Chương 1, chúng ta ñã phát biểu rằng các nhà thống kê học quan tâm ñến việc tạo ra những suy luận về những tổng thể của các ñại lượng dựa trên thông tin chứa ñựng trong các mẫu. Chúng tôi ñã chứng tỏ cho các bạn thấy cách thức ñể thực hiện một suy luận - nghĩa là, cách thức mô tả một tập hợp các ñại lượng - Chương 2. Trong Chương 3, chúng ta ñã thảo luận về xác suất và cơ chế ñể tạo ra những suy luận, và chúng ta ñã tiếp theo việc này với một thảo luận chung về những phân phối xác suất - các phân phối xác suất rời rạc trong Chương 4 và những phân phối xác suất liên tục trong Chương 5. Trong Chương 6, chúng ta ñã lưu ý rằng các trị thống kê, những con số ñịnh lượng ñược tính từ các ñại lượng mẫu, ñược sử dụng ñể tạo ra những suy luận về các tham số tổng thể, và chúng ta ñã tìm ra một cách sử dụng quan trọng của phân phối xác suất trong Chương 5.
ðặc biệt là, các bạn ñã biết rằng một số các trị thống kê quan trọng - trung bình và tỷ lệ mẫu - có những phân phối xác suất mà có thể ñược ước lượng xấp xỉ bởi một phân phối chuẩn khi các cỡ mẫu là lớn, nhờ vào ðịnh lý Giới hạn Trung tâm. Những trị thống kê này bây giờ sẽ ñược sử dụng ñể tạo ra các suy luận về những tham số tổng thể, và các phân phối xác suất của chúng sẽ cung cấp một phương tiện ñể ñánh giá ñộ tin cậy của những suy luận này. + Tác quyền © 1985 của Viện Kiểm Toán Viên Hoa Kỳ. William Mendenhall và cộng sự 2 Biên dịch: Hải ðăng Hiệu ñính:: Cao Hào Thi Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phương pháp ñịnh lượng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed.
Bài ñọc Ch. 7: Ước lượng các số trung bình và tỉ lệ 7.2 CÁC LOẠI ƯỚC LƯỢNG Các qui trình ước lượng có thể ñược chia thành hai loại, ước lượng ñiểm và ước lượng khoảng. Giả sử rằng một ñại lý xe Oldsmobile muốn ước lượng lợi nhuận trung bình của mỗi thương vụ bán một chiếc xe mới. Sự ước lượng này có thể có kết quả là một con số duy nhất, ví dụ như là $935, hoặc chúng ta có thể ước lượng rằng lợi nhuận trung bình một thương vụ bán hàng sẽ rơi vào khoảng từ $835 ñến $1035.
Loại hình ước lượng thứ nhất này ñược gọi là ước lượng ñiểm bởi vì con số duy nhất này ñại diện cho số ước lượng mà có thể ñi cùng với một ñiểm trên một ñường thẳng. Loại hình thứ hai, có liên quan ñến hai ñiểm và xác ñịnh một khoảng trên một ñường thẳng, ñược gọi là ước lượng khoảng. Chúng ta sẽ nghiên cứu từng phương pháp ước lượng này. Nhằm xây dựng hoặc một sự ước lượng ñiểm hay một sự ước lượng khoảng, chúng ta sử dụng thông tin từ mẫu dưới hình thức của một số ước lượng.
Các số ước lượng là những hàm số của các quan sát mẫu và vì thế, theo ñịnh nghĩa, cũng là những trị thống kê. ðỊNH NGHĨA Một ước lượng là một qui luật mà cho chúng ta biết về cách thức tính toán một sự ước lượng dựa trên thông tin trong một mẫu và thường ñược thể hiện như là một công thức. Ví dụ, số trung bình mẫu n ∑x i x = i =1 n là một ước lượng của số trung bình tổng thể µ và giải thích chính xác cách thức mà giá trị bằng số thực sự của sự ước lượng này có thể ñạt ñược một khi các giá trị mẫu x1., xn ñược biết. Số trung bình mẫu này có thể ñược sử dụng ñể ñi ñến một con số duy nhất nhằm ước lượng µ hay xây dựng một khoảng, hai ñiểm mà ñược dự ñịnh dùng ñể bao quanh giá trị ñúng của µ.
ðỊNH NGHĨA Một ước lượng ñiểm của một tham số tổng thể là một qui luật mà cho chúng ta biết về cách thức tính toán một con số duy nhất dựa trên dữ liệu mẫu. Con số tạo ra ñược gọi là một ước lượng ñiểm. ðỊNH NGHĨA Một ước lượng khoảng của một tham số tổng thể là một qui luật mà cho chúng ta biết về cách thức tính toán hai con số dựa trên dữ liệu mẫu. Cặp số này ñược gọi là một ước lượng khoảng hay khoảng tin cậy.
Cả hai qui trình ước lượng ñiểm và khoảng ñược phát triển bằng cách sử dụng phân phối mẫu của số ước lượng tốt nhất của một tham số tổng thể ñã ñược xác ñịnh. Ngoài ra, nhiều trị thống kê khác có thể ñược xây dựng ñể ước lượng cùng tham số này. Ví dụ, nếu chúng ta lấy mẫu n = 5 ñại lượng, 2, 7, 0, 1, và 4, từ một tổng thể ñối xứng, thì chúng ta có thể ước lượng số trung bình tổng thể này bằng cách sử dụng số trung bình mẫu. 8 n 5 bằng cách sử dụng số trung vị mẫu m = 2, hay thậm chí bằng cách sử dụng số bình quân của các ñại lượng lớn nhất và nhỏ nhất trong mẫu, (0 + 7)/2 = 3.
Bằng cách nào mà chúng ta có William Mendenhall và cộng sự 3 Biên dịch: Hải ðăng Hiệu ñính:: Cao Hào Thi Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phương pháp ñịnh lượng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài ñọc Ch. 7: Ước lượng các số trung bình và tỉ lệ thể ñánh giá những ñặc trưng của các số ước lượng này, so sánh số này với số khác, và cuối cùng quyết ñịnh số nào là “tốt nhất”? Mức ñộ tốt của một số ước lượng ñược ñánh giá bằng cách quan sát hành vi của nó trong sự chọn mẫu lặp lại. Chúng ta hãy xem xét sự giống nhau sau ñây.
Trên nhiều khía cạnh, thì sự ước lượng ñiểm là tương tự với việc bắn một khẩu súng ngắn ổ quay vào một mục tiêu. Số ước lượng, mà tạo ra những sự ước lượng, là tương tự với khẩu súng ngắn ổ quay; một sự ước lượng cụ thể là giống với viên ñạn; và tham số quan tâm là tương tự như ñiểm ñen. Chọn ra một mẫu từ một tổng thể và ước tính giá trị của tham số ñó là tương tự với việc bắn một phát súng duy nhất vào mục tiêu. Giả sử rằng một người ñàn ông bắn một phát súng duy nhất vào một mục tiêu và phát súng ñó ñã trúng ngay ñiểm ñen.
Trong khi ñây là một kỳ tích ñáng ngưỡng mộ, thì liệu chúng ta có thể kết luận rằng ông ta là một xạ thủ cừ khôi? Câu trả lời là không - không một ai trong số chúng ta ắt sẽ bằng lòng giữ mục tiêu ñó trong khi phát súng thứ hai ñược bắn ñi. ðến khi nào mà sự chính xác của ông ta ñã ñược quan sát thấy trong những lần bắn ñược lặp ñi lặp lại, với tất cả phát súng ñều trúng vào gần ñiểm ñen, thì chúng ta ắt mới có thể tuyên bố rằng ông ta là một tay súng giỏi. Giả sử rằng chúng ta xem xét một số ước lượng của một tham số tổng thể ví dụ như µ, σ, hay p. Một số ñặc trưng ñáng mong muốn của một số ước lượng là gì? Về cơ bản, có hai ñặc trưng, và chúng có thể ñược thấy bằng cách quan sát những phân phối mẫu ñược cho trong các Hình 7.
Thứ nhất, chúng ta ắt sẽ muốn sự phân phối mẫu này ñược tập trung ở trung tâm qua giá trị thật của tham số này. Như thế, chúng ta ắt sẽ muốn số trung bình của phân phối mẫu này bằng với giá trị ñúng của tham số ñó. Một số ước lượng như thế ñược gọi là không bị lệch.1 Những phân phối cho các ước lượng bị lệch và không bị lệch Số ước lượng không bị lệch Số ước lượng bị lệch Giá trị ñúng tế của tham số William Mendenhall và cộng sự 4 Biên dịch: Hải ðăng Hiệu ñính:: Cao Hào Thi Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phương pháp ñịnh lượng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài ñọc Ch.
7: Ước lượng các số trung bình và tỉ lệ HÌNH 7.2 So sánh sự biến ñổi của ước lượng Ước lượng với phương sai nhỏ hơn Ước lượng với phương sai lớn hơn Giá trị ñúng của tham số ðỊNH NGHĨA Một ước lượng của một tham số ñược cho là không bị lệch nếu số trung bình của phân phối của ước lượng này là bằng với giá trị ñúng của tham số ñó. Nếu không thì ước lượng ñó ñược cho là bị lệch. Các phân phối mẫu cho một số ước lượng không bị lệch và một số ước lượng bị lệch ñược trình bày trong Hình 7. Phân phối mẫu cho ước lượng bị lệch trong Hình 7.1 bị dịch chuyển sang phía bên phải của giá trị ñúng của tham số.
Ước lượng bị lệch này có khả năng xảy ra nhiều hơn là ước lượng không bị lệch trong việc ước tính quá mức giá trị của tham số. ðặc trưng thứ hai ñáng mong ước của một ước lượng là rằng khoảng rộng (ñược ño bằng phương sai) của phân phối mẫu phải càng nhỏ càng tốt. ðiều này ñảm bảo rằng, với một xác suất cao, một sự ước lượng riêng lẻ sẽ rơi gần vào giá trị ñúng của tham số. Các phân phối mẫu cho hai ước lượng không bị lệch, một với phương sai nhỏ+ và ước lượng kia với một phương sai lớn hơn, ñược trình bày trong Hình 7.
ðương nhiên là chúng ta ắt sẽ thích ước lượng với phương sai nhỏ hơn bởi vì những sự ước lượng có xu hướng nằm gần với giá trị ñúng của tham số hơn là với phương sai lớn hơn. Trong những tình trạng chọn mẫu trong cuộc sống thật, bạn có thể biết rằng phân phối mẫu của một ước lượng ñiểm tập trung quanh tham số mà bạn ñang cố gắng ước lượng, nhưng tất cả những thứ mà bạn có là ước lượng ñược tính từ n ñại lượng ñược chứa trong mẫu. Sự ước lượng của bạn sẽ nằm cách giá trị ñúng của tham số này xa chừng nào? Khoảng cách giữa con số ước lượng và giá trị ñúng của tham số ñược gọi là sai số ước lượng và cung cấp một ñại lượng về mức ñộ tốt của ước lượng ñiểm. ðỊNH NGHĨA Khoảng cách giữa một con số ước lượng và tham số ñược ước lượng ñược gọi là sai số ước lượng.
+ Các nhà thống kê thường sử dụng thuật ngữ phương sai của một số ước lượng khi thực tế họ ám chỉ phương sai của phân phối mẫu của số ước lượng ñó. Thành ngữ rút gọn này ñược sử dụng hầu như phổ biến.