Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Chương 2. Đại lượng ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Chương 3. Một số quy luật phân phối xác suất thường gặp Chương 4.
Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều Chương 5. Các định lý giới hạn Chương 6. Lý thuyết mẫu Chương 7. Bài toán ước lượng tham số Chương 8.
Bài toán kiểm định giả thuyết 2 Giáo trình "Lý thuyết xác suất và thống kê toán" đƣợc biên soạn lần đầu và trong thời gian ngắn nên chắc chắn giáo trình không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận đƣợc sự góp ý của bạn đọc để giáo trình ngày càng đƣợc hoàn thiện. Tác giả 3 Chƣơng 1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT 1. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN 1.
Phép thử ngẫu nhiên và các loại biến cố ngẫu nhiên Phép thử ngẫu nhiên là một thuật ngữ để chỉ một phép thử hay một thực nghiệm hay một quan sát. mà kết quả là ngẫu nhiên, không biết trƣớc một cách chắc chắn. Các kết quả có thể (ký hiệu là ) của phép thử ngẫu nhiên gọi là các biến cố ngẫu nhiên sơ cấp (biến cố sơ cấp). Tập hợp tất cả các biến cố ngẫu nhiên sơ cấp gọi là không gian mẫu của phép thử, ký hiệu là: Ω.
Số các biến cố sơ cấp của Ω ta ký hiệu là Card(Ω). 1) Gieo một đồng xu là thực hiện một phép thử ngẫu nhiên. Các kết quả S = "Xuất hiện mặt sấp", N = "Xuất hiện mặt ngửa" là các biến cố sơ cấp. Không gian mẫu là = {S, N}.
2) Gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc 6 mặt là thực hiện một phép thử ngẫu nhiên. Các kết quả Mi: “Xúc xắc xuất hiện mặt i chấm” (i = 1, 2, ., 6) là các biến cố sơ cấp. Không gian mẫu là Ω = {M1, M2, M3, M4, M5, M6}. 3) Từ một hộp có 13 viên bi khác nhau ta lấy ra ngẫu nhiên 4 bi, thì hành động đó là thực hiện một phép thử ngẫu nhiên.
Mỗi kết quả lấy ra đƣợc 4 viên bi trong 13 viên bi là một biến cố sơ cấp. Do đó không gian mẫu Ω là tập hợp các tổ hợp chập 4 của 13 phần tử. Định nghĩa Một tập hợp con A đƣợc gọi là một biến cố ngẫu nhiên (biến cố). Các biến cố ngẫu nhiên sơ cấp A đƣợc gọi là biến cố ngẫu nhiên sơ cấp thuận lợi cho A.
Biến cố A đƣợc gọi là xảy ra khi và chỉ khi xảy ra một biến cố ngẫu nhiên sơ cấp A. Nhƣ vậy A có thể có, có thể không xảy ra khi thực hiện phép thử. Biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử đƣợc gọi là biến cố không thể, ký hiệu là . 4 Biến cố nhất định xảy ra khi thực hiện phép thử đƣợc gọi là biến cố chắc chắn.
1) Xét phép thử gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc 6 mặt. Các kết quả: Ac: “Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm chẵn”; Al: “Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm lẻ”; Ant: “Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm là số nguyên tố”; B: "Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 4"; C: "Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm bé thua 5" là các biến cố ngẫu nhiên. Biến cố "Xúc xắc xuất hiện có số chấm lớn hơn 0" là biến cố chắc chắn. Biến cố “Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 6” là biến cố không thể.
2) Một hộp có 13 viên bi trong đó có 5 viên bi xanh, 8 viên viên đỏ. Xét phép thử lấy 5 viên bi. Các kết quả: A = "Lấy ra đƣợc 3 bi xanh, 2 bi đỏ"; B = "Lấy ra đƣợc 4 bi xanh, 1 bi đỏ"; C = "Lấy ra đƣợc ít nhất một bi đỏ"; D = "Lấy ra đƣợc nhiều nhất 3 bi xanh". là các biến cố ngẫu nhiên.
Biến cố "Lấy ra đƣợc 4 viên bi màu vàng" là biến cố không thể. Quan hệ giữa các biến cố Giả sử A, B là hai biến cố của cùng một phép thử. Quan hệ kéo theo. Ta nói rằng biến cố A kéo theo (hay thuận lợi) biến cố B nếu biến cố A xảy ra thì biến cố B cũng xảy ra.
1) Xét phép thử gieo một con xúc xắc, ta có: M1⊂ Al, M4 ⊂ Ac. 2) Chọn ngẫu nhiên một con bài trong bộ bài tú-lơ-khơ gồm 52 quân bài. Gọi A là biến cố chọn đƣợc con bài chất rô; B là biến cố chọn đƣợc con bài màu đỏ. 3) Chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm trong một kho hàng có hai loại sản phẩm loại 1 và loại 2.
Gọi A là biến cố chọn đƣợc 3 sản phẩm cùng loại; B là biến cố chọn đƣợc 3 sản phẩm loại 1. Quan hệ đồng nhất. Ta nói rằng biến cố A đồng nhất (hay tương đương) với biến cố B nếu trong phép thử đó biến cố A xảy ra khi và chỉ khi biến cố B xảy ra. 1) Xét phép thử gieo một con xúc xắc.
Gọi B là biến cố "con xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm là bội của 2 và 3”, thì khi đó B = M6. 2) Thầy giáo chấm bài của 1 sinh viên và cho điểm theo thang điểm 10. Gọi A là biến cố sinh viên đó đạt điểm nhỏ thua 5; B là biến cố sinh viên đó không đạt yêu cầu. Quan hệ xung khắc.
Hai biến cố A và B đƣợc gọi là xung khắc nếu chúng không thể đồng thời xảy ra khi thực hiện phép thử đó. Trƣờng hợp ngƣợc lại, nếu hai biến cố có thể cùng xảy ra trong một phép thử thì đƣợc gọi là không xung khắc. Dãy các biến cố A1, A2, …, An là dãy các biến cố xung khắc từng đôi nếu Ai, Aj (i j, i, j) xung khắc. 1) Xét phép thử gieo một con xúc xắc.
Các cặp biến cố Mi và Mj (i ≠ j), M1 và Ant, Ac và Al là xung khắc với nhau. 2) Hai ngƣời cùng bắn vào một mục tiêu. Gọi A là biến cố "ngƣời thứ nhất bắn trúng"; B là biến cố "ngƣời thứ hai bắn trúng". Khi đó A, B là hai biến cố không xung khắc, vì khi thực hiện phép thử là cho hai ngƣời cùng bắn vào mục tiêu thì ngƣời thứ nhất và ngƣời thứ hai có thể cùng bắn trúng nên A, B có thể đồng thời xảy ra.
3) Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi trong một hộp có 3 bi xanh, 4 bi vàng, 5 bi đỏ. Gọi A1 là biến cố chọn đƣợc 2 bi xanh; A2 là biến cố chọn đƣợc 2 bi vàng; A3 là biến cố chọn đƣợc 2 bi khác màu. Khi đó A1; A2; A3 xung khắc từng đôi một. Quan hệ đối lập.
Hai biến cố A, B đƣợc gọi là đối lập với nhau nếu trong phép thử đó A xảy ra khi và chỉ khi B không xảy ra. Ký hiệu biến cố đối lập của biến cố A là A. 1) Xét phép thử gieo một con xúc xắc. 6 2) Bắn một viên đạn vào mục tiêu.
Gọi A là biến cố: "bắn trúng mục tiêu", A là biến cố "bắn trƣợt mục tiêu". A và A là hai biến cố đối lập với nhau. 3) Chọn ngẫu nhiên hai viên bi trong một hộp có 3 viên bi xanh, 4 viên bi vàng và 5 viên bi đỏ. Gọi A là biến cố 2 viên bi đƣợc chọn ra có ít nhất 1 viên bi màu xanh.
Gọi A là biến cố 2 viên bi chọn ra không có viên bi màu xanh. Các phép toán về biến cố Giả sử A, B là hai biến cố của cùng một phép thử. Tổng, tích của hai biến cố Tổng (Hợp) của hai biến cố A và B là một biến cố, ký hiệu là A + B (hoặc A B ), biến cố A + B xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra. Tích (Giao) của hai biến cố A và B là một biến cố, ký hiệu là AB (hoặc A B ), biến cố AB xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B đồng thời xảy ra.
1) Xét phép thử gieo một con xúc xắc, ta có: M2 = AcAnt; = Ac + Al; = MiMj (i j; 1 i, j 6) 2) Bắn hai viên đạn vào một mục tiêu. Gọi A là biến cố "viên thứ nhất trúng mục tiêu", B là biến cố "viên thứ hai trúng mục tiêu". Khi đó A + B là biến cố "mục tiêu trúng đạn". AB là biến cố "cả 2 viên đạn trúng mục tiêu".
3) Một sinh viên chọn ngẫu nhiên một câu hỏi. Gọi A là biến cố "đƣợc câu lý thuyết", B là biến cố "đƣợc câu khó". Khi đó AB là biến cố "đƣợc câu lý thuyết khó". Hiệu của 2 biến cố.
Hiệu của biến cố A với biến cố B là một biến cố, ký hiệu là A\B, biến cố A\B xảy ra khi và chỉ khi biến cố A xảy ra nhƣng biến cố B không xảy ra. 1) Xét phép thử gieo một con xúc xắc, ta có: M2 = Ant\Al, Ant\Ac = M5 + M3, Ac\Ant = M4 + M6. 2) Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi trong một hộp có 3 viên bi màu xanh, 4 viên bi màu vàng, 5 viên bi màu đỏ. Gọi A là biến cố chọn đƣợc ít nhất 1 viên màu xanh; B là biến cố chọn đƣợc 2 viên bi khác 7 màu.
A\B là biến cố chọn đƣợc 2 viên bi màu xanh. B\A là biến cố không thể., An đƣợc gọi là hệ đầy đủ nếu thỏa mãn: i) A1 A2 ., An đôi một xung khắc. 1) Xét phép thử gieo một con xúc xắc, ta có: Hệ {Ac, Al}, {M1, M2, …, M6} và {Al, Ant, M4, M6} là các hệ đầy đủ. 2) Cho A là một biến cố bất kỳ.
Khi đó {A, Ā} là hệ đầy đủ. 3) Gieo 2 hạt giống, gọi Ai là biến cố có số i hạt nảy mầm (i = 0, 1, 2). Ta có {A0, A1, A2} là một hệ đầy đủ. Các tính chất phép toán về biến cố Các phép toán biến cố A + B, AB, A tƣơng ứng với các phép toán tập hợp nên chúng có tính chất tƣơng tự.
i) Giao hoán: A + B = B + A; AB = BA; ii) Kết hợp: A + (B + C) = (A + B) + C; A(BC) = (AB)C = ABC; iii) Phân phối: A(B + C) = AB + AC; iv) Lũy đẳng: A + A = A, AA = A; v) A ; A A; A A;A ; vi) A = A ; vii) Luật đối ngẫu De Morgan: A B = A.B; AB = A B; viii) A\B = AB.