Chương 1 Phân tích thống kê nhiều mức 1.1 Giới thiệu Trong các nghiên cứu khoa học về sinh học và con người, chúng ta có nhiều loại dữ liệu bao gồm dữ liệu dữ liệu các quan sát thu thập được, dữ liệu có cấu trúc lặp hoặc cấu trúc thứ tự. Chẳng hạn như khi nghiên cứu về con người và động vật với hệ thống phân mức tự nhiên mà mỗi cá thể được nhóm thành các gia đình. Những con người có cùng cha mẹ sinh ra sẽ có những đặc tính giống nhau về thể chất, tính cách hơn những người không cùng cha mẹ sinh ra. Do đó cá thể trong gia đình nói trên là đơn vị mức một trong cấu trúc hai mức mà mức hai có đơn vị là gia đình, hay học sinh có thể là đơn vị mức một trong cấu trúc hai mức mà mức hai có đơn vị là trường.
Các thành viên trong nhóm cũng có xu hướng hoạt động khác nhau, tuy nhiên luôn tồn tại sự tác động qua lại giữa các thành viên trong nhóm. Nếu bỏ qua mối quan hệ đó có thể không thấy được tầm quan trọng của tác động nhóm, từ đó dẫn đến những kết quả không hợp lý khi sử dụng kỹ thuật phân tích cổ điển trong việc nghiên cứu các mối 5 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com quan hệ giữa chúng. Hệ thống trường học cho chúng ta cái nhìn rõ ràng về cấu trúc phân mức, với học sinh được phân thành nhóm hoặc được ghép với nhau thành lớp học. Các lớp lại được tổ chức trong một đơn vị mức cao hơn là trường.
Các nhà khoa học thường quan tâm đến việc so sánh thành tích học tập của học sinh, việc so sánh đó nhằm nâng cao thành tích học tập và trách nhiệm chung trong giáo dục. Họ đã chọn ngẫu nhiên một số trường phổ thông và tiến hành điều tra kết quả học tập vào cuối năm để biết việc giảng dạy mỗi môn học cụ thể trong trường có liên hệ như thế nào đến với kết quả cuối năm học. Người ta còn có những tiêu chí đánh giá đầu vào của học sinh khi bắt đầu nhập học làm cơ sở để phân tích thành tích học tập của học sinh. Phương pháp truyền thống để phân tích dữ liệu kiểu này là phân tích hồi quy, dựa vào điểm số để nghiên cứu quan hệ giữa việc phân mức hiện tại và thành tích học tập của học sinh.
Phân tích chỉ ra rằng mô hình nhiều mức có nhiều ưu điểm hơn. Đầu tiên, nó cho phép các nhà nghiên cứu có được ước lượng hiệu quả của hệ số hồi quy. Thứ hai, bằng cách sử dụng thông tin phân mức ta có thể thu được một cách đúng hơn độ lệch tiêu chuẩn, khoảng tin cậy và tiêu chuẩn kiểm định. Các kết quả này thường chính xác hơn so với phương pháp cổ điển mà trong đó bỏ qua sự ảnh hưởng của phân mức.
Thứ ba, bằng phương pháp này ta có thể tính được hiệp phương sai ở từng mức, điều này giúp các nhà nghiên cứu chỉ ra sự khác biệt về kết quả học tập giữa các trường là do phương thức giáo dục hay đặc điểm học sinh. Ngoài ra ta có thể nghiên cứu mở rộng ra các đối tượng sinh viên ở các trường khác nhau. Chẳng hạn liệu sự khác biệt giữa sinh viên đầu vào cao hơn so với các trường có đầu vào thấp hơn có là nhân tố để giải thích sự khác nhau về thành tích học tập trong quá trình học tập của sinh viên hay không. 6 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.2 Mô hình hai mức 1.1 Mô hình hồi quy tuyến tính đơn hai mức Xét tập dữ liệu bao gồm thông tin học sinh của một số trường cấp 3.
Người ta xem xét điểm thi toán vào lớp 10 và điểm thi tốt nghiệp của học sinh các trường đó, dữ liệu đó có cấu trúc nhiều mức. Có thể coi học sinh là đơn vị của mức 1, mỗi trường là đơn vị của mức 2. Xét mô hình hồi quy tuyến tính đơn mức cho một trường nào đó đã được chọn, thể hiện quan hệ giữa điểm thi toán tốt nghiệp so với điểm thi toán vào lớp 10 yi = α + βxi + ei (1.1) với α là hệ số chặn, β là hệ số dốc, ei là phần dư. Đây được gọi là mô hình một mức.
Để mô tả mối liên hệ đồng thời cho nhiều trường, chẳng hạn trường j ta viết yij = αj + βj xij + eij (1.2) Ở đây j được đánh dấu cho đơn vị mức 2, chỉ số i đánh dấu cho đơn vị mức 1. Về mặt hình thức thì (1.2) vẫn là mô hình một mức dù sự mô tả tách biết cho mỗi trường. Trong một vài trường hợp, chẳng han như có ít trường được chọn hoặc sự quan tâm tập trung vào một số trường nào đó, mô hình (1.2) được sử dụng để phân tích, khi đó cần ước lượng 2n + 1 tham số đó là (αj , βj ) với j = 1, 2,. Giả thiết ở đây là mô hình có chung phương sai phần dư và đường thẳng hồi quy biểu diễn cho mỗi trường là khác biệt.
Nếu mong muốn không chỉ tập trung vào các trường này mà còn mở rộng ra nghiên cứu ở các trường khác thì chúng ta cần coi các trường cần nghiên cứu mang các đặc tính của trường được chọn. Như vậy ta chỉ chọn các mẫu ngẫu nhiên của cá thể để cung cấp nghiên cứu đưa ra các kì vọng lí thuyết, vì vậy mỗi mẫu ngẫu nhiên các trường được chọn có thể cung cấp thông tin về 7 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com tình hình chung của tất cả các trường. Nói riêng, nghiên cứu một mẫu có thể đưa ra ước lượng phương sai, hiệp phương sai giữa các trường. Một trường hợp quan trọng xuất hiện khi ta mong muốn thông tin về từng trường trong mẫu nhưng do số lượng các trường trong mẫu lớn nên (1.2) đòi hỏi phải ước lượng rất nhiều tham số.
Hơn nữa, một số trường khá ít học sinh và việc áp dụng (1.2) sẽ dẫn đến các ước lượng thiếu chính xác. Trong trường hợp đó ta coi trường này như phần tử của đám đông và sử dụng các ước lượng, kỳ vọng, phương sai mẫu ta có thể ước lượng chính xác hơn.2) về hai mức ta coi αj , βj là các biến ngẫu nhiên. Ta thay αj bởi β0j , βj bởi β1j .3) β1j = β1 + u1j với u0j , u1j là các biến nhiên sao cho E(u0j ) = E(u1j ) = 0 2 2 var(u0j ) = σu0 , var(u1j ) = σu1 , cov(u0j , u1j ) = σu01 .2) được viết lại thành yij = β0 + β1 xij + (u0j + u1j xij + e0ij ), (1. Ta vừa biểu diễn yij như tổng thành phần cố định và phần ngẫu nhiên.
Thành phần cố định được viết dưới dạng ma trận như sau E(Y ) = Xβ, với Y = {yij }; E(yij ) = Xij β = (Xβ)ij , X = {Xij }. Đặc biệt khi kí hiệu gộp lại uj = (u0j , u1j )T ; xij = (1, xij )T ; β = (β0 , β1 )T , zij = xij 8 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.4) được viết lại thành yij = xTij ui + zijT β + eij .5) Các biến ngẫu nhiên được xem như phần dư và trong trường hợp mô hình một mức, phần dư mức 1 là e0ij trở thành phần dư của mô hình tuyến tính thông thường. Mô hình hồi quy (1.4) khác biệt so với mô hình thông thường là sự có mặt nhiều hơn một thành phấn số dư. Điều đó đưa đến việc phải có cách đặc biệt hơn để ước lượng các tham số.
Nó đòi hỏi ước lượng như vậy cho hai hệ số β0 và β1. Chúng ta xem phương sai và hiệp phương sai như các biến ngẫu nhiên. Ta bắt đầu với mô hình hai mức đơn giản nhất chỉ gồm 2 2 hai tham số σu0 , σe0. Khi đó thành phần dự báo có được là V ar yij |β0 , β1 , xij = var(u0j + e0ij ) = E(u0j + e0ij )2 − [E(u0j + e0ij )]2 2 2 = σu0 + σe0.
Đây là tổng phương sai mức một và một phương sai mức hai. Khi đó phương sai ở mức một cá thể là hằng số và hiệp phương sai giữa hai cá thể trong một đơn vị mức 2 được cho bởi cov(u0j + e0i1 j ; u0j + ee0i2 j ) = cov(u0j , u0j + e0i2 j + cov(e0i1 j ; u0j + e0i2 j ) = cov(u0j , u0j ) + cov(u0j , e0i2 j ) + cov(e0i2 j , u0j ) + cov(e0i2 j , e0i2 j ) 2 = σu0. Vì các số dư ở mức 1 được giải thích độc lâp với nhau. Từ đó mối tương quan giữa hai cá thể trong cùng một đơn vị mức 2 được cho bởi 2 σu0 ρ= 2 2 (1.6) σu0 + σe0 đại lượng này được xem như hệ số tương quan nội tại đơn vị mức hai.
9 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.2 Ước lượng các tham số cho mô hình đơn biến hai mức Xét mô hình phương sai thành phần đơn biến hai mức yij = β0 + β1 xij + u0j + e0ij .7) Trong mô hình này chỉ có hệ số chặn là ngẫu nhiên. Giả sử đã biết các giá trị của phương sai, dùng phương pháp bình phương bé nhất tổng quát để tìm được ước lượng β̂ của hệ số cố định β̂ = (X T V −1 X)−1 X T V −1 Y (1. 1 x nm m yn m m với m là đơn vị mức 2, nj là đơn vị mức một trong đơn vị mức hai thứ j. Quá trình ước lượng là quá trình lặp thường bắt đầu từ giá trị β0 , β1 nào đó được xác định bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất, thông thường 2 khi giá trị σu0 = 0.
Từ đó phần dư ỹij = yij − β̂0 − β̂1 xij (1.10) Vectơ hàng biểu diễn phần dư được viết lại là Ỹ = {ỹij } Rõ ràng kỳ vọng của ma trận Ỹ Ỹ T chính là V. Ta có thể sắp xếp lại ma trận đó như một vectơ kí hiệu là V ec(Ỹ Ỹ T .) Tương tự ta có thể xây dựng cấu trúc Vec(V) của ma trận V. Mối quan hệ giữa hai vectơ này có thể 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.