Nguyên Lý So Sánh Đối Với Toán Tử Monge-Ampère Phức Trong Các Lớp Cegrell - Luận Văn Thạc Sĩ Toán Học

Toán tử Monge-Ampère phức là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết đa thế vị, được xây dựng từ năm 1982. Nghiên cứu về nguyên lý so sánh trong các lớp Cegrell không chỉ giúp hiểu rõ hơn về tính chất của toán tử này mà còn mở rộng khả năng giải quyết các bài toán Dirichlet. Việc mở rộng miền xác định của toán tử Monge-Ampère đã thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả, cho thấy tính ứng dụng cao của nghiên cứu này trong toán học hiện đại.

Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày lại các kết quả của N. Hiep về nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge-Ampère phức trong các lớp Cegrell. Nhiệm vụ nghiên cứu bao gồm việc tìm hiểu các kiến thức cơ sở trong lý thuyết đa thế vị, nguyên lý so sánh trong các lớp Cegrell và các ứng dụng thực tiễn của chúng. Điều này không chỉ giúp củng cố lý thuyết mà còn tạo ra các ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực khác nhau của toán học.

Hàm đa điều hòa dưới là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết đa thế vị. Định nghĩa hàm đa điều hòa dưới cho thấy rằng nếu một hàm thỏa mãn các điều kiện nhất định, nó sẽ có tính chất điều hòa trong miền xác định. Các tính chất của hàm đa điều hòa dưới như tính liên tục, tính lồi và các điều kiện hội tụ sẽ được trình bày chi tiết. Những tính chất này không chỉ giúp hiểu rõ hơn về hàm đa điều hòa dưới mà còn tạo cơ sở cho việc áp dụng trong các nghiên cứu tiếp theo.

Toán tử Monge-Ampère phức được định nghĩa thông qua các hàm đa điều hòa dưới và có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các bài toán Dirichlet. Định nghĩa và các tính chất cơ bản của toán tử này sẽ được trình bày, cùng với các ứng dụng của nó trong lý thuyết đa thế vị. Việc hiểu rõ về toán tử Monge-Ampère phức sẽ giúp người đọc nắm bắt được các khái niệm phức tạp hơn trong các chương tiếp theo của luận văn.

Sự hội tụ theo dung lượng là một khái niệm quan trọng trong nghiên cứu toán tử Monge-Ampère. Định nghĩa và các tính chất của sự hội tụ theo dung lượng sẽ được trình bày, cùng với các ứng dụng của nó trong việc phân tích các hàm đa điều hòa dưới. Việc hiểu rõ về sự hội tụ theo dung lượng sẽ giúp người đọc nắm bắt được các khái niệm phức tạp hơn trong các nghiên cứu tiếp theo.

Chương này cũng sẽ trình bày một số định lý hội tụ quan trọng liên quan đến các hàm đa điều hòa dưới. Những định lý này không chỉ giúp củng cố lý thuyết mà còn tạo ra các ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực khác nhau của toán học. Việc áp dụng các định lý hội tụ trong nghiên cứu toán tử Monge-Ampère sẽ được minh họa qua các ví dụ cụ thể, giúp người đọc dễ dàng tiếp cận và hiểu rõ hơn về các khái niệm này.