Chương 1 CƠ SỞ L LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI 1. Tổng quan một số nghiên cứu ngoài nƣớc Từ đầu thế kỷ XVIII, đã có nhiều công bố về các phƣơng pháp tiếp cận lý thuyết thẩm mỹ một cách đầy đủ của vẻ đẹp trong khoa học và toán học. Baumgarten đã giới thiệu thuật ngữ thẩm mỹ để miêu tả những vấn đề liên quan đến cái đẹp mà bây giờ chúng ta coi là cách tiếp cận triết học về vẻ đẹp và nghệ thuật.
Sự kiện này đã đánh dấu cho sự ra đời của thẩm mỹ học hiện đại. Shaftesbury và Hutchenson là hai đại diện của trƣờng phái thẩm mỹ lúc bấy giờ đã cho rằng toán học có vẻ đẹp đặc sắc (xem [135]). Nhà triết học ngƣời Scotland, Francis Hutcheson (1694-1785), có công trình nghiên cứu về nguồn gốc của những ý tƣởng về vẻ đẹp và đức hạnh. Ông đã xác định các đặc điểm sau của vẻ đẹp thẩm mỹ trong khoa học (xem [135]), đó là: - Thống nhất trong đa dạng; - Lý tƣởng về sự phổ quát của các sự thật khoa học; - Tìm ra sự thật không bị chệch hƣớng, phán đoán về những gì cần phải chứng minh.
Nhà toán học Pháp H. Poincaré (1854-1912) nói: “Nhà khoa học không nghiên cứu tự nhiên vì mục đích vị lợi. Ông ta nghiên cứu vì tìm thấy trong công việc sự thích thú và tìm thấy sự thích thú bởi tự nhiên rất đẹp. Nếu tự nhiên không đẹp thì nó không đáng đƣợc nghiên cứu, và cuộc sống cũng không đáng để sống nữa”.
Poincaré còn bổ sung cho định nghĩa về cái đẹp khoa học nhƣ sau: “Tôi nói đến cái đẹp thầm kín nảy sinh từ sự hài hòa giữa các bộ phận mà một trí tuệ thuần khiết có thể cảm nhận được” (xem [4]). Albert Einstein (1879-1955) cũng đã viết ở đoạn cuối bài báo về Thuyết tƣơng đối rộng rằng: “Tất cả những ai hiểu về lý thuyết này sẽ không thoát khỏi ma lực của nó”. “Trật tự hài hòa”, “Tính đơn giản”, “Sự nhất quán”, “Ma lực”. Đó tất cả những gì để định nghĩa “cái đẹp” trong khoa học (xem [100]).
Vẫn theo Einstein, khoa học ở mức độ cao nhất phải dựa trên sự đơn giản và đẹp. 10 Trong cuốn sách có tựa đề “Vẻ đẹp toán học”, nhà toán học Trung Quốc Ngô Quân [139] cho rằng: Thẩm mỹ là một sản phẩm của việc thực hành sáng tạo do con ngƣời tạo ra, là động lực tinh thần cho quá trình làm việc của con ngƣời. Thông thƣờng những gì chúng ta gọi là thẩm mỹ thì nó đƣợc tồn tại trong vẻ đẹp tự nhiên, vẻ đẹp xã hội và vẻ đẹp nghệ thuật trên cơ sở các hình thức khoa học về cái đẹp. Vẫn theo Ngô Quân [139]: “Vẻ đẹp của toán học là một sự phản ánh khách quan của vẻ đẹp tự nhiên, là cốt lõi của vẻ đẹp khoa học”.
Nhƣ vậy, hầu hết các nhà khoa học nói trên đã khẳng định rằng khoa học có một vẻ đẹp nhất định và vẻ đẹp trong khoa học chính là sự tiếp thu kiến thức mới, trong việc khám phá những sự thật mới có tính khách quan, khám phá sự hài hòa và trật tự, làm giảm sự phức tạp để trở nên đơn giản. Đặc trƣng của vẻ đẹp trong khoa học là sự di chuyển liên tục về phía trƣớc, hay đúng hơn là hƣớng lên tầm cao mới của sự thật và tính đúng đắn có tính phổ quát. Trong nghiên cứu, một số nhà toán học thƣờng hay sử dụng những từ nhƣ “vẻ đẹp” và sự “thanh lịch” để nói về toán học, đôi khi họ cũng có những ĐG về các phƣơng pháp chứng minh nhƣ là “tao nhã” hay “đẹp”… Hầu hết các nhà toán học nhận thấy niềm vui sẽ đến từ tính thẩm mỹ trong công việc của họ và toán học nói chung. Họ mô tả toán học là đẹp để diễn tả niềm vui này, là một hình thức của nghệ thuật, hoặc đôi khi là một hoạt động sáng tạo.
Bên cạnh đó âm nhạc và thơ ca cũng thƣờng đƣợc sử dụng vào việc so sánh với vẻ đẹp toán học. Thuật ngữ thẩm mỹ toán học (tiếng Anh: mathematical aesthetic) và vẻ đẹp toán học (tiếng Anh: mathematical beauty) đã đƣợc các nhà triết học, nhà khoa học, nhà toán học thời Hy Lạp cổ đại nhƣ Plato, Aristotle, Euclid, Ptolemy, Apolonius, Boethius, Pythagore, Gauss, Jacobi, Albert Einstein,. đề cập nhiều trong các công trình nghiên cứu về triết học và toán học. Trên cơ sở nghiên cứu các tác phẩm của Euclid, Ptolemy và kế thừa quan điểm của Plato, nhà triết học Boethius cho rằng có một liên kết rất tự nhiên giữa vẻ đẹp và toán học.
Do đó, không cần phải giải thích thêm về thuật ngữ vẻ đẹp toán học [135, pp. Các trƣờng phái Pythagore đã đề cập đến mối quan hệ giữa toán học và thẩm mỹ và quan niệm rằng: “Vẻ đẹp toán học chính là sự hài hòa và tỉ lệ”. 11 Galileo – ngƣời đã có những đóng góp cơ bản cho khoa học về chuyển động bằng cách kết hợp một cách sáng tạo giữa toán học và tự nhiên, cho rằng “Tự nhiên là cuốn sách đƣợc viết bởi ngôn ngữ toán học, ký tự của nó là những hình tam giác, hình tròn, và các đƣờng hình học khác. Tiếp đến, vẻ đẹp toán học đã đƣợc nhiều tác giả trên thế giới quan tâm nghiên cứu.
Có thể kể đến các bài báo và các dòng sách về vẻ đẹp toán học của các tác giả tiêu biểu: G. Trên cơ sở tiếp cận thẩm mỹ trong DH toán, Nathalie Sinclair [132], trong cuốn sách Toán học và vẻ đẹp (Mathematics and beauty) đã dựa trên cả hai lĩnh vực triết học và TN để làm nền tảng nghiên cứu mối quan hệ đan xen cơ bản của các khía cạnh nhận thức, cảm xúc và thẩm mỹ thông qua trải nghiệm của con ngƣời. Từ đó tác giả phân tích, tổng hợp các lý thuyết về thẩm mỹ toán học và chỉ ra, khai thác vẻ đẹp toán học trong một số tình huống cụ thể của toán học nhằm khơi gợi xúc cảm thẩm mỹ và phát triển khả năng ĐG thẩm mỹ cho HS. Để ĐG và đo lƣờng giá trị thẩm mỹ của một đối tƣợng toán học, G.
Birkhoff O [115] đã đề xuất công thức M , trong đó M giá trị thẩm mỹ của đối tƣợng, O là C thƣớc đo trật tự và hài hòa, C là thƣớc đo độ phức tạp. Từ công thức, nếu tăng trật tự và sự hài hòa sẽ làm tăng giá trị thẩm mỹ và nếu tăng độ phức tạp thì sẽ làm giảm đi giá trị thẩm mỹ của đối tƣợng. Theo Nathalie Sinclair [132, pp. 180], sự khó khăn trong việc đo O và C đã làm cho công thức này không phát huy tốt tác dụng trên thực tế.
Một cách tiếp cận khác để ĐG thẩm mỹ của một đối tƣợng toán học đã đƣợc đề xuất bởi nhà toán học ngƣời Nga V. Công thức đề xuất bao gồm một đẳng cấu giữa một đối tƣợng toán học và mô hình trực quan của nó, tính đơn giản của mô hình và sự xuất hiện bất ngờ của mô hình. Theo tác giả này: “Vẻ đẹp chính bằng sự tìm kiếm cộng với tính bất ngờ”. 12 Trong một bài giảng năm 1933 tại Đại học Oxford, Einstein cho biết vẻ đẹp toán học dẫn đƣờng cho ông trong công việc của một nhà Vật lý lý thuyết.
Theo Einstein: Khoa học ở mức độ cao nhất phải dựa trên sự đơn giản và đẹp. Cái đẹp là trƣờng tồn. Các phƣơng trình đẹp cũng vậy, chúng luôn đúng vì phản ánh những gì vốn có của thế giới tự nhiên, chỉ có điều có thể trƣớc đó bị ẩn đi. Theo Ulianov Montano [135] những nghiên cứu sâu sắc về khám phá và cảm thụ vẻ đẹp toán học ở thế kỉ XVIII nổi lên có hai quan điểm với hai xu hƣớng tiếp cận khác nhau: - Shaftesbury và Hutchenson đại diện cho quan điểm thứ nhất cho rằng: Vẻ đẹp toán học bao gồm các tính chất nội tại của một số khái niệm toán học, và do đó nó độc lập với ngƣời tiếp cận và thời gian phát triển của lịch sử.
Rota đại diện cho quan điểm thứ hai cho rằng: Vẻ đẹp toán học là một sự chủ quan của ngƣời tiếp cận. Nếu các khái niệm toán học nhất định thể hiện những giá trị theo các tiêu chí thẩm mỹ khác nhau của ngƣời tiếp cận thì việc cảm nhận và ĐG vẻ đẹp toán học sẽ khác nhau. Vì vậy, vẻ đẹp toán học phụ thuộc phần lớn vào ngƣời tiếp cận và thời gian của lịch sử. Trong bài báo đƣợc đăng tải năm 1997 có tựa đề “Hiện tượng của vẻ đẹp toán học” G.
Rota [134] đã công bố nhiều kết quả quan trọng xung quanh việc nghiên cứu những vấn đề liên quan đến vẻ đẹp toán học. Trong bài báo này, G. Rota đã đƣa ra những phân tích chặt chẽ về vẻ đẹp toán học thay cho những lí luận mà ông cho là nhàm chán và vô căn cứ trong những tài liệu liên quan trƣớc đó. Rota đã cố gắng tìm ra những minh chứng thích hợp cho việc sử dụng cụm từ “vẻ đẹp toán học” trên cơ sở nhiều lý thuyết về thực tiễn toán học.
Ông kết luận rằng: “Chúng ta nghĩ những trường hợp của vẻ đẹp toán học như thể chúng ta được lĩnh hội bởi sự nhận biết tức thì trong khoảnh khắc của sự thật, giống như một bóng đèn bật sáng. Tất cả nỗ lực để hiểu được phép chứng minh nếu cách phát biểu này có ý nghĩa nào đó, với mọi khó khăn chúng ta gặp khi theo đuổi một kết quả phức tạp của các suy luận lôgic, tất cả những đặc điểm này sẽ biến mất ngay khi chúng ta nhận biết vẻ đẹp của một định lí toán học và những gì sẽ còn lưu lại trong trí nhớ của quá trình học tập của chúng ta là hình ảnh của một ánh chớp suy nghĩ của nội tâm, của một tia sáng bất chợt”. 13 Một quan điểm khác, theo Carlo Cellucci [116], cách tiếp cận của G. Rota đối với vẻ đẹp toán học có một số hạn chế về mặt chủ quan của ngƣời tiếp cận.
Carlo Cellucci cho rằng, vẻ đẹp đóng một vai trò tích cực trong sự phát triển của toán học vì thiếu đi vẻ đẹp trong một mảng của toán học là thiếu đi một động lực mạnh mẽ cho việc nghiên cứu toán học. Nhƣng đôi khi việc tìm kiếm vẻ đẹp có thể là một trở ngại cho sự phát triển của khoa học. Serge Lang nhà toán học thiên tài và là nhà sƣ phạm lỗi lạc ngƣời Mỹ cũng là một tác giả nghiên cứu về vẻ đẹp toán học. Năm 1985, ông đã xuất bản cuốn sách với tựa đề The Beauty of Doing Mathematics (Vẻ đẹp của làm toán) dƣới dạng đối thoại (xem [129]).