MỞ ĐẦU Lý thuyết không gian H∞ có nguồn gốc từ công trình của G. Zames [73] áp dụng thành công lí thuyết này vào điều khiển, lần đầu tiên đưa bài toán thiết kế điều khiển cho hệ thống một đầu vào và một đầu ra về bài toán tối ưu hóa. Bài toán điều khiển H∞ tối ưu có thể hiểu như sau Tìm điều khiển để ổn định hóa hệ thống khi không có nhiễu và khi có nhiễu thì điều khiển này đảm bảo tác dụng của nhiễu là nhỏ nhất. Tuy nhiên, việc tìm lời giải cho một bài toán tối ưu của một hệ thống điều khiển trong thực tế đôi khi quá phức tạp, tốn kém, và thậm chí không cần thiết.
Chúng ta chỉ cần thiết kế các điều khiển gần đúng với điều khiển tối ưu mà vẫn đảm bảo được tính ổn định và hiệu suất của hệ thống ở mức chấp nhận được. Đây là lí do cho sự ra đời của của các bài toán điều khiển H∞ dưới tối ưu (suboptimal). Từ lúc ra đời, lí thuyết điều khiển H∞ đã nhận được nhiều sự quan tâm [29, 52]. Tiện lợi của điều khiển H∞ là có thể sử dụng cho hệ đa đầu vào, đa đầu ra có nhiễu không mong muốn, mà chỉ bằng cách sử dụng các điều khiển cơ bản.
Trên cơ sở quy về bài toán tối ưu, việc tìm điều khiển H∞ có thể dựa trên nhiều công cụ toán học và phương pháp số, và do đó việc thiết kế điều khiển trở nên đơn giản hơn. Điều này làm cho bài toán điều khiển H∞ phát triển mạnh mẽ từ thập kỉ 80 (thế kỉ 20) cho tới nay, và đã áp dụng thành công trong nhiều lĩnh vực, các quá trình công nghiệp và kĩ thuật. Trong thập kỉ 80 (thế kỉ 20), nhiều phương pháp được sử dụng nhằm giải các bài toán điều khiển H∞ , như phương pháp hàm giải tích Nevanlinna-Pick hoặc phương pháp lí thuyết toán tử [4, 61]. Cũng trong giai đoạn này, năm 1984, Doyle [13] lần đầu tiên nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho hệ đa đầu vào và đa đầu ra, và kết quả này được phát triển tiếp bởi Glover [20] và Francis [16].
Tuy nhiên, điểm hạn chế của các nghiên cứu này là chúng liên quan tới việc giải các phương trình Riccati có kích thước rất lớn và công thức cho các điều khiển là quá phức tạp. Năm 1989, Doyle [14] đã mở rộng các nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ từ việc nghiên cứu trễ hằng số sang nghiên cứu trễ biến thiên, từ không gian hữu hạn chiều sang vô hạn chiều, 5 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com và cũng đã thu được một số kết quả nhất định.Trong thập niên 90 (thế kỉ 20) cho tới nay, bằng cách sử dụng phương pháp thứ hai Lyapunov và các định lí mở rộng của chúng như Lyapunov-Krasovskii, Lyapunov-Razumikhin, phương pháp LMI, và các công cụ tính toán tiên tiến khiến việc nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ trở nên dễ dàng hơn và có nhiều kết quả đáng quan tâm [48, 54]. Bài toán điều khiển H∞ cần đảm bảo hai yếu tố: ổn định hóa hệ thống khi không có nhiễu đầu vào và đảm bảo hiệu suất của hệ thống khi có nhiễu. Chúng ta luôn biết rằng, việc ổn định hóa cho một hệ thống, nói chung, không phải là điều đơn giản.
Có nhiều nguyên nhân gây bất ổn hệ thống, một trong số đó là trễ thời gian. Tiếp đó, không phải hệ nào cũng có thể thiết kế điều khiển H∞ do việc giải bài toán tối ưu hoặc dưới tối ưu không phải lúc nào cũng làm được, đặc biệt với những hệ phi tuyến hoặc hệ có cấu trúc phức tạp. Điều này khiến cho việc giải bài toán điều khiển H∞ trở nên khó khăn và gần thực tế hơn so với bài toán ổn định và ổn định hóa. Đồng thời, nó cũng thúc đẩy các nghiên cứu của chúng tôi đối với các hệ phi tuyến hoặc hệ có cấu trúc phức tạp có trễ thời gian.Trong luận án, chúng tôi nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho một số hệ phương trình vi phân cấu trúc khá phức tạp có trễ biến thiên liên tục, dạng khoảng, không đòi hỏi khả vi.
Dựa trên một lớp hàm Lyapunov-Krasovskii và một số bất đẳng thức mới, một số điều kiện đủ cho sự tồn tại điều khiển H∞ đã được chỉ ra thông qua các bất đẳng thức ma trận tuyến tính. Trước khi đề cập tới các kết quả chính của luận án, chúng tôi chỉ ra một số ưu điểm của các kĩ thuật được đề cập ở trên. • Các hàm Lyapunov-Krasovskii được thiết lập dựa trên cận trên và dưới của hàm trễ, điều này cho phép nghiên cứu các hệ có hàm trễ biến thiên liên tục dạng khoảng (tập giá trị của hàm trễ nằm trong một đoạn thẳng cho trước), không đòi hỏi sự tồn tại và bị chặn của đạo hàm hàm trễ. Điều này cho phép hàm trễ biến thiên nhanh tùy ý và không hạn chế cận dưới của trễ là 0.
• Các bổ đề mới cho phép đánh giá đạo hàm của các hàm Lyapunov- Krasovskii và đưa ra các điều kiện LMI tốt hơn. Cụ thể, Bổ đề 1.4 đánh giá đạo hàm của tích phân bội hai tốt hơn bất đẳng thức thường được sử dụng, Bổ đề 1.2(i), do sự xuất hiện của một số ma trận tự do. Đặc biệt khi các ma trận này là 0, các đánh giá này trùng với đánh giá của Bổ đề 1. Ngoài ra, thông qua bất đẳng thức tích phân mở rộng 1.2(ii) cho phép đưa thêm tích phân bội ba vào hàm Lyapunov-Krasovskii, đảm bảo đạo hàm dọc theo nghiệm của hàm Lyapunov-Krasovskii xác định âm 6 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.
Tích phân bội ba này thể hiện tính hiệu quả trong [65]. Sự xuất hiện của các ma trận tự do và tích phân bội ba khiến cho việc giải các bất đẳng thức ma trận tuyến tính dễ thực thi thông qua hộp công cụ LMI của Matlab [19]. Bên cạnh các ưu điểm về mặt kĩ thuật, các kết quả trong luận án cũng có sự khác biệt với các kết quả đã có như luận án tiến sĩ [1, 3] cho các hệ có trễ thời gian biến thiên liên tục dạng khoảng được nghiên cứu thông qua LMI. Sự khác biệt thể hiện không chỉ bởi hệ được nghiên cứu có cấu trúc phức tạp hơn, các bài toán đặt ra khác nhau, các hàm Lyapunov-Krasovskii được sử dụng, mà còn thể hiện thông qua các kĩ thuật mới được áp dụng trong chứng minh như sử dụng Bổ đề bị chặn 1.4 và tích phân bội ba.
Trên cơ sở các kĩ thuật mới, chúng tôi thu được một số kết quả nhất định cho một số hệ phi tuyến, hệ quy mô lớn, hệ chuyển mạch. Một số bài toán lần đầu tiên được đặt ra với các hệ trong luận án, như: bài toán điều khiển H∞ cho lớp hệ quy mô lớn và quy mô lớn chuyển mạch, thậm chí có trễ xuất hiện ở cả hàm trạng thái và hàm quan sát; bài toán điều khiển H∞ cho một lớp hệ phi tuyến có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng, không đòi hỏi khả vi xuất hiện ở cả hàm trạng thái và hàm quan sát, đồng thời hàm quan sát là phi tuyến. Hơn thế, các kết quả này có thể áp dụng cho một số lớp hệ có trước đó như: hệ không chắc chắn, hệ có trễ hằng số, v. trong việc nghiên cứu tính ổn định và ổn định hóa.
Lớp hệ đầu tiên được nghiên cứu trong luận án về bài toán điều khiển H∞ là hệ phi tuyến có trễ ẋ(t) = Ax(t) + Dx(t − h(t)) + Bu(t) + Cω(t) +f (t, x(t), x(t − h(t)), u(t), ω(t)), z(t) = Ex(t) + Gx(t − h(t)) + F u(t) (1) +g(t, x(t), x(t − h(t)), u(t)), t ≥ 0, x0 = ϕ. Điều khiển H∞ của hệ có trễ thu hút được nhiều sự quan tâm về mặt lí thuyết cũng như thực tiễn do trễ không những là một yếu tố không thể tránh khỏi trong nhiều quá trình thực tế mà còn là nguyên nhân cho sự không ổn định và hiệu suất kém. Mục đích khi nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ là thiết kế được một điều khiển làm cho hệ đóng (hệ không có nhiễu ω) là ổn định tiệm cận và đảm bảo hiệu suất ràng buộc của hệ thống là lớn nhất. Một phát triển có ý 7 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com nghĩa quan trọng của bài toán điều khiển H∞ cho hệ trễ là sự ra đời của phương pháp không gian trạng thái [59].
Kết quả này đưa ra một giải pháp rõ ràng hơn cho bài toán điều khiển H∞ với mục đích tìm một điều khiển phản hồi nhằm ổn định hóa một hệ thống cho trước thỏa mãn một vài điều kiện chuẩn tối ưu trên hàm nhiễu và biến cố không chắc chắn. Đối với bài toán điều khiển H∞ , phương pháp thích hợp cho các hệ tuyến tính có trễ thường sử dụng các hàm Lyapunov, theo đó các điều kiện thu được thông qua việc giải các bất đẳng thức ma trận tuyến tính hoặc các phương trình vi phân Riccati đại số [17, 26, 53]. Trong thời gian gần đây, một quy trình đơn giản và có hệ thống để xây dựng các hàm Lyapunov cho các hệ có trễ biến thiên đã được nghiên cứu trong [35, 42] đối với bài toán lọc H∞. Trong [48, 54, 55, 71], một cải tiến của các điều kiện ổn định mũ thông qua LMI cho hệ tuyến tính có trễ được chỉ ra, cho phép nghiên cứu tính ổn định mũ cho các hệ không chắc chắn có trễ biến thiên dạng khoảng.
Ở đây, phương pháp hàm Lyapunov được phát triển cho bài toán điều khiển H∞ của các hệ tuyến tính có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng với giả thiết các hàm trễ khả vi và có đạo hàm bị chặn. Năm 1990, Lihua Xie và Carlos E. de Souza [72] nghiên cứu hệ ẋ(t) = Ax(t) + B1 w(t) + (B2 + ∆B2 (t))u(t), z(t) = C1 x(t) + D1 u(t), với kết quả thu được là tính ổn định tiệm cận của hệ khi không có nhiễu và điều kiện H∞ được thể hiện thông qua phương trình Riccati đại số. Năm 2005, Xiefu Jiang và Qing-Long Han [28] lần đầu tiên nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho hệ tuyến tính có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng không khả vi và không có trễ trong hàm quan sát ẋ(t) = [A + ∆A(t)]x(t) + [B + ∆B(t)]u(t) + [A1 + ∆A1 (t)]x(t − h(t)) + Bω ω(t), z(t) = Cx(t) + D1 u(t).
và kết quả thu được là tính ổn định tiệm cận.