Chương 1 chúng tôi đã trình bày hai vấn đề làm cơ sở lí luận cho việc nghiên cứu đề tài. Đó là: - Khái niệm tự học, các biểu hiện năng lực tự học, những kỹ năng cần thiết của người tự học, một số hình thức tự học và thực trạng dạy học tự học hiện nay. - Một số biện pháp rèn luyện năng lực tự học nói chung. 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com CHƢƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN NĂNG LỰC TỰ HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CHƢƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2.
Nội dung bất đẳng thức ở trƣờng THPT Nội dung BĐT ở trường THPT được trình bày cho học sinh lớp 10 trong chương 4: Bất đẳng thức và bất phương trình. Theo hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức và kĩ năng môn toán lớp 10, yêu cầu về kiến thức và kĩ năng đối với nội dung bất đẳng thức như sau: Về kiến thức: - Biết định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức. - Hiểu bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai số không âm. - Biết được bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của ba số không âm.
- Biết được một số bất đẳng thức có dấu giá trị tuyệt đối. Về kĩ năng: - Vận dụng được định nghĩa và tính chất của bất đẳng thức hoặc dùng phép biến đổi tương đương để chứng minh một số bất đẳng thức đơn giản. - Biết vận dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân để chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức. - Chứng minh một số bất đẳng thức đơn giản có dấu giá trị tuyệt đối.
Khái niệm BĐT Khái niệm BĐT được định nghĩa theo quan điểm mệnh đề. Khái niệm BĐT Giả sử a và b là hai số thực. Các mệnh đề dạng “a < b”, “a > b”, “a ≤ b”, “a b” được gọi là các bất đẳng thức. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương 21 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com + Nếu mệnh đề “ a < b c < d ” đúng thì ta nói rằng: c < d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a < b và cũng viết là: a < b c < d + Nếu c < d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a < b và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết: a < b c < d Chứng minh một bất đẳng thức tức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng.
Các tính chất của BĐT Tính chất 1: Nếu a > b và b > c a > c (Tính chất bắc cầu) Tính chất 2: a > b a + c > b + c ac bc nÕu c>0 Tính chất 3: a> b ac<bc nÕu c<0 Nghĩa là: Nếu nhân hai vế của BĐT với một số dương thì được một BĐT tương đương cùng chiều. Nếu nhân hai vế của BĐT với một số âm thì ta được một BĐT tương đương ngược chiều. a b Tính chất 4: a+c>b+d c d Nghĩa là: Nếu cộng các vế tương ứng của hai BĐT cùng chiều, thì ta được một BĐT cùng chiều. a b 0 Tính chất 5: ac > bd c d 0 Nghĩa là: Nếu nhân các vế tương ứng của hai bất đẳng thức cùng chiều có tất cả các vế dương, thì ta được một bất đẳng thức cùng chiều.
Tính chất 6: a > b a2n+1 > b2n+1 với n nguyên dương. a > b > 0 a2n > b2n với n nguyên dương. Tính chất 7: a > b > 0 n a > n b với n nguyên dương. Hệ quả: Nếu a, b là hai số dương thì: a > b a2 > b 2 2.
Một số BĐT cơ bản trong chương trình phổ thông 2. Các BĐT gốc Trong chương trình phổ thông ta thường gặp một số BĐT cơ bản sau: x2 0 với x R. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = 0. 22 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y= 0. Tổng quát: x12m + x22m + …+ xn2m 0 (*) với x1, x2,…, xn R; m, n N*. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x1 = x2 =…. Quy ước: Trong luận văn, ta gọi các BĐT có dạng (*) là các BĐT gốc.
Bất đẳng thức Cauchy và các hệ quả * Bất đẳng thức Cauchy đối với hai số không âm. ab Với mọi a 0, b 0, ta có ab 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. Hệ quả 1: Nếu hai số x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi: x = y. Hệ quả 2: Nếu hai số x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi: x = y.
* Bất đẳng thức Cauchy đối với ba số không âm. abc 3 Với mọi a 0, b 0, c 0 ta có abc 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. * Bất đẳng thức Cauchy đối với n số không âm: Với a1, a2,…, an là các số thực không âm, ta có: a1 a 2 .a n n Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a1 =…. Hệ quả 1: Nếu n số thực dương a1, a2,…, an có tổng không đổi thì tích của chúng T= a1a2…an đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi: a1 = a2 =….
Hệ quả 2: Nếu n số thực dương a1, a2 ,…., an có tích không đổi thì tổng của chúng S = a1 + a2 + ….+ an đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi a1 = a2 =…. Bất đẳng thức BunhiaCôpxki và các hệ quả * Bất đẳng thức BunhiaCôpxki đối với bốn số thực 2 Với bốn số thực a, b, x, y ta có: ax by a 2 b2 x y 2 2 23 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay=bx. a b Nếu x, y khác 0 thì đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . x y * Bất đẳng thức BunhiaCôpxki đối với sáu số thực Với sáu số thực a, b, c, x, y, z cùng khác 0 ta có: ax by cz a 2 b2 c2 x 2 y2 z2 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c.
x y z * Bất đẳng thức BunhiaCôpxki đối với 2n số thực Cho hai dãy số a1, a2, …, an và b1, b2,…, bn ta có 2 (a1b1+a2b2+ …+ anbn) ≤ (a12 + a22 + …+a2n)(b12 +b22+…+b2n) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 : a2 :. : bn a2 b2 a b 2 Hệ quả 1: Với x, y là các số dương, ta có: x y xy a b. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y Hệ quả 2: Với x1, x2,., xn là các số dương, ta có: a2 a a . xn Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 : a2 :.
Một số BĐT hình học Trong chương trình phổ thông để giải bài toán bằng phương pháp hình học ta thường dùng một số kết quả sau: Cho hai véc tơ u, v ta luôn có: u v u + v Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u, v cùng hướng. Cho hai véc tơ u, v ta luôn có: uv u v Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u , v cùng phương. 24 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Một số BĐT chứa dấu giá trị tuyệt đối x 0; x x; x x x a a x a (với a > 0) x a x a (với a > 0) x a a b ab a b 2.
Vị trí và vai trò của bài tập chứng minh bất đẳng thức Giáo sư Hoàng Tụy có viết trên tạp chí Toán học và tuổi trẻ “Các nhà toán học thường làm việc với bất đẳng thức nhiều hơn đẳng thức”. Đối với chương trình toán ở trường phổ thông, BĐT là một trong những phần quan trọng. Ngay từ lớp 1, học sinh được làm quen với BĐT thông qua các bài toán như: So sánh hai số, điền dấu , vào ô trống. Đến lớp 9, học sinh đã được tiếp cận với một vấn đề về BĐT nhưng ở mức độ cao hơn.
Sang bậc THPT, việc dạy học BĐT đã được đưa vào chương 4 - đại số 10. BĐT có trong tất cả các chủ đề của toán sơ cấp thông qua các dạng toán như: toán cực trị, khảo sát hàm số, giải phương trình, giải bất phương trình… Có những bài toán, việc sử dụng BĐT đóng vai trò quyết định lời giải nhưng cũng có những bài toán ta chỉ sử dụng BĐT như một khâu trung gian. Bài tập chứng minh BĐT có vai trò quan trọng trong môn Toán. Điều căn bản là bài tập có vai trò giá mang hoạt động của học sinh.
Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, qui tắc hay phương pháp, những hoạt động trí tuệ phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Vai trò của bài tập chứng minh BĐT được thể hiện cụ thể là: Với chức năng giáo dục, bài tập chứng minh BĐT giúp học sinh hình thành thế giới quan duy vật biện chứng và niềm tin phẩm chất đạo đức của người lao động mới, rèn luyện cho học sinh đức tính kiên nhẫn, chính xác, chu đáo trong học tập, từng bước nâng cao hứng thú học tập môn toán, phát triển trí thông minh, sáng tạo. 25 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Với chức năng dạy học, bài tập chứng minh BĐT nhằm hình thành, củng cố cho học sinh những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau của quá trình dạy học. Với chức năng phát triển, bài tập chứng minh BĐT nhằm phát triển năng lực trí tuệ, rèn luyện những thao tác tư duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ.