(x) + B̂ψ(x).3) b) Hiệu hai toán tử: D̂ được gọi là hiệu hai toán tử Â, B̂, ký hiệu D̂ ≡ Â − B̂ nếu ∀ψ(x), D̂ψ(x) = Âψ(x) − B̂ψ(x).4) c) Tích hai toán tử: P̂ ≡ ÂB̂ là tích của hai toán tử Â và B̂ nếu   P̂ ψ(x) = (ÂB̂)ψ(x) = Â B̂ψ(x) .5) Tích của hai toán tử nói chung là không giao hoán, nghĩa là ÂB̂ 6= B̂ Â.

Chẳng hạn, cho d  = , B̂ = x dx thì ta có d dψ(x) ÂB̂ψ(x) = (xψ(x)) = ψ(x) + x , dx dx còn dψ(x) dψ(x) B̂ Âψ(x) = x 6= ÂB̂ψ(x) = ψ(x) + x , dx dx rõ ràng B̂  6= ÂB̂, nên Â, B̂ không giao hoán nhau. Nếu  = x2 , B̂ = x thì ÂB̂ψ(x) = x3 ψ(x) = B̂ Âψ(x) hai toán tử Â, B̂ giao hoán nhau. d) Giao hoán tử của hai toán tử  và B̂ được định nghĩa là [Â, B̂] ≡ ÂB̂ − B̂ Â. Nếu  và B̂ giao hoán thì ÂB̂ = B̂ Â, do đó giao hoán tử của chúng bằng không, nghĩa là [Â, B̂] = 0.

Nếu hai toán tử không giao hoán thì [Â, B̂] = ÂB̂ − B̂  6= 0 hay [Â, B̂] 6= 0. Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 6 1.3 Hàm riêng, trị riêng và phương trình trị riêng của toán tử Xét một toán tử Â, khi cho  tác dụng lên một hàm ψ(x) nào đó, ta có thể thu được chính hàm đó nhân với một hằng số: Âψ(x) = aψ(x).6) là một phương trình, dạng của ψ(x) có thể thu được từ việc giải phương trình trên. Ta bảo ψ(x) là hàm riêng với trị riêng a của toán tử Â. Và việc giải phương trình (1.6) có thể cho ta biết các hàm riêng và trị riêng của toán tử Â.

Nếu có s hàm riêng có cùng một trị riêng a, thì ta bảo toán tử Â có trị riêng suy biến bậc s. Các trị riêng có thể biến thiên gián đoạn hoặc liên tục. Trong cơ học lượng tử, hàm riêng phải thoả mãn các điều kiện chuẩn sau: - Hàm ψ(x) phải tồn tại, xác định trên toàn miền biến thiên của các biến độc lập. - Trong miền tồn tại, hàm ψ(x) và đạo hàm bậc nhất của nó dψ(x)/dx phải hữu hạn, liên tục (trừ một số điểm đặc biệt).

- Hàm ψ(x) phải xác định đơn trị 1.4 Toán tử tự liên hợp tuyến tính (toán tử hermitic) Toán tử tuyến tính Â+ được gọi là toán tử liên hợp tuyến tính với toán tử tuyến tính  nếu: Z Z  ∗ ∗ + ∀ψ1 (x), ψ2 (x), ψ1 (x)Âψ2 (x)dx =  ψ1 (x) ψ2 (x)dx.7) V V Nếu Â+ =  thì ta bảo  là toán tử tự liên hợp tuyến tính, hay toán tử hermitic, nghĩa là: Z Z  ∗ ∗ ψ1 (x)Âψ2 (x)dx = Âψ1 (x) ψ2 (x)dx.8) V V Nếu ta đưa ra ký hiệu mới về tích vô hướng hai hàm sóng Z hψ1 (x)|ψ2 (x)i = ψ1∗ (x)ψ2 (x)dx, (1.8) được viết lại như sau: hψ1 (x)|Âψ2 (x)i = hÂψ1 (x)|ψ2 (x)i. Ví dụ 1:  = (d/dx) có phải là toán tử hermitic không? Muốn biết, ta tính Z +∞ Z +∞ ∗ dϕ ψ Âϕdx = ψ ∗ dx. −∞ −∞ dx Đặt u = ψ ∗ , dv = (dϕ/dx).dx, thì Z +∞ Z +∞ ∗ ∗ x=+∞ dψ ∗ ψ Âϕdx = ψ ϕ|x=−∞ − ϕ dx, −∞ −∞ dx Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 7 vì các hàm ψ(x), ϕ(x) → 0 khi x → ±∞ nên ψ ∗ ϕ|x=+∞ x=−∞ = 0, Z +∞ Z +∞ +∞  ∗ Z +∞  ∗ dψ ∗ Z ∗ dψ ψ Âϕdx = − ϕ dx 6= ϕ dx = Âψ ϕdx. −∞ −∞ dx −∞ dx −∞ Vậy  = (d/dx) không phải là toán tử hermitic.

Ví dụ 2:  = i(d/dx) có phải là toán tử hermitic không? Ta có: Z +∞ Z +∞ Z +∞  Z +∞  ∗ dψ ∗ dψ ∗  ∗ dψ ψ Âϕdx = −i ϕ dx = ϕ −i dx = ϕ i dx, −∞ −∞ dx −∞ dx −∞ dx Z +∞ Z +∞  ∗ ∗ ψ Âϕdx = Âψ ϕdx. −∞ −∞ Vậy  = i(d/dx) là toán tử hermitic.5 Các tính chất của toán tử hermitic a) Trị riêng của toán tử hermitic là số thực. Giả thiết toán tử hermitic  có trị riêng gián đoạn với phương trình trị riêng Âψn = an ψn. Ta có: hψn |Âψn i = hÂψn |ψn i vì  hermitic, nghĩa là: an hψn |ψn i = a∗ hψn |ψn i =⇒ (an − a∗n )hψn |ψn i = 0.

6 0 nên an = a∗n : an là số thực. Vì hψn |ψn i = b) Hàm riêng tương ứng với hai trị riêng phân biệt thì trực giao với nhau. Thực vậy, theo định nghĩa của toán tử hermitic thì: hψ1 |Âψ2 i = hÂψ1 |ψ2 i =⇒ a2 hψ1 |ψ2 i = a1 hψ1 |ψ2 i, =⇒ (a2 − a1 )hψ1 |ψ2 i = 0, vì a2 6= a1 nên (a2 − a1 ) 6= 0. Vậy: hψ1 |ψ2 i = 0 : ψ1 , ψ2 trực giao với nhau.

Tóm lại, nếu các hàm riêng của toán tử hermitic  được chuẩn hoá thì ta có: Phổ trị riêng gián đoạn : hψm |ψn i = δmn , (1.10) 0 Phổ trị riêng liên tục : hψa0 |ψa i = δ(a − a).11) 0 Trong đó, δmn , δ(a − a) là các hàm Dirac. c) Các hàm riêng của toán tử hermitic lập thành một hệ hàm cơ sở trực giao và đủ trong không gian Hilbert các hàm sóng, nghĩa là với một hàm sóng bất kỳ ψ(x) trong không gian Hilbert, ta có: X Đối với phổ trị riêng gián đoạn : ψ(x) = cn ψn (x).12) n Z Đối với phổ trị riêng liên tục : ψ(x) = ca ψa (x)da.13) a Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 8 1.2 Các tiên đề của cơ học lượng tử Trong cơ học lượng tử, hạt không được hình dung như là một chất điểm chuyển động theo một quỹ đạo xác định mà nó được hình dung như là một bó sóng định xứ trong một miền của không gian tại một thời điểm và bó sóng thay đổi theo thời gian. Tại một thời điểm ta chỉ có thể nói về xác suất để tìm thấy hạt trong một phần tử thể tích của không gian, hay nói khác đi là xác xuất để toạ độ của hạt có giá trị nằm trong khoảng nào đó. Nói chung về các biến số động lực khác cũng vậy, ta chỉ có thể nói về xác suất để một biến số động lực có giá trị nằm trong khoảng nào đó chứ không thể nói về giá trị xác định của biến số động lực tại một thời điểm như trong cơ học cổ điển.

Vì có sự khác biệt nói trên nên trong cơ học lượng tử biến số động lực không phải được mô tả bằng một số như trong cơ học cổ điển. Chúng ta phải tìm một cách mô tả khác thể hiện được những đặc tính của các quy luật lượng tử. Những nghiên cứu về toán tử cho thấy có thể dùng công cụ toán học này để mô tả biến số động lực trong cơ học lượng tử. Chúng ta thừa nhận một số giả thiết về nội dung cách mô tả như những tiên đề.

Những tiên đề ấy không có mâu thuẩn nhau và cho các kết quả phù hợp với thực nghiệm.1 Tiên đề 1: Trạng thái và thông tin " Trạng thái vật lý của một hệ lượng tử thì tương ứng với một hàm sóng chuẩn hoá. Hàm sóng được chuẩn hoá khi Z hψ(x, t)|ψ(x, t)i = ψ(x, t)∗ ψ(x, t)dx = 1.14) V Như vậy, ψ(x, t) và cψ(x, t) cùng chung một trạng thái nếu c∗ c = |c|2 = 1.2 Tiên đề 2: Các đại lượng động lực " Tương ứng với một đại lượng động lực A trong cơ học lượng tử là một toán tử hermitic Â." Vì giá trị bằng số của biến động lực là thực nên trị riêng của toán tử tương ứng với biến động lực đó phải thực, do đó toán tử tương ứng với biến động lực phải hermitic. Toán tử Â hermitic nên có một hệ đủ các vectơ riêng trực giao chuẩn hoá {ψi (x, t)} tương ứng với phổ các trị riêng thực {ai }, i = 1, 2,. Theo đó, một trạng thái bất kỳ của hệ lượng tử sẽ được khai triển theo các hàm riêng như sau: n X ψ(x, t) = ci ψi (x, t).3 Tiên đề 3: Phép đo các đại lượng động lực Nếu hệ lượng tử ở trạng thái biểu diễn bởi hàm sóng ψ(x) thì xác suất để khi Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 9 đo biến động lực A thu được giá trị ai sẽ là |ci |2 = pi.

Rõ ràng Xn Xn pi = |ci |2 = 1 (1.16) i=1 i=1 được suy từ tính chất trực giao, chuẩn hoá của các hàm riêng. Như vậy phép đo làm nhiễu loạn trạng thái.