Tổng quan về luận án

Lý thuyết hệ động lực không ôtônôm (nonautonomous dynamical systems) đóng vai trò nền tảng trong toán học hiện đại và khoa học ứng dụng khi mô hình hóa các quá trình vật lý, sinh học, kinh tế và kỹ thuật chịu tác động của các yếu tố ngoại cảnh biến thiên theo thời gian hoặc yếu tố ngẫu nhiên. Trong nghiên cứu định tính các hệ phương trình vi phân và sai phân không ôtônôm, phổ nhị phân mũ (exponential dichotomy spectrum), hay còn gọi là phổ Sacker - Sell do Robert Sacker và George Sell phát triển từ năm 1978, là công cụ then chốt để khảo sát tính ổn định, cấu trúc đa tạp bất biến, dạng chuẩn tắc và hiện tượng rẽ nhánh. Luận án tiến sĩ toán học "Bài toán gán phổ nhị phân mũ và tuyến tính hóa cho hệ động lực không ôtônôm" của nghiên cứu sinh Lê Viết Cường (chuyên ngành Phương trình vi phân và tích phân, mã số 9 46 01 03, thực hiện tại Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. Đoàn Thái Sơn) giải quyết hai bài toán mở mang tính cốt lõi trong lý thuyết định tính và lý thuyết điều khiển hiện đại.

Khoảng trống nghiên cứu (research gap) mà luận án giải quyết bao gồm:

  1. Thiếu vắng các điều kiện cần và đủ mang tính giải tích - cấu trúc để giải quyết trọn vẹn bài toán gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính có hệ số phụ thuộc thời gian (cả trong trường hợp liên tục và rời rạc), vốn phức tạp hơn rất nhiều so với định lý gán điểm cực (pole placement) cổ điển của Wonham (1967) trên hệ ôtônôm.
  2. Giới hạn của Định lý tuyến tính hóa Hartman - Grobman mở rộng bởi Kenneth Palmer (1973), vốn chỉ thiết lập tính tương đương topo ($C^0$-conjugacy) thông qua một đồng phôi, chưa trả lời được bài toán về tính trơn khả vi bậc cao ($C^k$-smoothness với $k \ge 1$) của phép biến đổi tuyến tính hóa trong lân cận điểm cân bằng hyperbolic đối với hệ vi phân phi tuyến không ôtônôm.

Luận án thiết lập và giải quyết ba câu hỏi nghiên cứu tường minh:

  • Câu hỏi 1a: Đối với hệ điều khiển vi phân tuyến tính không ôtônôm $\dot{x}(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)$, liệu có thể tìm được điều khiển phản hồi tuyến tính $u(t) = F(t)x(t)$ với $F(t)$ là hàm ma trận liên tục từng khúc để gán phổ nhị phân mũ tùy ý cho hệ khép kín $\dot{x}(t) = (A(t) + B(t)F(t))x(t)$ hay không?
  • Câu hỏi 1b: Đối với hệ điều khiển sai phân tuyến tính không ôtônôm $x_{n+1} = A_n x_n + B_n u_n$, với dãy $(A_n)$ khả nghịch bị chặn, tồn tại hay không dãy điều khiển phản hồi $u_n = U_n x_n$ để gán phổ nhị phân mũ của hệ $x_{n+1} = (A_n + B_n U_n)x_n$?
  • Câu hỏi 2: Khi mở rộng Định lý Hartman - Grobman cho phương trình vi phân không ôtônôm $\dot{x}(t) = A(t)x(t) + f(t, x)$, trong điều kiện phổ nhị phân mũ thỏa mãn các tiêu chuẩn không cộng hưởng (non-resonance), tính trơn khả vi cấp $C^k$ của đồng phôi tuyến tính hóa $H(t, x)$ được xác định và chứng minh như thế nào?

Khung lý thuyết của công trình tích hợp chặt chẽ giữa Lý thuyết phổ Sacker - Sell, Lý thuyết tính điều khiển được đều (uniform controllability), Lý thuyết phép biến đổi Lyapunov và Lý thuyết dạng chuẩn tắc (normal forms). Phạm vi khảo sát bao quát không gian trạng thái $d$ chiều $\mathbb{R}^d$ trên trục thời gian liên tục $J \subseteq \mathbb{R}$ và thời gian rời rạc $n \in \mathbb{Z}$, với các không gian hàm ma trận khả tích, bị chặn và liên tục từng khúc $L^\infty(J, \mathbb{R}^{d\times d})$, $KC^{d,m}(J)$, cùng không gian dãy ma trận khả nghịch bị chặn $LLya(\mathbb{Z}, \mathbb{R}^{d\times s})$. Công trình đã công bố thành công 04 bài báo trên các tạp chí quốc tế chuyên ngành uy tín trong danh mục ISI/Scopus, khẳng định tính tiên phong và chất lượng khoa học xuất sắc.

Literature Review và Positioning

Lịch sử phát triển của lý thuyết định tính hệ động lực bắt đầu từ các công trình kinh điển của Aleksandr Lyapunov (1892), Henri Poincaré (1899), sau đó được phát triển mạnh mẽ cho hệ ôtônôm qua định lý tuyến tính hóa topo của Philip Hartman (1960) và David Grobman (1959). Để nâng bậc tính trơn của phép tuyến tính hóa cho hệ ôtônôm, Shlomo Sternberg (1957, 1958) đã công bố định lý nổi tiếng về $C^k$-tương đương trơn cục bộ dựa trên các điều kiện không cộng hưởng giữa các giá trị riêng của ma trận Jacobian.

Đối với hệ không ôtônôm, cấu trúc phổ phức tạp hơn rất nhiều do tính chất biến thiên theo thời gian của toán tử tiến hóa $\Phi_A(t, s)$. Robert Sacker và George Sell (1978) đã tạo ra bước ngoặt lý thuyết khi giới thiệu phổ nhị phân mũ $\Sigma_{ED}(A)$, chứng minh phổ trên $\mathbb{R}$ là hợp của tối đa $d$ đoạn đóng rời nhau: $$\Sigma_{ED}^J(A) = [a_1, b_1] \cup [a_2, b_2] \cup \dots \cup [a_\ell, b_\ell], \quad \ell \le d$$ kéo theo sự phân hoạch không gian pha thành tổng trực tiếp của các không gian vector con bất biến $\mathbb{R}^d = W_1(s) \oplus W_2(s) \oplus \dots \oplus W_\ell(s)$.

Trên cơ sở phổ Sacker - Sell, Kenneth Palmer (1973, 1979) mở rộng thành công Định lý Hartman - Grobman cho phương trình vi phân không ôtônôm với điều kiện $0 \notin \Sigma_{ED}(A)$. Tiếp tục dòng chảy này, Stefan Siegmund (2002) xây dựng lý thuyết dạng chuẩn tắc cho hệ không ôtônôm, và Christian Pötzsche cùng Martin Rasmussen (2006, 2010) phát triển lý thuyết rẽ nhánh phi ôtônôm.

Mặc dù vậy, y văn quốc tế tồn tại hai cuộc tranh luận và hạn chế học thuật lớn:

  • Tranh luận 1: Khả năng kiểm soát phổ nhị phân mũ dưới tác động điều khiển phản hồi. Trong khi hệ ôtônôm có thể gán điểm cực tùy ý khi và chỉ khi hệ điều khiển được (theo Tiêu chuẩn Kalman và Định lý Wonham), thì trên hệ không ôtônôm, sự biến thiên thời gian triệt tiêu tính bất biến của không gian riêng. Các công trình quốc tế trước đây của Ilchmann (1993) hay Hinrichsen và Pritchard (2005) mới dừng lại ở việc ổn định hóa tiệm cận hoặc chuyển dịch cận phổ trên, chưa đưa ra được điều kiện cần và đủ để gán chính xác cấu trúc đoạn phổ cho cả hệ liên tục và hệ sai phân rời rạc.
  • Tranh luận 2: Tính trơn của phép biến đổi tuyến tính hóa không ôtônôm. Phép biến đổi topo của Palmer chỉ bảo tồn cấu trúc quỹ đạo liên tục ($C^0$). Việc xây dựng định lý tương đương trơn ($C^k$, $k \ge 1$) kiểu Sternberg cho hệ không ôtônôm vấp phải rào cản kỹ thuật nghiêm trọng do thiếu tính compact của quỹ đạo và tính phụ thuộc thời gian phức tạp của các điều kiện cộng hưởng.

Luận án của Lê Viết Cường định vị chính xác vào giao điểm của hai khoảng trống trên, vượt lên các giới hạn của Palmer (1973) và Siegmund (2002) để cung cấp lời giải toàn diện cho bài toán gán phổ và hoàn thiện Định lý Sternberg trơn khả vi cấp cao cho phương trình vi phân không ôtônôm.

Đóng góp lý thuyết và khung phân tích

Đóng góp cho lý thuyết

Luận án mở rộng và phát triển vượt bậc lý thuyết định tính phương trình vi phân và lý thuyết điều khiển toán học:

  1. Mở rộng Lý thuyết phổ Sacker - Sell trong Điều khiển học: Thiết lập tiêu chuẩn tương đương hoàn chỉnh giữa tính điều khiển được đều (uniform controllability) và khả năng gán phổ nhị phân mũ. Luận án chứng minh rằng với một hệ điều khiển tuyến tính không ôtônôm liên tục $\dot{x}(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)$ hoặc rời rạc $x_{n+1} = A_n x_n + B_n u_n$, tính điều khiển được đều chính là điều kiện cần và đủ để tồn tại ma trận phản hồi tuyến tính ($F(t)$ hoặc $U_n$) sao cho hệ khép kín nhận một phổ nhị phân mũ định trước thỏa mãn các khoảng cách phổ mong muốn.
  2. Xây dựng phiên bản không ôtônôm hoàn chỉnh cho Định lý Sternberg: Mở rộng định lý kinh điển của Shlomo Sternberg sang bối cảnh phụ thuộc thời gian. Luận án chỉ ra rằng nếu hệ tuyến tính $\dot{x} = A(t)x$ có nhị phân mũ và phổ Sacker - Sell $\Sigma_{ED}(A) = \bigcup_{i=1}^\ell [a_i, b_i]$ thỏa mãn điều kiện không cộng hưởng bậc $k$ (nghĩa là không tồn tại bộ chỉ số nguyên không âm $(m_1, \dots, m_\ell)$ với $\sum m_j \ge 2$ sao cho các khoảng phổ bị chồng lấn dưới tổ hợp tuyến tính), thì tồn tại phép biến đổi vi phôi cục bộ lớp $C^k$ đưa hệ phi tuyến $\dot{x} = A(t)x + f(t, x)$ về đúng dạng tuyến tính $\dot{y} = A(t)y$.

Khung phân tích độc đáo

Khung phân tích của luận án được xây dựng dựa trên sự liên kết đa tầng giữa ba lý thuyết toán học thuần túy:

  • Phép biến đổi Lyapunov động lực: Sử dụng phép biến đổi khả nghịch trơn $T(t)$ sao cho $T, T^{-1}, \dot{T}$ đều bị chặn, tuân theo phương trình vi phân ma trận kinematic: $$\dot{T}(t) = N(t)T(t) - T(t)M(t)$$ nhằm chéo hóa hệ thống thành các khối tam giác trên tương ứng với từng đoạn phổ $[\alpha_i, \beta_i]$.
  • Không gian triệt tiêu $O_{\text{flat}}(A)$: Kỹ thuật làm phẳng các đa tạp bất biến và loại bỏ các thành phần đơn thức phi tuyến không cộng hưởng thông qua việc giải các phương trình hàm đồng học (homological equations) không ôtônôm.
  • Cơ chế chuyển tiếp vi phân - sai phân: Thiết lập hệ sai phân liên kết (associated difference system) để chuyển đổi bài toán tìm nghiệm trơn của phương trình đạo hàm riêng phụ thuộc thời gian về việc giải phương trình sai phân toán tử tiến hóa trên các lát cắt thời gian nguyên $\mathbb{Z}$, sau đó mở rộng bằng phương pháp đường (extended path method).

Phương pháp nghiên cứu tiên tiến

Thiết kế nghiên cứu

Luận án vận dụng lập trường nhận thức luận diễn dịch toán học chặt chẽ (mathematical deductive paradigm), dựa trên tiên đề hóa và chứng minh giải tích chuẩn mực. Thiết kế nghiên cứu phân tầng cấu trúc:

  • Tầng 1 (Toán tử vi phân liên tục): Không gian Banach các ma trận hàm bị chặn $L^\infty(J, \mathbb{R}^{d\times d})$ và toán tử tiến hóa giải tích $\Phi_A(t, s)$.
  • Tầng 2 (Toán tử sai phân rời rạc): Dãy ma trận thuộc lớp Lyapunov $LLya(\mathbb{Z}, \mathbb{R}^{d\times s})$ với chuẩn toán tử chặn trên và chặn dưới.
  • Tầng 3 (Đa tạp khả vi phi tuyến): Không gian các ánh xạ trơn $C^k(\mathbb{R}^d, \mathbb{R}^d)$ có đạo hàm Fréchet bị chặn đều theo tham số thời gian $t$.

Quy trình nghiên cứu rigorous

Quy trình chứng minh được thực hiện qua các bước chuẩn hóa toán học không thể đảo ngược:

Tiêu chuẩn kiểm định tính chân lý (internal validity & mathematical rigor) được bảo đảm bằng việc thiết lập các bất đẳng thức tiên nghiệm (a priori estimates), đánh giá chuẩn trong không gian hàm Hölder/Sobolev, và chứng minh tính hội tụ đều của các chuỗi hàm nghiệm.

Data và phân tích

Trong nghiên cứu giải tích thuần túy, đối tượng "dữ liệu" là cấu trúc định lượng của các hệ phương trình ma trận và toán tử:

  • Phân tích phổ một chiều cụ thể: Nghiên cứu hệ vô hướng $\dot{x} = m(t)x$, phổ nhị phân mũ được tính toán chính xác tuyệt đối qua hai giới hạn tích phân: $$a := \liminf_{t-s \to \infty} \frac{1}{t-s} \int_s^t m(\tau) d\tau, \quad b := \limsup_{t-s \to \infty} \frac{1}{t-s} \int_s^t m(\tau) d\tau$$ với phổ chính xác là đoạn $\Sigma_{ED}^J(m) = [a, b]$.
  • Đánh giá tính bền vững (Robustness Checks): Cấu trúc phổ và tính khả vi $C^k$ được kiểm tra tính bất biến dưới các nhiễu loạn ma trận nhỏ theo chuẩn tích phân và chuẩn sup $\sup_{t} |A(t) - \tilde{A}(t)| < \varepsilon$.

Phát hiện đột phá và implications

Những phát hiện then chốt

Luận án mang lại 4 kết quả đột phá với các chứng minh giải tích nguyên gốc:

  1. Điều kiện cần và đủ cho Gán phổ hệ liên tục: Cho hệ $\dot{x} = A(t)x + B(t)u(t)$ với $A \in L^\infty, B \in KC^{d,m}$. Hệ là gán được phổ nhị phân mũ khi và chỉ khi cặp ma trận $(A(t), B(t))$ là điều khiển được đều (uniformly controllable). Khi đó, với mọi tập hợp gồm $\ell \le d$ đoạn đóng rời rạc cho trước $\bigcup_{i=1}^\ell [\alpha_i, \beta_i]$, luôn tồn tại $F \in KC^{m,d}$ sao cho $\Sigma_{ED}(A + BF) = \bigcup_{i=1}^\ell [\alpha_i, \beta_i]$.
  2. Điều kiện cần và đủ cho Gán phổ hệ rời rạc: Đối với hệ sai phân $x_{n+1} = A_n x_n + B_n u_n$, luận án giải quyết trọn vẹn tiêu chuẩn khả gán phổ nhị phân mũ rời rạc thông qua tính điều khiển được đều của dãy ma trận, loại bỏ hoàn toàn các giả thiết hạn chế về tính tuần hoàn hay tính gần tuần hoàn của hệ số.
  3. Thiết lập Định lý Sternberg cho phương trình vi phân không ôtônôm: Luận án chứng minh rằng tính tương đương trơn $C^k$ hoàn toàn đạt được trong lân cận điểm cân bằng hyperbolic mà không cần điều kiện hệ số ôtônôm. Đây là bước nhảy vọt so với định lý Palmer $C^0$.
  4. Phát hiện hiện tượng dịch chuyển phổ dưới điều khiển phản hồi: Chỉ ra cơ chế hình học của việc biến đổi không gian con phổ $W_i(s)$ thông qua phản hồi trạng thái, chứng minh rằng phản hồi có thể làm co cụm hoặc kéo giãn độ rộng của các dải phổ $[a_i, b_i]$.

Implications đa chiều

  • Ý nghĩa Lý thuyết: Hoàn thiện bức tranh phân loại topo và vi phân cho hệ động lực phi ôtônôm, thiết lập cầu nối vững chắc giữa Giải tích hàm, Lý thuyết phổ và Hình học vi phân.
  • Ý nghĩa Phương pháp luận: Đưa ra khung kỹ thuật "Hệ sai phân liên kết kết hợp Phương pháp đường" như một phương pháp luận mẫu mực để giải quyết các bài toán biên và bài toán tương đương trơn cho phương trình vi phân có hệ số phụ thuộc thời gian.
  • Ý nghĩa Thực tiễn & Kỹ thuật: Ứng dụng trực tiếp vào kỹ thuật điều khiển các hệ thống cơ điện tử, hàng không vũ trụ, mạng lưới điện thông minh – nơi các tham số môi trường liên tục biến đổi theo thời gian và đòi hỏi thuật toán phản hồi tự thích nghi bảo đảm ổn định mũ.

Limitations và Future Research

Tác giả luận án duy trì thái độ khách quan học thuật khi chỉ rõ các giới hạn biên của công trình:

  1. Giới hạn về số chiều không gian: Nghiên cứu giới hạn trên không gian trạng thái hữu hạn chiều $\mathbb{R}^d$; các kết quả chưa được mở rộng trực tiếp sang không gian vô hạn chiều (phương trình đạo hàm riêng phân tán - PDE hoặc phương trình vi phân trễ trong không gian Banach).
  2. Điều kiện chặn của hệ số ma trận: Các ma trận hệ số $A(t), B(t)$ bắt buộc phải thuộc lớp bị chặn đều cốt yếu ($L^\infty$ hoặc $KC^{d,m}$). Luận án chưa xử lý các trường hợp hệ số có kỳ dị vô hạn (unbounded operators).
  3. Bản chất địa phương của phép tuyến tính hóa: Định lý Sternberg được chứng minh trong lân cận địa phương của điểm cân bằng hyperbolic $x=0$, chưa mở rộng thành định lý tuyến tính hóa toàn cục (global linearization).

Chương trình nghiên cứu 10 năm tiếp theo mở ra 4 hướng đi chiến lược:

  • Hướng 1: Mở rộng bài toán gán phổ nhị phân mũ cho phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi ôtônôm (parabolic / hyperbolic PDEs) với toán tử vi phân không bị chặn.
  • Hướng 2: Nghiên cứu tuyến tính hóa trơn $C^k$ cho hệ động lực ngẫu nhiên (random dynamical systems) có nhiễu trắng/nhiễu màu Ito-Stratonovich.
  • Hướng 3: Xây dựng thuật toán số tính toán xấp xỉ ma trận phản hồi $F(t)$ tối ưu cho các bài toán kỹ thuật điều khiển thực tế quy mô lớn.
  • Hướng 4: Khảo sát bài toán gán phổ không ôtônôm cho các hệ điều khiển chuyển mạch (switched systems) và hệ lai (hybrid dynamical systems).

Tác động và ảnh hưởng

  • Tác động Học thuật: Công trình đóng góp vào kho tàng toán học Việt Nam và quốc tế 04 công trình khoa học chất lượng cao, cung cấp công cụ tham chiếu chuẩn cho các nhà toán học nghiên cứu lý thuyết phổ và hệ động lực trên thế giới; tiềm năng trích dẫn cao trong các chuyên khảo về Nonautonomous Systems và Control Theory.
  • Ảnh hưởng Công nghệ & Công nghiệp: Cung cấp cơ sở toán học tất định để thiết kế các bộ điều khiển phản hồi bền vững trong kỹ thuật robot tự hành, hệ thống lái tự động của phương tiện bay không người lái (UAV), và các kết cấu công trình chịu tải trọng động học ngẫu nhiên (gió, động đất).
  • Hội thảo & Báo cáo chuyên ngành: Các kết quả cốt lõi đã được báo cáo và thẩm định nghiêm ngặt tại:
    • Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ IX (Nha Trang).
    • Hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 18 (Hòa Lạc, Hà Nội).
    • Các seminar khoa học chuyên đề tại Viện Toán học (Viện Hàn lâm KH&CN Việt Nam) và Trường Đại học Xây dựng Hà Nội.

Đối tượng hưởng lợi

Câu hỏi chuyên sâu

1. Đóng góp lý thuyết độc đáo nhất của luận án là gì và đã mở rộng lý thuyết nào?

Đóng góp độc đáo nhất là việc thiết lập và chứng minh thành công Định lý Sternberg về tuyến tính hóa trơn $C^k$ cho hệ phương trình vi phân không ôtônôm, mở rộng trực tiếp định lý kinh điển của Shlomo Sternberg (1957) từ hệ ôtônôm sang hệ phụ thuộc thời gian, đồng thời nâng cấp bản chất tương đương topo $C^0$ trong công trình của Kenneth Palmer (1973) lên mức tương đương vi phôi $C^k$ trơn ($k \ge 1$).

2. Điểm mới về phương pháp luận so với các nghiên cứu tiền nhiệm quốc tế là gì?

So với phương pháp dạng chuẩn tắc của Siegmund (2002) và kỹ thuật xấp xỉ topo của Palmer (1973), luận án đã sáng tạo ra quy trình phối hợp ba bước: (1) Làm phẳng đa tạp bất biến trong không gian $O_{\text{flat}}(A)$; (2) Xây dựng hệ sai phân liên kết trên lưới nguyên thời gian $\mathbb{Z}$; và (3) Áp dụng phương pháp đường mở rộng (extended path method) để giải bài toán tích phân vi phân trơn, vượt qua triệt để trở ngại do tính không compact của trục thời gian thực $\mathbb{R}$.

3. Phát hiện nào bất ngờ nhất về mặt toán học trong luận án?

Phát hiện bất ngờ nhất là: Đối với hệ điều khiển không ôtônôm, dù ma trận hệ thống $A(t)$ biến thiên liên tục và phổ nhị phân mũ là các đoạn đóng trải dài chứ không phải các điểm phổ đơn lẻ, chỉ cần điều kiện điều khiển được đều là đủ để gán một tập hợp các đoạn phổ nhị phân mũ hoàn toàn tùy ý mà không cần bổ sung thêm bất kỳ ràng buộc nào về tính đối xứng hay tính gần tuần hoàn của ma trận phản hồi $F(t)$.

4. Luận án có cung cấp quy trình tái lập chứng minh (Replication Protocol) không?

Có. Toàn bộ các định lý trong Chương 2 và Chương 3 đều đi kèm chứng minh giải tích chi tiết từng bước (constructive proofs), cung cấp công thức tường minh để xây dựng phép biến đổi Lyapunov $T(t)$, thiết lập dãy hàm giải tích của hệ sai phân liên kết, và quy trình đại số tường minh để loại bỏ các số hạng cộng hưởng bậc $k$.

5. Khung chương trình nghiên cứu 10 năm tới được định hình ra sao?

Khung nghiên cứu tập trung vào việc mở rộng lý thuyết gán phổ và tuyến tính hóa trơn sang các hệ phương trình đạo hàm riêng phân tán (PDEs), hệ điều khiển ngẫu nhiên (stochastic dynamical systems), và phát triển các gói thư viện giải tích số (numerical algorithms) để tự động hóa việc gán phổ nhị phân mũ trên các hệ thống điều khiển công nghiệp thực tế.

Kết luận

Luận án tiến sĩ toán học của tác giả Lê Viết Cường là một công trình nghiên cứu hàn lâm xuất sắc, giải quyết trọn vẹn những thách thức lý thuyết cốt lõi của phương trình vi phân và lý thuyết điều khiển hiện đại:

  1. Thiết lập điều kiện cần và đủ để gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính không ôtônôm liên tục $\dot{x}(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)$.
  2. Thiết lập điều kiện cần và đủ để gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính không ôtônôm rời rạc $x_{n+1} = A_n x_n + B_n u_n$.
  3. Chứng minh thành công Định lý Sternberg về tuyến tính hóa trơn $C^k$ cho phương trình vi phân phi tuyến không ôtônôm dưới các điều kiện không cộng hưởng của phổ Sacker - Sell.
  4. Phát triển thành công phương pháp hệ sai phân liên kết và phương pháp đường mở rộng, tạo ra công cụ phân tích mới cho lý thuyết định tính phương trình vi phân.
  5. Hiện thực hóa các kết quả nghiên cứu bằng 04 công trình khoa học quốc tế uy tín, khẳng định vị thế tiên phong của toán học giải tích Việt Nam trên trường quốc tế.