Luận án tính ổn định của hệ phương trình vi phân cấp phân số - Trần Ngọc Tuấn ĐHKH Thái Nguyên

Luận án nghiên cứu tính ổn định trong thời gian hữu hạn của các hệ phương trình vi phân cấp phân số và ứng dụng giải quyết các bài toán liên quan.

• Tác giả: Trần Ngọc Tuấn
• Người hướng dẫn: PGS. Mai Viết Thuận
• Trường học: Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Toán ứng dụng
• Đề tài: Tính ổn định trong thời gian hữu hạn của một số lớp hệ phương trình vi phân cấp phân số và một số bài toán liên quan
• Loại tài liệu: Luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2026
• Địa điểm: Thái Nguyên

Tóm tắt

I. Tổng quan về tính ổn định của hệ vi phân cấp phân số hiện nay

Lý thuyết vi phân cấp phân số là bước phát triển quan trọng của toán học hiện đại. Toán học cổ điển tập trung vào đạo hàm bậc nguyên. Ngược lại, giải tích phân số mở rộng bậc đạo hàm sang số thực hoặc số phức. Các mô hình này thể hiện hiệu quả đặc tính nhớ lâu dài của vật liệu. Nhiều quá trình tự nhiên có tính chất phụ thuộc lịch sử biến thiên. Phương trình vi phân cấp nguyên thường bỏ qua yếu tố lịch sử này. Vì vậy, hệ vi phân cấp phân số mang lại độ chính xác cao hơn hẳn. Khái niệm tính ổn định đóng vai trò hạt nhân trong lý thuyết điều khiển. Một hệ thống vận hành an toàn khi trạng thái luôn được kiểm soát. Ổn định tiệm cận khảo sát hành vi tại vô hạn. Tuy nhiên, kỹ thuật công nghiệp đòi hỏi hệ đạt mục tiêu trong chu kỳ định trước. Khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn giải quyết bài toán cấp bách này. Nhà nghiên cứu thiết lập ngưỡng biên độ và khoảng thời gian làm việc cụ thể. Hệ thống giữ vững trạng thái không vượt quá giới hạn an toàn. Đề tài luận án tiến sĩ tại Đại học Khoa học Thái Nguyên tập trung làm rõ cấu trúc này. Công trình cung cấp nền tảng toán học chuẩn xác cho việc thiết kế điều khiển hệ thống thực tế.

1.1. Khái niệm và công cụ giải tích cấp phân số

Giải tích phân số sử dụng các hàm đặc biệt để biểu diễn đạo hàm và tích phân. Hàm Gamma đóng vai trò mở rộng hàm giai thừa trên tập số thực. Hàm Mittag-Leffler thay thế cho hàm mũ thông thường trong phương trình vi phân cấp nguyên. Đạo hàm Riemann-Liouville và đạo hàm Caputo là hai dạng toán tử phổ biến nhất. Đạo hàm Caputo mang nhiều ưu điểm vượt trội trong ứng dụng kỹ thuật thực tế. Dạng đạo hàm này cho phép sử dụng các điều kiện ban đầu có ý nghĩa vật lý rõ ràng. Phép biến đổi Laplace cũng hỗ trợ đắc lực việc giải phương trình. Nghiên cứu hệ động lực đòi hỏi hiểu biết sâu sắc về các công cụ giải tích nền tảng này.

1.2. Đóng góp từ Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên

Trường Đại học Khoa học thuộc Đại học Thái Nguyên là cái nôi nghiên cứu toán học ứng dụng uy tín. Đề tài luận án tiến sĩ của nghiên cứu sinh Trần Ngọc Tuấn là minh chứng tiêu biểu. Công trình nhận được sự hướng dẫn của Phó giáo sư Mai Viết Thuận và Phó giáo sư Nguyễn Trường Thanh. Nhóm nghiên cứu tập trung giải quyết bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn. Trọng tâm nghiên cứu là hệ phương trình vi phân cấp phân số chứa trễ thời gian và nhiễu ngoài. Luận án mở ra nhiều kết quả học thuật mới mẻ cho chuyên ngành toán giải tích. Các công trình công bố khẳng định vị thế khoa học của cơ sở đào tạo.

II. Thách thức phân tích tính ổn định của hệ vi phân cấp phân số

Phân tích tính ổn định của hệ vi phân cấp phân số đối mặt nhiều rào cản toán học phức tạp. Hệ thống thực tế luôn tồn tại các yếu tố bất định và độ trễ tín hiệu. Độ trễ xuất hiện trong quá trình truyền dữ liệu cảm biến hoặc phản hồi cơ cấu chấp hành. Yếu tố này dễ gây ra hiện tượng dao động mất ổn định và suy giảm chất lượng vận hành. Thêm vào đó, tác động của nhiễu ngoại cảnh làm trầm trọng hóa sai lệch quỹ đạo trạng thái. Đặc tính phi cục bộ của toán tử phân số khiến việc khảo sát trở nên khó khăn. Đạo hàm phân số lưu giữ toàn bộ dữ liệu lịch sử từ thời điểm ban đầu. Tính chất nhớ làm tăng khối lượng tính toán theo thời gian mô phỏng. Sự kết hợp giữa bậc phân số, độ trễ biến thiên và nhiễu ngẫu nhiên tạo ra các phương trình vi tích phân phức tạp. Các phương pháp Lyapunov truyền thống của hệ cấp nguyên không thể áp dụng trực tiếp. Việc tìm kiếm đạo hàm của phiếm hàm Lyapunov chứa toán tử phân số thường dẫn đến các bất đẳng thức khó đánh giá. Sự thiếu hụt các tiêu chuẩn nghiệm giải tích buộc các nhà toán học phải xây dựng phương pháp tiếp cận mới.

2.1. Ảnh hưởng của độ trễ và nhiễu ngoại vi

Độ trễ thời gian xuất hiện phổ biến trong các hệ thống vật lý thực. Trễ tín hiệu khiến thông tin phản hồi phản ánh trạng thái quá khứ thay vì hiện tại. Sự sai lệch thời gian gây suy giảm độ ổn định và giảm chất lượng điều khiển. Ngoài ra, các hệ thống luôn chịu tác động từ nhiễu ngoại vi không thể đoán trước. Nhiễu bên ngoài có thể làm sai lệch hoàn toàn quỹ đạo chuyển động. Khi kết hợp với trễ, hệ dễ rơi vào tình trạng hỗn loạn hoặc mất kiểm soát. Việc thiết lập điều kiện ổn định bền vững đòi hỏi phải chặn trên được năng lượng nhiễu. Đây là bài toán khó đòi hỏi công cụ toán học chặt chẽ.

2.2. Hạn chế của lý thuyết ổn định tiệm cận

Lý thuyết ổn định tiệm cận của Lyapunov nghiên cứu hành vi nghiệm khi thời gian tiến đến vô cùng. Phương pháp này chỉ bảo đảm quỹ đạo hội tụ về điểm cân bằng trong thời gian dài. Trong các ứng dụng thực tế, thời gian vận hành luôn có giới hạn nghiêm ngặt. Tên lửa hoặc robot cần hoàn thành nhiệm vụ trong khoảng thời gian xác định trước. Một hệ thống ổn định tiệm cận vẫn có thể dao động vượt ngưỡng an toàn trong khoảng thời gian ban đầu. Điều đó tiềm ẩn nguy cơ phá hủy thiết bị phần cứng. Do đó, lý thuyết ổn định trong thời gian hữu hạn ra đời để khắc phục triệt để nhược điểm này.

III. Giải pháp đánh giá tính ổn định của hệ vi phân cấp phân số mới

Công trình tại Đại học Khoa học Thái Nguyên đề xuất các giải pháp toán học đột phá. Nhóm tác giả kết hợp khéo léo phương pháp hàm Lyapunov cải tiến với phép biến đổi Laplace. Hàm Mittag-Leffler được vận dụng triệt để nhằm tìm chặn trên của quỹ đạo nghiệm. Kỹ thuật này giúp giải quyết trọn vẹn đặc tính nhớ phức tạp của đạo hàm phân số. Nhờ vậy, quá trình đánh giá tính ổn định trong thời gian hữu hạn trở nên khả thi và chính xác hơn. Nghiên cứu chuyển hóa thành công các điều kiện ổn định phi tuyến thành bất đẳng thức ma trận tuyến tính LMI. Kỹ thuật LMI là công cụ tính toán hiện đại và mạnh mẽ bậc nhất hiện nay. Các điều kiện LMI cho phép kiểm tra tính ổn định bằng phần mềm máy tính thông qua hộp công cụ LMI Control Toolbox. Bên cạnh đó, luận án xây dựng luật điều khiển phản hồi trạng thái nhằm ổn định hóa hệ thống. Bộ điều khiển bảo đảm chi phí tối ưu hóa hiệu năng và giảm thiểu năng lượng tiêu hao. Thuật toán chứng minh tính bị chặn vững đối với sai số mô hình và nhiễu ngoài. Toàn bộ chu trình toán học đều có lập luận chặt chẽ và nhất quán.

3.1. Phương pháp hàm Lyapunov và biến đổi Laplace

Phương pháp hàm Lyapunov là trụ cột trong chứng minh tính ổn định động lực học. Tác giả xây dựng hàm Lyapunov dạng toàn phương thích hợp cho hệ cấp phân số. Đạo hàm cấp phân số của hàm Lyapunov được ước lượng thông qua các bổ đề giải tích quan trọng. Phép biến đổi Laplace và biến đổi Laplace ngược tiếp tục được áp dụng linh hoạt. Công cụ này giúp tìm nghiệm tường minh dưới dạng chuỗi hàm Mittag-Leffler. Quỹ đạo trạng thái được chặn trên bởi các hàm mũ và hàm suy rộng. Nhờ vậy, điều kiện ổn định trong thời gian hữu hạn được thiết lập rõ ràng mà không làm mất tính tổng quát.

3.2. Tiêu chuẩn bất đẳng thức ma trận tuyến tính LMI

Bất đẳng thức ma trận tuyến tính LMI đóng vai trò cầu nối giữa lý thuyết toán học và ứng dụng máy tính. Việc giải các bất đẳng thức phi tuyến vi phân thường vô cùng khó khăn. Phương pháp LMI chuyển hóa bài toán điều khiển thành bài toán tối ưu lồi khả thi. Các kỹ sư có thể giải quyết nhanh chóng bằng máy tính cấu hình tiêu chuẩn. Thuật toán kiểm tra trực tiếp sự tồn tại của ma trận đối xứng xác định dương. Nếu hệ LMI có nghiệm chấp nhận được, hệ vi phân sẽ bảo đảm tính ổn định bền vững. Kỹ thuật này giảm thiểu thời gian tính toán và loại bỏ thao tác thử sai thủ công.

IV. Ứng dụng thực tiễn và tính ổn định của hệ vi phân cấp phân số

Nghiên cứu về tính ổn định của hệ vi phân cấp phân số mang lại giá trị ứng dụng to lớn. Kết quả từ luận án tiến sĩ tại Đại học Khoa học Thái Nguyên mở ra nhiều hướng tiếp cận công nghệ mới. Các mô hình toán học giải quyết triệt để vấn đề điều khiển trong mạch điện tử siêu tụ điện, mạng nơ-ron nhân tạo và hệ thống rô-bốt sinh học. Siêu tụ điện sở hữu bản chất phân số do quá trình khuếch tán điện tích phức tạp. Ứng dụng lý thuyết ổn định giúp mạch tích điện hoạt động bền bỉ và không bị quá tải. Bên cạnh đó, các thuật toán kiểm soát trễ hỗ trợ đắc lực ngành điều khiển tự động hóa. Hệ thống xe tự hành và thiết bị bay không người lái luôn cần đáp ứng nhanh trong chu kỳ ngắn. Tiêu chuẩn ổn định trong thời gian hữu hạn giúp phương tiện di chuyển chính xác và chống rung lắc hiệu quả. Sự kết hợp giữa lý thuyết toán giải tích và kỹ thuật tính toán hiện đại tạo nên giải pháp công nghệ toàn diện. Thành công này khẳng định vị thế tiên phong của các nhà khoa học Đại học Khoa học Thái Nguyên. Các kết quả nghiên cứu hứa hẹn thúc đẩy sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kỹ thuật trong tương lai.

4.1. Ứng dụng trong kỹ thuật điều khiển tự động

Kỹ thuật điều khiển hiện đại đòi hỏi tính chính xác và an toàn tuyệt đối. Các thiết bị cơ điện tử, cánh tay rô-bốt công nghiệp và hệ thống truyền dẫn tín hiệu luôn có độ trễ vật lý. Việc tích hợp mô hình vi phân cấp phân số giúp mô phỏng chân thực động học của vật thể chuyển động. Bộ điều khiển phân số hạn chế tối đa sai số xác lập và hiện tượng vọt lố biên độ. Thời gian đáp ứng của hệ thống được rút ngắn đáng kể. Tiêu chuẩn ổn định trong thời gian hữu hạn bảo đảm máy móc không bị rung lắc nguy hiểm. Kỹ thuật này nâng cao tuổi thọ linh kiện và tối ưu hiệu suất công nghiệp.

4.2. Triển vọng nghiên cứu liên ngành trong tương lai

Nghiên cứu mở ra triển vọng kết nối rộng rãi giữa toán học thuần túy và khoa học ứng dụng. Các nhà khoa học có thể tích hợp lý thuyết phân số vào trí tuệ nhân tạo. Mô hình mạng nơ-ron cấp phân số xử lý dữ liệu chuỗi thời gian vượt trội hơn mạng truyền thống. Trong lĩnh vực sinh học, mô hình vi phân phân số giải thích cơ chế dẫn truyền thần kinh và lan truyền dịch bệnh. Cơ sở lý thuyết vững chắc từ Đại học Khoa học Thái Nguyên cung cấp bộ công cụ đắc lực cho các chuyên ngành khác. Những khám phá này sẽ tiếp tục phát triển và mang lại nhiều sáng chế giá trị.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Mở đầu 1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài Giải tích cấp phân số là một nhánh của toán học nghiên cứu đạo hàm và tích phân có bậc không nguyên. Khái niệm đạo hàm bậc không nguyên xuất hiện từ cuối thế kỷ XVII, khi G. de l’Hôpital nêu ra một vấn đề liên quan đến ký dn y hiệu n với trường hợp n = 12 trong thư gửi G.

Từ dx đó, nhiều nhà toán học như L. Hadamard đã góp phần xây dựng các định nghĩa và tính chất cơ bản của giải tích cấp phân số. Các kết quả nền tảng này có thể được tìm thấy trong tài liệu [50]. Có nhiều định nghĩa khác nhau của đạo hàm cấp phân số, trong đó phổ biến nhất là đạo hàm cấp phân số Riemann–Liouville và đạo hàm cấp phân số Caputo.

Các định nghĩa này đều trùng với đạo hàm cấp số nguyên khi cấp α là số nguyên, đồng thời cho phép mở rộng khái niệm đạo hàm sang trường hợp cấp không nguyên một cách tự nhiên và chặt chẽ. Trong đó, đạo hàm Caputo được sử dụng rộng rãi hơn trong mô hình hóa và lý thuyết điều khiển, do cho phép thiết lập các điều kiện ban đầu dưới dạng tương tự như đối với phương trình vi phân cấp số nguyên. Điều này tạo thuận lợi cho việc diễn giải ý nghĩa vật lý của bài toán cũng như trong quá trình phân tích và mô phỏng hệ thống. Chỉ trong vài thập kỷ gần đây, cùng với sự phát triển của khoa học và kỹ thuật hiện đại, các toán tử đạo hàm và tích phân cấp phân số đã được chứng minh là đặc biệt hiệu quả trong việc mô tả hành vi của nhiều loại vật liệu và quá trình thực tế, chẳng hạn như polyme và các môi trường có cấu trúc phức tạp.

Nhiều kết quả thực nghiệm và lý thuyết cho thấy rằng các mô hình cấp 1 phân số phản ánh động lực của hệ chính xác hơn so với các mô hình cấp số nguyên cổ điển. Cơ sở vật lý của việc sử dụng các mô hình dựa trên đạo hàm cấp phân số đã được trình bày và phân tích chi tiết trong tài liệu [7]. Mặc dù đạo hàm cấp phân số Caputo mô tả hiệu quả tính phụ thuộc vào lịch sử trạng thái của hệ, đạo hàm này chưa phản ánh đầy đủ các hiện tượng suy giảm nhanh thường xuất hiện trong nhiều mô hình vật lý và kỹ thuật hiện đại. Để khắc phục hạn chế đó, đạo hàm cấp phân số Caputo với nhân suy giảm (tempered Caputo fractional-order derivative) được xây dựng bằng cách đưa thêm nhân suy giảm mũ vào hạt nhân của đạo hàm Caputo.

Khái niệm này được khởi xướng từ công trình của R. Nhờ đó, toán tử này vừa bảo toàn đặc tính phụ thuộc vào lịch sử trạng thái của đạo hàm Caputo, vừa cho phép mô tả hiệu quả các quá trình suy giảm nhanh, phù hợp với nhiều hiện tượng thực tế trong vật lý, kỹ thuật và sinh học [35, 36, 47, 48, 57, 58]. Tuy nhiên, việc nghiên cứu các tính chất ổn định và hiệu suất của các hệ sử dụng đạo hàm Caputo với nhân suy giảm vẫn gặp nhiều khó khăn đáng kể. Đặc biệt, sự xuất hiện của nhân suy giảm mũ trong hạt nhân của toán tử đạo hàm làm cho việc xây dựng các hàm Lyapunov thích hợp cũng như việc thiết lập các bất đẳng thức ma trận tuyến tính (linear matrix inequality-LMI) trở nên phức tạp hơn so với trường hợp Caputo cổ điển.

Trong vài thập niên gần đây, bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn (finite-time stability) đã thu hút sự quan tâm rộng rãi trong nghiên cứu các hệ động lực nhờ ý nghĩa thực tiễn và nhiều ưu điểm nổi bật. Khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn được G.