Một số phương pháp ước lượng tuổi thọ trung bình - Luận án TS Nguyễn Thanh Nga

Tổng hợp các phương pháp ước lượng tuổi thọ trung bình. So sánh phương pháp Chiang, Silcocks và đề xuất mô hình mới cho kết quả chính xác, hiệu quả.

• Tác giả: Nguyễn Thanh Nga
• Người hướng dẫn: PGS.TS Hồ Đăng Phúc
• Trường học: Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam
• Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học
• Đề tài: Một số phương pháp ước lượng tuổi thọ trung bình
• Loại tài liệu: Luận án Tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2024
• Địa điểm: Hà Nội

Tóm tắt

I. Khái niệm và tầm quan trọng của ước lượng tuổi thọ trung bình

Ước lượng tuổi thọ trung bình là một chỉ số quan trọng trong phân tích sống sót và thống kê y tế. Đây là công cụ essential giúp các nhà khoa học, cơ quan y tế công cộng đánh giá tình trạng sức khỏe cộng đồng. Tuổi thọ trung bình không chỉ phản ánh mức độ phát triển kinh tế-xã hội của một quốc gia mà còn cung cấp thông tin quý báu về hiệu quả của các chương trình y tế dự phòng. Các nhà nghiên cứu sử dụng phương pháp ước lượng tuổi thọ trung bình để xây dựng bảng sống sót, dự báo dân số, và đánh giá tác động của các can thiệp y tế. Sự chính xác của ước lượng này trực tiếp ảnh hưởng đến việc ra quyết định trong lĩnh vực y tế công cộng và lập chính sách dân số quốc gia.

1.1. Định nghĩa tuổi thọ trung bình

Tuổi thọ trung bình là số năm trung bình mà một người có thể sống được kể từ lúc sinh ra. Nó được tính toán dựa trên hàm sống sót và dữ liệu tử vong của dân số. Chỉ số này được sử dụng rộng rãi trong phân tích sống sót để so sánh sức khỏe giữa các nhóm dân cư, khu vực địa lý khác nhau, hoặc theo thời kỳ.

1.2. Ứng dụng thực tiễn

Các phương pháp ước lượng tuổi thọ trung bình được áp dụng trong lập chương trình y tế, nghiên cứu dịch tễ học, và đánh giá chất lượng cuộc sống. Thông tin này giúp chính phủ và các tổ chức quốc tế theo dõi tiến bộ phát triển bền vững và hiệu quả của hệ thống chăm sóc sức khỏe.

II. Các phương pháp ước lượng truyền thống

Trong lĩnh vực phân tích sống sót, hai phương pháp ước lượng tuổi thọ trung bình được sử dụng phổ biến là phương pháp Chiang và phương pháp Silcocks. Phương pháp Chiang dựa trên bảng sống sót (life table) và ước lượng tỷ lệ sống sót từng độ tuổi. Phương pháp Silcocks áp dụng các giả định về phân phối tử vong đều đặn trong mỗi khoảng tuổi. Mặc dù các phương pháp này hiệu quả với dữ liệu thu gon (dữ liệu chứa số người chết và tổng số người trong mỗi khoảng tuổi), chúng vẫn tồn tại những hạn chế về độ chính xác khi xử lý dữ liệu bán thuần tập hoặc các tình huống đặc biệt. Việc cải tiến và phát triển các phương pháp ước lượng tuổi thọ trung bình mới là cần thiết để nâng cao chất lượng ước lượng.

2.1. Phương pháp Chiang

Phương pháp Chiang sử dụng bảng sống sót để ước lượng tuổi thọ trung bình. Phương pháp này tính toán hàm sống sót từ dữ liệu số người chết theo nhóm tuổi. Ưu điểm là dễ áp dụng với dữ liệu thu gon, nhưng có thể kém chính xác với những dữ liệu không đầy đủ.

2.2. Phương pháp Silcocks

Phương pháp Silcocks giả định phân phối tử vong đều trong mỗi khoảng tuổi, từ đó ước lượng tuổi thọ trung bình. Phương pháp này thường được sử dụng khi dữ liệu chi tiết về ngày tháng không có sẵn, mang lại hiệu quả hợp lý.

III. Các phương pháp ước lượng hiện đại

Để khắc phục những hạn chế của phương pháp ước lượng tuổi thọ trung bình truyền thống, các nhà nghiên cứu đã phát triển phương pháp Kaplan-Meier và phương pháp tham số hóa địa phương. Phương pháp Kaplan-Meier được xây dựng dựa trên ước lượng Kaplan-Meier cho hàm sống sót, áp dụng cho dữ liệu bán thuần tập (chứa đầy đủ ngày sinh và ngày mất của tất cả quan sát). Phương pháp này mang lại kết quả chính xác cao, có thể được xem như "chuẩn vàng" để kiểm chứng độ chính xác của các phương pháp khác. Phương pháp tham số hóa địa phương áp dụng mô hình phân phối Weibull cho dữ liệu thu gon, cung cấp công thức ước lượng, phương sai, và khoảng tin cậy cho tuổi thọ trung bình, chứng minh ước lượng có phân phối tiệm cận chuẩn.

3.1. Phương pháp Kaplan Meier

Phương pháp Kaplan-Meier là một ước lượng phi tham số của hàm sống sót, được sử dụng rộng rãi trong phân tích sống sót. Phương pháp này không giả định bất kỳ phân phối xác suất nào, do đó rất linh hoạt. Áp dụng cho dữ liệu bán thuần tập, nó cung cấp ước lượng tuổi thọ chính xác nhất.

3.2. Phương pháp tham số hóa địa phương

Phương pháp tham số hóa địa phương kết hợp ưu điểm của phương pháp tham số (có công thức chính xác, khoảng tin cậy) với dữ liệu thu gon. Sử dụng phân phối Weibull, phương pháp này mang lại ước lượng tuổi thọ trung bình hiệu quả và chính xác hơn phương pháp Chiang và Silcocks.

IV. So sánh hiệu quả và áp dụng thực tế

Kết quả áp dụng các phương pháp ước lượng tuổi thọ trung bình trên bộ dữ liệu thực tế FilaBavi cho thấy, phương pháp tham số hóa địa phương cung cấp ước lượng chính xác và hiệu quả hơn so với phương pháp Chiang và phương pháp Silcocks. Phương pháp này không chỉ tính toán được giá trị ước lượng mà còn cung cấp phương sai, khoảng tin cậy, và phân phối tiệm cận chuẩn của ước lượng - những thông tin quan trọng trong phân tích sống sót. Phương pháp Bootstrap, một kỹ thuật thống kê hiện đại đơn giản nhưng hiệu quả, có thể được sử dụng để xác nhận độ tin cậy của các ước lượng. Việc lựa chọn phương pháp ước lượng tuổi thọ trung bình phù hợp tùy thuộc vào loại dữ liệu có sẵn và mục đích nghiên cứu cụ thể.

4.1. Kết quả so sánh thực nghiệm

Trên dữ liệu FilaBavi, phương pháp tham số hóa địa phương cho ước lượng tuổi thọ trung bình gần với giá trị thực tế hơn các phương pháp truyền thống. Sai số ước lượng được giảm đáng kể, chứng minh hiệu quả vượt trội của phương pháp mới trong phân tích sống sót.

4.2. Khuyến nghị lựa chọn phương pháp

Khi có dữ liệu bán thuần tập (đầy đủ ngày sinh-mất), sử dụng phương pháp Kaplan-Meier. Với dữ liệu thu gon, phương pháp tham số hóa địa phương là lựa chọn tối ưu nhất cho ước lượng tuổi thọ trung bình chính xác và hiệu quả.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày các kiến thức chuẩn bị cho luận án: một số kiến thức trong lý thuyết xác suất, mô hình phân tích sống sót, Ước lượng Kaplan-Meier, kiểm định so sánh giữa các hàm sống sót, ước lượng tuổi thọ trung bình theo phương pháp Chiang và Silcocks, phương pháp Boostrap và giới thiệu về bộ số liệu FilaBavi. Nội dung của chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [8], [9], [18], [19] [20], [21], [22],[23], [24].1 Một số kiến thức trong lý thuyết xác suất Trong phần này, chúng tôi trình bày một số kiến thức về sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên và Định lý giới hạn trung tâm được tham khảo từ tài liệu [23].1 Một số khái niệm về sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1 (Hội tụ hầu chắc chắn) Dãy biến ngẫu nhiên (Xn ) được gọi là hội tụ hầu chắc chắn (h.c) đến biến ngẫu nhiên X nếu n o A = ω : lim Xn (ω) ̸= X(ω) có P(A) = 0. n→∞ Rd Rd Định nghĩa 1. Ta nói dãy biến ngẫu nhiên (Xn ) gọi là hội tụ theo phân phối đến biến ngẫu nhiên X nếu dãy hàm phân phối tương ứng (Fn ) hội D tụ yếu đến hàm phân phối F .2 Định lý giới hạn trung tâm Định lý 1.

Pn Đặt Sn = j=1 Xj. Khi đó, Sn − nµ D √ −→ N (0, σ 2 ) n Định nghĩa 1.1 (Phân bố chuẩn nhiều chiều) Véc tơ ngẫu nhiên X = (X1 , X2 ,. , Xd ) được gọi là có phân bố chuẩn nhiều chiều nếu đối với mọi véc tơ hằng số (α1 , α2 ,. , αd ) thì tổ hợp tuyến tính α1 X1 + α2 X2 +.

+ αd Xd đều là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Từ định nghĩa này ta thu được một số kết quả như sau: Mệnh đề 1.1 Nếu véc tơ ngẫn nhiên X = (X1 , X2 ,. , Xd ) có phân phối chuẩn nhiều chiều thì • Mỗi biến ngẫu nhiên Xi , i = 1, 2,. , d đều có phân phối chuẩn.

• Mỗi véc tơ con đều có phân phối chuẩn nhiều chiều. , X n là dãy Rd -véc tơ ngẫu nhiên độc lập, cùng phần phối với véc tơ kì vọng µ = E[Xj ], j = 1, 2,. , d và ma trận hiệp phương sai Σ: Σ = (Σk,l )1≤k,l≤n ,
với Σk,l = Cov Xjk , Xjl , với Xjk là thành phần thứ k của véc tơ Xj .3 (Định lý Slutsky) Giả sử (X n ), (Y n ) là dãy Rd -véc tơ ngẫu nhiên, D P D nếu X n − → X và ∥X n − Y n ∥ → − 0 thì Y n − → X.2 Mô hình phân tích sống sót Nghiên cứu sống sót là sự mô tả của một vòng đời hoặc một quá trình sống trước khi có sự thay đổi về một trạng thái nào đó, tức là có sự kiện xảy ra. Phân tích sống sót được hiểu là các phương pháp để phân tích dữ liệu với biến đầu vào là khoảng thời gian cho tới lúc xảy ra sự kiện được quan tâm, còn được gọi là thời gian sống sót.

Kiểu dữ liệu này có tên gọi là dữ liệu sống sót. • Sự kiện là chỉ sự kiện được quan tâm như: chết, mắc bệnh, thất nghiệp,. • Thời gian được đo bởi ngày, tuần, tháng, năm, .1 Nếu sự kiện mà nghiên cứu quan tâm là bệnh nhân bị đột quỵ tim, thì thời gian sống sót được hiểu là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu nghiên cứu cho tới khi quan sát được bệnh nhân bị đột quỵ tim (có thể tính bằng ngày, tuần, tháng,.1 Các khái niệm cơ bản Giả sử T là biến ngẫu nhiên không âm chỉ thời gian sống sót với hàm phân phối xác suất F (t).1) Nhận thấy,  1 nếu t = 0, S(t) = 0 nếu t = +∞. Theo đó, kì vọng của biến ngẫu nhiên T có thể biểu thị thông qua hàm sống sót Z +∞ Z +∞ E[T ] = tdF (t) = S(t)dt.3) ∆t−→0 ∆t 7 Hàm tỉ suất rủi ro phản ảnh xác suất tức thời để xảy ra sự kiện tại thời điểm t trên một đơn vị thời gian với điều kiện cá thể đó đã sống sót đến thời điểm t.

Hàm h(t) có thể tăng, giảm, là hằng số, hoặc có thể là kết hợp các quá trình đó. Nếu T là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất f (t). Từ công thức (1.4) 0 Có thể chứng minh các hàm trên có mối quan hệ như sau: Rt − 0 h(u)du S(t) = e = e−H(t) ; H(t) = − ln(S(t)); Rt f (t) = h(t)S(t) = h(t)e− 0 h(u)du. Trường hợp đặc biệt: Nếu T là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị t1 < t2 <.

Hàm tỉ suất rủi do được xác định bởi pi h (ti ) = P (T = ti | T ⩾ ti ) =. i:ti ⩽t Hàm sống sót được xác định bởi Y S(t) = [1 − h (ti )] .2 Một số phân phối thông dụng trong lý thuyết phân tích sống sót Do đại lượng chỉ thời gian sống sót là một biến ngẫu nhiên nên việc xác định phân phối của biến ngẫu nhiên này giúp ta có thể tìm hiểu được các vấn đề của lý 8 thuyết thống sót. Trong mục này, chúng tôi xin được trình bày một số phân phối phổ biến được dùng trong lý thuyết phân tích sống sót như: phân phối mũ, phân phối Weibull, phân phối Log–normal, phân phối Gamma. Phân phối mũ Giả sử T ∼ Exp(λ) với hàm mật độ xác suất  λe−λt nếu t ≥ 0, f (t) = 0 nếu t < 0.

Nhận thấy, h(t) = λ là hằng số nên phân phối mũ phù hợp với những sự kiện xảy ra mà không phụ thuộc vào thời gian. Bên cạnh đó, khi xét trong những khoảng tuổi ngắn và sự kiện xảy ra có tính ổn định thì phân phối mũ vẫn được áp dụng. Chẳng hạn, trong nghiên cứu về dân số thì tỉ suất chết, tỉ suất mắc một loại bệnh nào đó có thể coi là hằng số trong những khoảng tuổi đơn lẻ. Ngoài ra, do S(t) = e−λt suy ra ln S(t) = −λt nên ln S(t) là một hàm tuyến tính theo biến t.

Phân phối Weibull Giả sử T ∼ W (λ, k) với hàm mật độ xác suất  kλk tk−1 e−(λt)k , nếu t ≥ 0 f (t) = 0, nếu t < 0. trong đó, λ > 0 là hệ số co dãn, k > 0 là hệ số hình dạng. Nhận thấy, nếu k < 1 thì h(t) là hàm giảm, k = 1 thì h(t) = λ là hằng số, và k > 1 thì h(t) là hàm tăng. Ngoài ra, do H(t) = (λt)k suy ra ln H(t) = k ln λ + k ln t nên H(t) là hàm tuyến tính theo ln(t).

Phân phối Log-normal Giả sử X ∼ LN (µ, σ 2 ) với hàm mật độ xác suất 1 − −(ln t−µ)2 f (t) = √ e 2σ 2 , t > 0. tσ 2π 9 Khi đó ln t − µ   S(t) = 1 − ϕ ; σ 1 ln t−µ
f (t) φ h(t) = = tσ σ ln t−µ
, S(t) 1 − ϕ σ với ϕ(t), φ(t) làm hàm phân phối xác suất, hàm mật độ xác suất của phân phối chuẩn tắc. Nhận thấy, hàm h(t) trong phân phối Log-normal có tính chất tăng mạnh tới giá trị cực đại trong khoảng thời gian đầu, sau đó sẽ giảm dần về 0 khi thời gian tiến đến vô tận, nên phân phối Log-normal phù hợp với những mô hình sống sót có hàm h(t) tăng mạnh lúc đầu, và sau đó giảm dần. Phân phối Gamma Giả sử X ∼ Gamma(γ, λ), với với hàm mật độ xác suất γ λ γ−1 −λt f (t) = t e , t > 0, Γ(γ) với λ > 0 là hệ số co dãn, γ > 0 là hệ số hình dạng, và Z +∞ Γ(γ) = tγ−1 e−t dt.

0 Khi đó tγ−1 e−t h(t) = , Γ(γ)[1 − F (t)] với F (t) là hàm phân phối xác suất của X. Nhận thấy, nếu γ < 1 thì h(t) là hàm giảm, γ = 1 thì h(t) là hằng số, và γ > 1 thì h(t) là hàm tăng.3 Dữ liệu mất theo dõi Trong lý thuyết phân tích sống sót, thời gian sống sót là khoảng thời gian tính từ thời điểm theo dõi cho tới lúc xáy ra sự kiện. Tuy nhiên, các quan sát trong quá trình nghiên cứu có thể bị mất theo dõi vì nhiều lý do khác nhau, do vậy tình huồng sự kiện được quan tâm có thể không xảy ra trong quá trình theo dõi, chính vì vậy thông tin về thời gian sống sót của quan sát đó là không đầy đủ. Khi đó, khoảng thời gian mà ta quan sát được của mỗi cá thể mất theo dõi gọi là thời gian cho đến mất theo dõi.

Sự kiện mất theo dõi được chia cơ bản làm 2 loại: mất theo dõi bên phải, mất 10 Hình 1.1: Minh họa về dữ liệu mất theo dõi. theo dõi bên trái. Mất theo dõi bên phải: Là trường hợp xảy ra khi cá thể quan sát rời khỏi nghiên cứu (quá trình theo dõi) trước khi sự kiện được quan tâm xảy ra hoặc trong trường hợp khi nghiên cứu kết thúc mà sự kiện quan tâm vẫn chưa xảy ra. Nếu T là thời gian sống sót, C là thời gian cho đến mất theo dõi thì T > C.

Trong quan sát thực nghiệm, các quan sát mất theo dõi thường ở trường hợp mất theo dõi bên phải. Mất theo dõi bên trái: Là trường hợp sự kiện cần kiểm duyệt trước khi đưa vào theo dõi lại xảy ra trước khi quan sát đó được theo dõi, nhưng không biết chính xác thời điểm xảy ra sự kiện này. Nếu T là thời gian sống sót, C là thời gian cho đến mất theo dõi thì T < C. Mất theo dõi bên trái thường xảy ra ở những nghiên cứu gồm hai giai đoạn riêng biệt.

Những quan sát đăng ký vào quá trình lựa chọn đầu tiên nhưng không đủ điều kiện cho quy trình thứ hai.2 Thực hiện nghiên cứu trên 5 bệnh nhân nhằm xem xét thời gian từ lúc mắc bệnh cho đến lúc xảy ra sự kiên chết.1, kí hiệu TO và TC là thời điểm bắt đầu và thời điểm kết thúc nghiên cứu, D là bệnh nhân tử vong, A là bệnh nhân vẫn còn sống trong suốt thời gian nghiên cứu, L là bệnh nhân vẫn còn sống đến thời điểm TL. Khi đó, 11 • Bệnh nhân 1, 2 là xảy ra sự kiện chết trong khoảng thời gian theo dõi với thời gian sống sót được xác định trọn vẹn trong khoảng thời gian nghiên cứu.