Chương 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Mô hình và mô hình hóa 1. Mô hình và mô hình hóa Chương trình tổng thể Ban hành theo Thông tư 32/2018/TT- BGDĐT ngày 26/12/2018 của Bộ Giáo dục và đào tạo nêu rõ “Giáo dục toán học hình thành và phát triển cho HS những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học với các thành tố cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình học toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực giao tiếp toán học, năng lực sử dụng các công cụ và phương tiện học toán; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để HS được trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn, giáo dục toán học tạo dựng sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa toán học với các môn học khác và giữa toán học với đời sống thực tiễn’’.
[16] Toán học ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống, những kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển. Môn Toán ở trường phổ thông góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học cho HS; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để HS được trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn; tạo lập sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa Toán học với thực tiễn, giữa Toán học với các môn học và hoạt động giáo dục khác, đặc biệt với các môn Khoa học, Khoa học tự nhiên, Vật lí, Hoá học, Sinh học, Công nghệ, Tin học để thực hiện giáo dục STEM. Do đó, định hướng cho việc đổi mới PPDH ở nước ta hiện nay là PPDH cần tạo cơ hội cho người học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo. Việc đổi mới PPDH để phát triển năng lực MHH toán học cho HS chưa được chú trọng nhiều, do áp lực khối lượng kiến thức môn học quá nhiều, thời lượng ngắn nên việc rèn luyện kĩ năng để vận dụng kiến thức vào giải các bài 8 toán thực tiễn gặp khó khăn.
Các bài toán thực tiễn trong SGK không nhiều, rời rạc và ít đa dạng. Nội dung kiến thức trong bài học còn quá nhiều, không thích ứng với thời gian quy định của mỗi tiết học, cho nên khi gặp các bài toán thực tiễn GV chỉ giải thích cho xong mà không chú trọng khai thác nó một cách bài bản. Chính vì vậy trong đề tài này tôi đề cập đến PPDH toán bằng MHH. Một số quan điểm về mô hình và mô hình hóa Theo Jonathan Borwein, Keith Devlin (2009), [22, Tr347] thì diễn đạt mô hình là một hệ thống được hình dung trong óc hoặc được thực hiện bằng vật chất phản ánh hay tái tạo lại đối tượng nghiên cứu.
Còn theo Blum, Ferry (2009) trong [20, Tr45-58] thì mô hình là một “vật” hay “hệ thống” làm đại diện hoặc là vật thay thế cho “vật” hay “ hệ thống vật” mà ta quan tâm. Mô hình được mô tả như một vật được thay thế mà qua đó ta có thể thấy được các đặc điểm đặc trưng của vật thể thực tế. Thông qua mô hình ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không cần đến vật thật. Tuy nhiên điều này còn phụ thuộc vào ý đồ của người thiết kế mô hình và bối cảnh áp dụng của mô hình đó.
Mô hình sử dụng trong dạy toán là một mô hình trừu tượng sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả về một hệ thống nào đó. Nó có thể hiểu là các hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, hệ phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hay thậm chí cả các mô hình ảo trên máy vi tính [10,tr15] Như vậy có thể hiểu mô hình phải bảo toàn được các mối quan hệ cơ bản của vật gốc (chọn tính chất nào là cơ bản là do con người), mô hình là sản phẩm của quá trình trừu tượng hóa những đối tượng cụ thể nên mang tính khái quát, lí tưởng (thậm chí có cả những yếu tố chưa hề có trong thực tiễn); Mô hình chỉ phản ánh đến một mức độ nào đó, một số mặt nào đó của vật gốc nên không thể thay thế hoàn toàn vật gốc. 9 Mô hình hóa (MHH) được hiểu là hoạt động tạo ra “mô hình” để tiện cho việc nghiên cứu một đối tượng nào đó. Đối với mô hình toán học thì đó là việc chuyển từ sự vật, hiện tượng ở tình huống thực tế thành dạng mô hình toán học, diễn đạt thông qua ngôn ngữ, ký hiệu trừu tượng của toán học.
[12] Ví dụ: việc phân tích phổ điểm thi các môn thi Kỳ thi tốt nghiệp THPT trong năm 2020 người ta quan tâm đến số lượng các điểm số, điểm trung bình, điểm trung vị, số lượng thí sinh có điểm nhỏ hơn hoặc bằng 1, số HS có điểm nhỏ hơn 5, số lượng thí sinh đỗ tốt nghiệp, …. Điều đó được toán học phản ánh thông qua mô hình dãy số liệu, bảng thống kê, biểu đồ, đồ thị, các tham số thống kê như “trung bình cộng”, “số trung vị”, “tần số”, “tần suất”,. hay có những bài toán về chuyển động, bài toán tăng năng suất trong sản xuất, kinh doanh, bài toán lãi suất … được toán học MHH thông qua các đồ thị, công thức, phương trình … Trong toán học, một mô hình toán học (hiểu theo nghĩa rộng) là mô hình trừu tượng ở đó người ta sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả một hệ thống nào đó trong hiện thực khách quan (tham khảo [9]). Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: mô hình toán học khác các mô hình trong các khoa học khác ở chỗ nó bỏ qua các thuộc tính về “chất” mà chỉ cần một ngôn ngữ nào đó chính xác để diễn tả đúng những quan hệ số lượng cơ bản, từ đó có thể suy ra quan hệ số lượng khác (dẫn theo Nguyễn Danh Nam [9]).
Mô hình toán học (nghĩa rộng) được sử dụng nhiều trong các ngành khoa học tự nhiên và chuyên ngành kĩ thuật (như Vật lý, Sinh học, Kĩ thuật điện tử, .) đồng thời trong cả khoa học xã hội (như Kinh tế học, Xã hội học, Khoa học chính trị,. Tiếp cận mô hình theo nghĩa hẹp, Berinderjeet Kaur (2010) trong [18, tr.56] cho rằng: Mô hình toán học còn có thể là các hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, hệ phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng,. Xét trong phạm vi dạy học môn Toán đôi khi được GV dùng theo nghĩa hẹp: chỉ đơn giản là một mô hình vật chất dưới dạng đồ dùng DH Toán cụ thể 10 hoặc phần mềm toán học (trừu tượng) để phản ánh những đối tượng toán học cụ thể như mặt phẳng, đường thẳng, đồ thị hàm số, khối đa diện,. Khi đó, cái cụ thể thể hiện ở mô hình này sẽ phản ánh một phần những yếu tố của loại mô hình toán học trừu tượng, tổng quát kể trên.
Để phân biệt với đồ dùng DH (trong đó có cả mô hình thu gọn, .) ở môn học khác, GV cũng cần chú ý rằng: Trong toán học, với đặc thù trừu tượng cao độ của khoa học này, cho dù có ở dạng đồ vật cụ thể, sử dụng ngôn ngữ toán học hay là mô hình ảo trên máy vi tính. để mô tả về đối tượng toán học thì mô hình thực chất cũng chỉ mang tính tượng trưng. Bởi lẽ, mọi đối tượng trong toán học mà mô hình phản ánh cũng đã là trừu tượng hoàn toàn, kể cả con số, hình, đồ thị,. đều không phải là những đối tượng có thật trong thực tế; trong khi ở Vật lý, Hóa học, Sinh học,.
thì mô hình (kể cả thu gọn) hầu hết lại phản ánh sự vật, hiện tượng có thật trong cuộc sống. Mô hình hóa trong toán học Theo Nguyễn Thị Nga (2011) [1], MHH toán học là thuật ngữ được sử dụng để chỉ hoạt động quan trọng trong quá trình giải quyết những vấn đề thực tế bằng công cụ toán học. Trong dạy học toán, theo Trần Vui [17] , MHH thường được sử dụng theo hai mục đích: - MHH để học toán: MHH là một phương tiện hỗ trợ việc học các khái niệm và quá trình học toán của HS, chẳng hạn như tạo động cơ giúp hình thành và hiểu một khái niệm hoặc minh họa các nội dung toán học trừu tượng, phức tạp. - Học toán để MHH: MHH là một mục đích của việc học toán, nhằm trang bị cho HS các năng lực để có thể sử dụng toán trong nhiều ngữ cảnh và tình huống bên ngoài lớp học.
Khi tiếp cận một vấn đề thực tiễn có liên quan đến toán học, HS gặp khó khăn không chỉ ở việc giải một bài toán cụ thể mà còn ở giai đoạn chuyển tình huống thực tế cần giải quyết vào toán học. Việc chuyển tình huống thực tế vào 11 toán học gây rất nhiều trở ngại cho các em HS bởi vì để giải quyết vấn đề đó các em phải lựa chọn và sử dụng những kiến thức tổng hợp trong toán học và cả ở những môn khoa học khác có liên quan. MHH trong dạy học toán là quá trình giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học. Quá trình này đòi hỏi HS cần có các kĩ năng và thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa.
Ở trường phổ thông, MHH diễn tả mối quan hệ giữa các hiện tượng trong tự nhiên và xã hội với nội dung kiến thức toán học trong SGK thông qua ngôn ngữ toán học như kí hiệu, đồ thị, sơ đồ, công thức, phương trình. Từ đó có thể thấy hoạt động MHH giúp HS phát triển sự thông hiểu các khái niệm, hệ thống hóa các khái niệm, ý tưởng toán học và nắm được cách thức xây dựng mối quan hệ giữa các ý tưởng đó. Cách tiếp cận này giúp việc học toán của HS trở nên có ý nghĩa hơn, tạo động cơ và niềm say mê học toán [11]. Từ những công trình nghiên cứu có liên quan, trong luận văn này tiếp cận MHH toán học là hoạt động của GV và HS cần thiết để hỗ trợ quá trình học chủ đề hàm số mũ, hàm số logarit ở trường phổ thông.
Năng lực mô hình hóa trong toán học Có nhiều định nghĩa khác nhau về năng lực MHH và nó gồm nhiều kĩ năng thành phần.