Luận án tiến sĩ về gán phổ nhị phân và tuyến tính hóa cho hệ động lực không ôtônôm

Nghiên cứu bài toán gán phổ nhị phân và tuyến tính hóa cho hệ động lực không ôtônôm, khám phá các phương pháp và ứng dụng trong lĩnh vực khoa học.

• Tác giả: Lê Viết Cường
• Người hướng dẫn: PGS. Đoàn Thái Sơn
• Trường học: Viện Hàn Lâm Khoa Học Và Công Nghệ Việt Nam
• Chuyên ngành: Phương Trình Vi Phân Và Tích Phân
• Đề tài: Gán Phổ Nhị Phân Mũ Và Tuyến Tính Hóa Cho Hệ Động Lực Không Ôtônôm
• Loại tài liệu: luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2022
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• Lời cam đoan
• Lời cảm ơn
• Mở đầu
• Bảng kí hiệu
• 1. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
• 1.1. Phổ nhị phân mũ cho phương trình trình vi phân tuyến tính
• 1.2. Phổ nhị phân mũ cho phương trình trình sai phân tuyến tính
• 1.3. Hệ điều khiển tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian
• 1.3.1. Hệ điều khiển tuyến tính liên tục
• 1.3.2. Hệ điều khiển tuyến tính rời rạc
• 2. Chương 2: Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian
• 2.1. Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính liên tục
• 2.1.1. Đặt bài toán và kết quả
• 2.1.2. Một số kết quả chuẩn bị
• 2.1.3. Chứng minh kết quả
• 2.2. Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến rời rạc
• 2.2.1. Đặt bài toán và kết quả
• 2.2.2. Một số kết quả chuẩn bị
• 2.2.3. Chứng minh kết quả
• 3. Chương 3: Định lý Sternberg cho phương trình vi phân không ôtônôm
• 3.1. Đặt bài toán và phát biểu Định lý Sternberg cho phương trình vi phân không ôtônôm
• 3.2. Làm phẳng các đa tạp bất biến và loại bỏ thành phần không cộng hưởng
• 3.3. Hệ sai phân liên kết
• 3.3.1. Khái niệm hệ sai phân liên kết và một số tính chất
• 3.3.2. Ck tương đương của hệ sai phân liên kết
• 3.3.3. Hệ sai phân liên kết với hệ thuộc Oflat (A)
• 3.3.4. Phương pháp đường cho phương trình sai phân
• 3.3.5. Chứng minh Định lý Sternberg
• Kết luận
• Danh mục công trình khoa học của tác giả có liên quan đến luận án
• Bảng thuật ngữ

Tóm tắt

I. Mở đầu

Trong những thập niên gần đây, hệ động lực không ôtônôm đã trở thành một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng, với ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như sinh học và kinh tế. Nghiên cứu này tập trung vào việc phân tích các dáng điệu tiệm cận của nghiệm của hệ động lực không ôtônôm. Một trong những khía cạnh quan trọng của lý thuyết định tính là lý thuyết phổ nhị phân mũ, được phát triển bởi Sell, đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu phương trình vi phân không ôtônôm. Phổ nhị phân mũ là công cụ then chốt trong lý thuyết ổn định, với điều kiện tách phổ dẫn đến sự tồn tại các đa tạp bất biến. Luận án này sẽ nghiên cứu bài toán gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính không ôtônôm, nhằm tìm kiếm điều khiển phản hồi tuyến tính phù hợp.

1.1. Lịch sử vấn đề

Hệ động lực không ôtônôm đã thu hút sự chú ý của nhiều nhà nghiên cứu trong những năm gần đây. Lý thuyết phổ nhị phân mũ đã được áp dụng để phân tích các hệ động lực này, đặc biệt trong các lĩnh vực như sinh học và kinh tế. Những nghiên cứu trước đây cho thấy rằng phổ nhị phân mũ có thể giúp xác định tính ổn định của hệ thống, với điều kiện tách phổ phù hợp. Nghiên cứu này sẽ mở rộng những kết quả hiện có và tìm kiếm các điều kiện cần và đủ để gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính không ôtônôm.

II. Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính

Nội dung chính của chương này là nghiên cứu bài toán gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính có hệ số phụ thuộc thời gian. Bài toán được phát biểu như sau: cho trước cặp ma trận (A, B) và đa thức Q(λ), tìm ma trận F sao cho Q(λ) là đa thức đặc trưng của ma trận A + BF. Một trong những kết quả quan trọng là điều kiện cần và đủ để hệ điều khiển tuyến tính liên tục gán được phổ nhị phân mũ. Kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong việc thiết kế hệ thống điều khiển.

2.1. Đặt bài toán và kết quả

Bài toán gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính liên tục được đặt ra với hệ ẋ = A(t)x + B(t)u. Kết quả cho thấy rằng nếu tồn tại một phản hồi tuyến tính F, thì phổ nhị phân mũ của hệ này có thể được gán theo cách mong muốn. Điều này mở ra hướng nghiên cứu mới trong việc tối ưu hóa các hệ thống điều khiển, cho phép các kỹ sư có thể điều chỉnh các tham số để đạt được hiệu suất tối ưu.

2.2. Chứng minh kết quả

Chứng minh các kết quả liên quan đến gán phổ nhị phân mũ bao gồm việc phân tích cấu trúc phổ của hệ và xây dựng các điều kiện cần và đủ. Các phương pháp toán học được sử dụng bao gồm lý thuyết ma trận và phân tích động lực học. Kết quả chứng minh không chỉ củng cố lý thuyết mà còn cung cấp cái nhìn sâu sắc về cách thức hoạt động của các hệ thống điều khiển không ôtônôm.

III. Định lý Sternberg cho phương trình vi phân không ôtônôm

Định lý Sternberg là một trong những kết quả quan trọng trong lý thuyết tuyến tính hóa cho các phương trình vi phân không ôtônôm. Định lý này khẳng định rằng tại các điểm cân bằng hyperbolic, dòng sinh bởi phương trình vi phân không ôtônôm sẽ tương đương với một phương trình tuyến tính. Điều này có ý nghĩa lớn trong việc phân tích và dự đoán hành vi của các hệ thống động lực không ổn định.

3.1. Phát biểu định lý

Định lý Sternberg được phát biểu cho các phương trình vi phân không ôtônôm với điều kiện rằng hệ có các thành phần không cộng hưởng. Điều này có thể giúp xác định các điểm ổn định của hệ thống và từ đó điều chỉnh các tham số để đạt được sự ổn định mong muốn. Tính chất này là rất quan trọng trong việc thiết kế và điều khiển các hệ thống phức tạp trong thực tế.

3.2. Ứng dụng thực tiễn

Các ứng dụng của định lý Sternberg trong thực tiễn rất đa dạng, từ các hệ thống điều khiển tự động đến các mô hình sinh học. Việc hiểu rõ hơn về cấu trúc của các hệ động lực không ôtônôm có thể dẫn đến những cải tiến đáng kể trong thiết kế hệ thống và tối ưu hóa hiệu suất. Điều này không chỉ có lợi cho lý thuyết mà còn mang lại giá trị thực tiễn trong các lĩnh vực như kỹ thuật và khoa học.

Nội dung chính

Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học của nghiên cứu sinh Lê Viết Cường với đề tài "Bài toán gán phổ nhị phân mũ và tuyến tính hóa cho hệ động lực không ôtônôm" được hoàn thành tại Viện Toán học thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. Đoàn Thái Sơn, thuộc chuyên ngành Phương trình vi phân và tích phân (mã số 9 46 01 03), bảo vệ năm 2022.

Hệ động lực không ôtônôm là hệ thống toán học chứa các yếu tố biến thiên theo thời gian hoặc chịu tác động ngẫu nhiên, được ứng dụng rộng rãi để mô hình hóa các quá trình biến đổi thực tế trong sinh học, kinh tế và vật lý. Trong nghiên cứu định tính các hệ này, việc phân tích dáng điệu tiệm cận của nghiệm đóng vai trò trọng tâm. Phổ nhị phân mũ (phổ Sacker - Sell) là công cụ quan trọng hàng đầu để khảo sát tính ổn định, cấu trúc đa tạp bất biến, dạng chuẩn tắc và các hiện tượng rẽ nhánh. Tuy nhiên, việc ứng dụng phổ nhị phân mũ vào bài toán điều khiển học thông qua phản hồi tuyến tính để gán phổ theo ý muốn, cũng như việc nâng cao độ trơn khả vi của phép biến đổi trong bài toán tuyến tính hóa cho hệ không ôtônôm, vẫn tồn tại nhiều vấn đề mở chưa được giải quyết đầy đủ.

Mục tiêu nghiên cứu của luận án được xác định gồm hai nội dung chính:

• Mục tiêu (i): Nghiên cứu bài toán gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian (cả dạng vi phân liên tục và dạng sai phân rời rạc).
• Mục tiêu (ii): Xây dựng và chứng minh Định lý Sternberg về tuyến tính hóa trơn cho hệ phương trình vi phân không ôtônôm.

Các câu hỏi nghiên cứu cụ thể được đặt ra trong luận án gồm:

• Câu hỏi 1a: Đối với hệ điều khiển vi phân tuyến tính không ôtônôm $\dot{x}(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)$, liệu có thể tìm được điều khiển phản hồi tuyến tính phù hợp $u(t) = F(t)x(t)$ để gán phổ nhị phân mũ định trước cho hệ khép vòng $\dot{x}(t) = (A(t) + B(t)F(t))x(t)$ hay không?
• Câu hỏi 1b: Đối với hệ điều khiển sai phân tuyến tính không ôtônôm $x_{n+1} = A_n x_n + B_n u_n$, liệu có thể tìm được dãy điều khiển phản hồi tuyến tính $u_n = U_n x_n$ để gán phổ nhị phân mũ định trước cho hệ khép vòng $x_{n+1} = (A_n + B_n U_n)x_n$ hay không?
• Câu hỏi 2: Trong bài toán tuyến tính hóa hệ phương trình vi phân không ôtônôm quanh điểm cân bằng hyperbolic, tính trơn của phép biến đổi đồng phôi $H(t, x)$ đưa hệ phi tuyến về hệ tuyến tính tương đương đạt được ở cấp độ khả vi nào?

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án:

• Đối tượng nghiên cứu: Hệ phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến không ôtônôm; hệ phương trình sai phân tuyến tính không ôtônôm; hệ thống điều khiển tuyến tính có hệ số biến thiên theo thời gian; phổ nhị phân mũ và các phép biến đổi tương đương Lyapunov, đồng phôi trơn $C^k$.
• Phạm vi nghiên cứu: Không gian trạng thái Euclid hữu hạn chiều $\mathbb{R}^d$; trục thời gian liên tục $J \subseteq \mathbb{R}$ ($J = \mathbb{R}, \mathbb{R}+, \mathbb{R}-$) đối với hệ vi phân và tập số nguyên $\mathbb{Z}$ đối với hệ sai phân; các ma trận hệ số bị chặn, đo được hoặc liên tục từng khúc, và các dãy ma trận bị chặn, khả nghịch bị chặn.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Luận án tổng hợp các hướng nghiên cứu nền tảng và cập nhật trong lý thuyết định tính hệ động lực không ôtônôm:

• Lý thuyết phổ nhị phân mũ: Được R. J. Sacker và G. R. Sell [34, 36] phát triển cho phương trình vi phân không ôtônôm, còn gọi là phổ Sacker - Sell. Khái niệm nhị phân mũ được W. A. Coppel [13] hệ thống hóa, trở thành tiêu chuẩn khảo sát tính ổn định và phân tách không gian nghiệm.
• Ứng dụng phổ nhị phân mũ trong lý thuyết ổn định và đa tạp bất biến: Tài liệu [7] chỉ ra rằng nghiệm tầm thường của phương trình phi tuyến là ổn định mũ nếu phổ nhị phân mũ của hệ tuyến tính tương ứng hoàn toàn nằm ở nửa trục âm. Tài liệu [2] chứng minh điều kiện tách phổ thích hợp của hệ tuyến tính bảo đảm sự tồn tại của các đa tạp bất biến trơn cho hệ phi tuyến.
• Tuyến tính hóa và dạng chuẩn tắc cho hệ không ôtônôm: K. J. Palmer [26] đã mở rộng Định lý Hartman - Grobman cho phương trình vi phân không ôtônôm, chứng minh rằng nếu $0$ không thuộc phổ nhị phân mũ của hệ tuyến tính (tính hyperbolic), tồn tại một phép biến đổi đồng phôi liên tục $H(t, x)$ trong lân cận điểm cân bằng đưa hệ phi tuyến về hệ tuyến tính. S. Siegmund [37] dựa trên cấu trúc phổ nhị phân mũ và thiết lập các điều kiện cộng hưởng để xây dựng định lý về dạng chuẩn tắc.
• Phân tích rẽ nhánh và phương pháp tính số: C. Pötzsche và M. Rasmussen [30, 32] phát triển lý thuyết rẽ nhánh cho phương trình vi phân không ôtônôm dựa trên sự thay đổi cấu trúc phổ nhị phân mũ theo tham số. Các phương pháp số tính toán số mũ nhị phân được phát triển trong [14, 24]. Tổng quan định tính hệ động lực không ôtônôm được trình bày trong công trình của P. E. Kloeden và M. Rasmussen [21].

Khoảng trống nghiên cứu luận án lựa chọn giải quyết:

• Bài toán gán phổ thông qua phản hồi tuyến tính cho hệ điều khiển có hệ số biến thiên theo thời gian còn thiếu các tiêu chuẩn cần và đủ tường minh cho cả hai trường hợp thời gian liên tục và rời rạc.
• Định lý tuyến tính hóa Palmer mới chỉ bảo đảm tính liên tục ($C^0$) của phép biến đổi. Luận án giải quyết bài toán thiết lập điều kiện đủ về tách phổ và không cộng hưởng để nâng cao độ trơn của phép biến đổi tuyến tính hóa lên lớp khả vi $C^k$ (Định lý Sternberg) cho phương trình vi phân không ôtônôm.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Cơ sở lý thuyết và các khái niệm được sử dụng trong luận án:

• Phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm $\dot{x} = A(t)x$ với $A \in L^\infty(J, \mathbb{R}^{d \times d})$ và toán tử tiến hóa $\Phi_A(t, s)$.
• Khái niệm nhị phân mũ: Tồn tại hằng số $K \ge 1, \alpha > 0$ và họ phép chiếu bất biến $P(t)$ thỏa mãn $|\Phi(t, s)P(s)| \le K e^{-\alpha(t-s)}$ với $t \ge s$ và $|\Phi(t, s)(I - P(s))| \le K e^{-\alpha(s-t)}$ với $s \ge t$.
• Phổ nhị phân mũ Sacker - Sell: Tập $\Sigma_{ED}^J(A)$ gồm các giá trị $\gamma \in \mathbb{R}$ sao cho hệ dịch chuyển $\dot{x} = (A(t) - \gamma I)x$ không có nhị phân mũ trên $J$. Cấu trúc phổ là hợp của tối đa $d$ đoạn đóng rời nhau: $\Sigma_{ED}^J(A) = [a_1, b_1] \cup [a_2, b_2] \cup \dots \cup [a_k, b_k]$ ($k \le d$).
• Phép biến đổi Lyapunov và tính tương đương tiệm cận: Phép biến đổi tuyến tính khả nghịch $T(t)$ sao cho $T, T^{-1}, \dot{T}$ bị chặn, cho phép chuyển hệ vi phân sang dạng chéo khối hoặc tam giác khối.
• Khái niệm tính điều khiển được đều (Uniform Controllability) cho hệ điều khiển tuyến tính liên tục và rời rạc.
• Khái niệm hệ sai phân liên kết (associated difference system) và không gian ánh xạ $O_{flat}(A)$.

Phương pháp nghiên cứu:

• Phương pháp phân tích phổ và dạng chuẩn tắc: Phân tích cấu trúc phổ nhị phân mũ của hệ tuyến tính, thiết lập các phép biến đổi Lyapunov đưa hệ về dạng chuẩn tắc điều khiển được, tính toán phổ trên dạng chuẩn tắc để suy ra điều kiện cần và đủ cho tính gán phổ.
• Phương pháp làm phẳng đa tạp bất biến và khử cộng hưởng: Sử dụng các phép đổi biến tọa độ trơn cục bộ để làm phẳng các đa tạp bất biến và triệt tiêu các thành phần phi tuyến không cộng hưởng đến bậc $k$.
• Phương pháp đường mở rộng (Extended Path Method): Áp dụng cho phương trình sai phân liên kết nhằm thiết lập tính tương đương vi phôi $C^k$ giữa dòng phi tuyến và dòng tuyến tính hóa.

Nguồn tư liệu nghiên cứu: Luận án thực hiện nghiên cứu lý thuyết toán học giải tích thuần túy, sử dụng các công cụ giải tích hàm, giải tích toán học, lý thuyết toán tử và phương trình vi phân/sai phân. Mọi kết luận đều được chứng minh chặt chẽ bằng các suy luận logic toán học.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 1 hệ thống hóa các định nghĩa, khái niệm và bổ đề bổ trợ làm cơ sở cho toàn bộ luận án, gồm ba phân mục chính:

• Mục 1.1: Phổ nhị phân mũ cho phương trình vi phân tuyến tính. Trình bày định nghĩa toán tử tiến hóa $\Phi_A(t, s)$, điều kiện nhị phân mũ và định nghĩa phổ nhị phân mũ $\Sigma_{ED}^J(A)$. Khảo sát chi tiết phương trình vô hướng một chiều $\dot{x} = m(t)x$ với $m(t)$ đo được, bị chặn; chứng minh hệ có nhị phân mũ khi và chỉ khi: $$a := \liminf_{t-s \to \infty} \frac{1}{t-s}\int_s^t m(\tau)d\tau > 0 \quad \text{hoặc} \quad b := \limsup_{t-s \to \infty} \frac{1}{t-s}\int_s^t m(\tau)d\tau < 0$$ và phổ nhị phân mũ tương ứng là đoạn $\Sigma_{ED}^J(m) = [a, b]$. Giới thiệu định lý cấu trúc phổ gồm tối đa $d$ đoạn đóng rời nhau, phân hoạch không gian $\mathbb{R}^d = W_1(s) \oplus \dots \oplus W_\ell(s)$, định nghĩa phép biến đổi Lyapunov và định lý đưa hệ vi phân về dạng chéo khối, tam giác trên khối tương đương tiệm cận.
• Mục 1.2: Phổ nhị phân mũ cho phương trình sai phân tuyến tính. Trình bày cấu trúc toán tử tiến hóa rời rạc, định nghĩa nhị phân mũ và phổ nhị phân mũ cho hệ sai phân $x_{n+1} = A_n x_n$ với dãy ma trận $(A_n) \in LLya(\mathbb{Z}, \mathbb{R}^{d \times d})$ bị chặn và khả nghịch bị chặn.
• Mục 1.3: Hệ điều khiển tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian. Định nghĩa hệ điều khiển tuyến tính liên tục $\dot{x}(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)$ và hệ điều khiển rời rạc $x_{n+1} = A_n x_n + B_n u_n$. Trình bày các đặc trưng của tính điều khiển được đều thông qua ma trận Gramian điều khiển và ma trận chuyển trạng thái.

Chương 2: Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian

Chương 2 tập trung giải quyết bài toán gán phổ nhị phân mũ bằng phản hồi trạng thái cho hệ liên tục và hệ rời rạc:

• Mục 2.1: Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính liên tục.
  • Đặt bài toán: Cho trước tập hợp $\mathcal{S}$ gồm các đoạn đóng thỏa mãn quy chuẩn cấu trúc phổ, tìm điều kiện tồn tại ma trận phản hồi liên tục từng khúc $F(t) \in KC_{m, d}(J)$ sao cho hệ khép vòng $\dot{x}(t) = (A(t) + B(t)F(t))x(t)$ có phổ nhị phân mũ đúng bằng $\mathcal{S}$.
  • Kết quả chuẩn bị: Xây dựng các phép biến đổi tương đương đưa cặp ma trận $(A(t), B(t))$ về dạng chuẩn tắc điều khiển được.
  • Chứng minh: Thiết lập định lý khẳng định điều kiện cần và đủ để hệ điều khiển tuyến tính liên tục gán được phổ nhị phân mũ là hệ phải thỏa mãn tính điều khiển được đều.
• Mục 2.2: Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính rời rạc.
  • Đặt bài toán: Cho hệ $x_{n+1} = A_n x_n + B_n u_n$ với $(A_n) \in LLya(\mathbb{Z}, \mathbb{R}^{d \times d})$ và $(B_n) \in L^\infty(\mathbb{Z}, \mathbb{R}^{d \times m})$, tìm dãy ma trận phản hồi bị chặn $(U_n)$ sao cho phổ nhị phân mũ của hệ $x_{n+1} = (A_n + B_n U_n)x_n$ trùng với phổ định trước.
  • Kết quả chuẩn bị và chứng minh: Xây dựng dạng chuẩn tắc cho hệ sai phân và chứng minh điều kiện cần và đủ để hệ điều khiển tuyến tính rời rạc gán được phổ nhị phân mũ thông qua tính điều khiển được đều rời rạc.

Chương 3: Định lý Sternberg cho phương trình vi phân không ôtônôm

Chương 3 xây dựng định lý tuyến tính hóa trơn lớp $C^k$ cho hệ phương trình vi phân không ôtônôm:

• Mục 3.1: Đặt bài toán và phát biểu định lý. Xét hệ $\dot{x}(t) = A(t)x(t) + f(t, x(t))$, trong đó $A(t)$ bị chặn, $f(t, 0) = 0$, $D_x f(t, 0) = 0$ và $f$ thuộc lớp $C^k$. Thiết lập các điều kiện đủ về tách phổ nhị phân mũ của hệ tuyến tính $\dot{x} = A(t)x$ và các điều kiện không cộng hưởng bậc $k$ giữa các khoảng phổ để bảo đảm tồn tại phép biến đổi đồng phôi $H(t, x)$ thuộc lớp $C^k$ chuyển hệ phi tuyến về hệ tuyến tính.
• Mục 3.2: Kỹ thuật làm phẳng các đa tạp bất biến và khử các đơn thức phi tuyến không cộng hưởng bậc thấp bằng các phép đổi biến liên tiếp.
• Mục 3.3: Hệ sai phân liên kết.
  • Định nghĩa và khảo sát các tính chất tôpô, tiệm cận của hệ sai phân liên kết sinh bởi toán tử tiến hóa tại các mốc thời gian rời rạc.
  • Nghiên cứu tính tương đương vi phôi lớp $C^k$ của hệ sai phân liên kết.
  • Khảo sát hệ sai phân liên kết thuộc lớp $O_{flat}(A)$.
  • Xây dựng phương pháp đường mở rộng cho phương trình sai phân.
  • Hoàn thành chứng minh Định lý Sternberg cho phương trình vi phân không ôtônôm thông qua việc quy bài toán liên tục về hệ sai phân liên kết và áp dụng phương pháp đường.

Bảng tổng hợp cấu trúc các chương và nội dung trọng tâm của luận án:

Chương	Tên chương	Vấn đề toán học trọng tâm	Phương pháp và công cụ chính
Chương 1	Kiến thức chuẩn bị	Cấu trúc phổ Sacker - Sell; tính điều khiển được đều	Biến đổi Lyapunov; toán tử tiến hóa vi phân và sai phân
Chương 2	Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian	Điều kiện cần và đủ để gán phổ cho hệ liên tục và rời rạc	Đưa về dạng chuẩn tắc điều khiển; phân tích phổ hệ khép vòng
Chương 3	Định lý Sternberg cho phương trình vi phân không ôtônôm	Tuyến tính hóa trơn $C^k$ hệ phi tuyến quanh điểm hyperbolic	Làm phẳng đa tạp bất biến; hệ sai phân liên kết; phương pháp đường

Kết quả và những đóng góp mới

Các kết quả mới mà luận án đạt được bao gồm:

1. Đưa ra điều kiện cần và đủ để hệ điều khiển tuyến tính liên tục với hệ số phụ thuộc thời gian là gán được phổ nhị phân mũ thông qua phản hồi trạng thái tuyến tính.
2. Đưa ra điều kiện cần và đủ để hệ điều khiển tuyến tính rời rạc với hệ số phụ thuộc thời gian là gán được phổ nhị phân mũ thông qua dãy phản hồi trạng thái tuyến tính.
3. Thiết lập và chứng minh một phiên bản hoàn chỉnh của Định lý Sternberg về tuyến tính hóa trơn lớp $C^k$ cho hệ phương trình vi phân không ôtônôm dưới các điều kiện tách phổ nhị phân mũ và không cộng hưởng.

Các kết quả nghiên cứu trong luận án đã được công bố trong 04 bài báo khoa học trên các tạp chí quốc tế chuyên ngành có uy tín. Tác giả cũng đã báo cáo các kết quả này tại các diễn đàn khoa học:

• Xêmina Phòng Phương trình vi phân, Viện Toán học.
• Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ IX (14-18/8/2018 tại Nha Trang).
• Hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 18 (20-22/8/2020 tại Hòa Lạc, Hà Nội).
• Hội nghị đánh giá kết quả làm việc của nghiên cứu sinh các năm 2017, 2018, 2019, 2020 tại Viện Toán học.
• Xêmina Bộ môn Toán, Khoa Công nghệ Thông tin, Trường Đại học Xây dựng.

Về mặt ứng dụng lý thuyết, các kết quả cung cấp cơ sở toán học để thiết kế các bộ điều khiển phản hồi ổn định hóa hệ thống có thông số biến thiên theo thời gian, đồng thời mở rộng công cụ phân tích trơn cho các mô hình hệ động lực phi tuyến phức tạp.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế gắn liền với phạm vi nghiên cứu:

• Toàn bộ kết quả được thiết lập trên không gian trạng thái hữu hạn chiều $\mathbb{R}^d$.
• Các ma trận hệ số đòi hỏi tính bị chặn đều trên toàn trục thời gian, và ma trận của hệ sai phân đòi hỏi tính khả nghịch bị chặn.
• Điều kiện tuyến tính hóa trơn phụ thuộc vào các giả thiết không cộng hưởng chặt chẽ giữa các khoảng phổ nhị phân mũ.

Hướng nghiên cứu tiếp được gợi mở từ luận án:

• Mở rộng bài toán gán phổ nhị phân mũ và bài toán tuyến tính hóa trơn sang các hệ động lực trong không gian vô hạn chiều (hệ phương trình đạo hàm riêng hoặc phương trình vi phân hàm).
• Khảo sát bài toán gán phổ và dạng chuẩn tắc cho các hệ động lực ngẫu nhiên (random dynamical systems).
• Nghiên cứu giảm bớt các điều kiện không cộng hưởng hoặc khảo sát tính trơn yếu (chẳng hạn tính trơn Hölder) của phép biến đổi tuyến tính hóa.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên khảo hữu ích cho:

• Nghiên cứu sinh, học viên cao học, giảng viên và các nhà nghiên cứu chuyên sâu về chuyên ngành Phương trình vi phân và tích phân, Lý thuyết hệ động lực và Lý thuyết điều khiển toán học.
• Tham khảo về mặt phương pháp:
  • Kỹ thuật tính toán phổ Sacker - Sell và chéo hóa khối qua phép biến đổi Lyapunov ở Chương 1.
  • Phương pháp đưa hệ điều khiển không ôtônôm về dạng chuẩn tắc để gán phổ ở Chương 2.
  • Khung phân tích kết hợp giữa hệ sai phân liên kết và phương pháp đường mở rộng để xử lý bài toán tuyến tính hóa trơn $C^k$ ở Chương 3.

Câu hỏi thường gặp

1. Phổ nhị phân mũ của phương trình vi phân tuyến tính vô hướng một chiều $\dot{x} = m(t)x$ được xác định cụ thể bằng công thức nào trong luận án? Trong Mục 1.1 của luận án, tác giả chứng minh rằng với hàm $m(t)$ đo được và bị chặn trên $J$, phổ nhị phân mũ $\Sigma_{ED}^J(m)$ là đoạn đóng $[a, b]$, trong đó: $$a = \liminf_{t-s \to \infty} \frac{1}{t-s}\int_s^t m(\tau)d\tau \quad \text{và} \quad b = \limsup_{t-s \to \infty} \frac{1}{t-s}\int_s^t m(\tau)d\tau$$

2. Sự khác biệt cốt lõi giữa kết quả tuyến tính hóa của Palmer [26] và Định lý Sternberg trong luận án là gì? Kết quả của Palmer [26] mở rộng định lý Hartman - Grobman cho hệ không ôtônôm chỉ chứng minh sự tồn tại của phép biến đổi đồng phôi liên tục (lớp $C^0$). Ngược lại, Định lý Sternberg trong Chương 3 của luận án đã thiết lập các điều kiện đủ về tách phổ và không cộng hưởng để bảo đảm phép biến đổi đồng phôi đạt đến độ trơn khả vi bậc cao lớp $C^k$.

3. Để hệ điều khiển tuyến tính không ôtônôm (cả liên tục và rời rạc) gán được phổ nhị phân mũ, điều kiện cần và đủ là gì? Theo các kết quả chứng minh trong Chương 2, điều kiện cần và đủ để hệ điều khiển tuyến tính liên tục $\dot{x} = A(t)x + B(t)u$ hoặc hệ sai phân rời rạc $x_{n+1} = A_n x_n + B_n u_n$ gán được phổ nhị phân mũ định trước là hệ phải thỏa mãn tính điều khiển được đều (Uniform Controllability).

4. Vai trò của khái niệm "hệ sai phân liên kết" trong việc chứng minh Định lý Sternberg ở Chương 3 là gì? Hệ sai phân liên kết được xây dựng từ việc lấy mẫu nghiệm của phương trình vi phân tại các mốc thời gian rời rạc. Tác giả sử dụng hệ sai phân liên kết để chuyển bài toán tuyến tính hóa của phương trình vi phân không ôtônôm sang không gian rời rạc, sau đó kết hợp kỹ thuật làm phẳng đa tạp và phương pháp đường cho phương trình sai phân để chứng minh tính tương đương $C^k$, rồi chuyển ngược lại kết quả cho hệ vi phân liên tục.

5. Cấu trúc phổ nhị phân mũ của hệ phương trình vi phân tuyến tính $d$ chiều $\dot{x} = A(t)x$ có đặc điểm hình học như thế nào? Theo định lý cấu trúc phổ trong Chương 1, phổ nhị phân mũ $\Sigma_{ED}^J(A)$ của hệ vi phân tuyến tính $d$ chiều là hợp của tối đa $d$ đoạn đóng rời nhau trên trục số thực, tức là $\Sigma_{ED}^J(A) = [a_1, b_1] \cup [a_2, b_2] \cup \dots \cup [a_k, b_k]$ với $k \le d$.

Kết luận

Luận án của nghiên cứu sinh Lê Viết Cường đã giải quyết trọn vẹn bài toán xác định điều kiện cần và đủ để gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính không ôtônôm ở cả dạng thời gian liên tục và rời rạc thông qua phản hồi trạng thái. Đồng thời, công trình đã xây dựng thành công phiên bản mở rộng của Định lý Sternberg về tuyến tính hóa trơn lớp $C^k$ cho hệ phương trình vi phân không ôtônôm nhờ kỹ thuật hệ sai phân liên kết và phương pháp đường. Các kết quả của luận án đóng góp các tiêu chuẩn giải tích và phương pháp luận quan trọng vào lý thuyết định tính và lý thuyết điều khiển của hệ động lực có hệ số biến thiên theo thời gian.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Mở đầu 1. Lịch sử vấn đề và lý do chọn đề tài Trong các thập niên gần đây hệ động lực không ôtônôm, ở đó hệ có các yếu tố ngẫu nhiên hoặc phụ thuộc thời gian, được dùng để mô hình hóa nhiều hiện tượng trong thực tế ở các lĩnh vực khác nhau như sinh học, kinh tế,. Khi nghiên cứu các hệ này, chúng ta thường quan tâm đến các dáng điệu tiệm cận của nghiệm của hệ. Ở đây, một số khía cạnh quan trọng của lý thuyết định tính hệ động lực không ôtônôm là lý thuyết tuyến tính, lý thuyết ổn định, lý thuyết đa tạp bất biến và tuyến tính hóa, lý thuyết dạng chuẩn tắc và lý thuyết rẽ nhánh (xem [21]).

Sell đã phát triển lý thuyết phổ nhị phân mũ cho phương trình vi phân không ôtônôm hay được gọi là phổ Sacker - Sell (xem [34, 36]). Cho đến nay phổ nhị phân mũ là một trong những công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết định tính của phương trình vi phân không ôtônôm. Cụ thể, trong lý thuyết ổn định, nghiệm tầm thường của phương trình phi tuyến là ổn định mũ nếu phổ nhị phân mũ của phương trình tuyến tính tương ứng là âm (xem [7]). Điều kiện tách phổ phù hợp của hệ tuyến tính cũng kéo theo sự tồn tại các đa tạp bất biến trơn của hệ phi tuyến tương ứng (xem [2]).

Trong [26], Palmer 2 đã mở rộng định lý tuyến tính hóa Hartman-Grobman cho phương trình vi phân không ôtônôm với điều kiện đủ là 0 không thuộc phổ nhị phân mũ của hệ tuyến tính. Sử dụng cấu trúc của phổ nhị phân mũ và xây dựng các điều kiện cộng hưởng phù hợp, Siegmund xây dựng định lý về dạng chuẩn tắc cho phương trình vi phân không ôtônôm trong [37]. Gần đây dựa trên sự hiểu biết về sự thay đổi của cấu trúc phổ nhị phân mũ vào tham số, các tác giả Pötzsche và Rasmussen trong [30, 32] xây dựng và phân tích nhiều hiện tượng rẽ nhánh khác nhau cho phương trình vi phân không ôtônôm. Cuối cùng, các phương pháp số để tính toán số mũ nhị phân cũng được phát triển (xem [14, 24]) và các tài liệu tham khảo liên quan.

Do sự quan trọng của phổ nhị phân mũ trong lý thuyết định tính phương trình vi phân không ôtônôm nên chúng tôi chọn và nghiên cứu một số khía cạnh liên quan đến phổ nhị phân mũ. Cụ thể, trước hết chúng tôi nghiên cứu bài toán gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính không ôtônôm. Ở đây hệ điều khiển tuyến tính không ôtônôm được cho bởi hai dạng sau: Dạng vi phân: ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), t ∈ R, với A(t), B(t) là các hàm ma trận liên tục từng khúc và u(t) là hàm điều khiển. Trong trường hợp hàm điều khiển được xây dựng có dạng u(t) = F (t)x(t) , trong đó F (t) là hàm ma trận liên tục từng khúc, chúng ta thu được phương trình vi phân tuyến tính có dạng ẋ(t) = (A(t) + B(t)F (t))x(t).

Một câu hỏi quan trọng được đặt ra là: 3 Câu hỏi 1a: Đối với hệ điều khiển vi phân tuyến tính không ôtônôm liệu ta có thể tìm được hay không một điều khiển phản hồi tuyến tính phù hợp để gán phổ nhị phân mũ cho hệ này? Dạng sai phân: xn+1 = An xn + Bn un , n ∈ Z, với (An ) là dãy ma trận bị chặn và khả nghịch bị chặn, (Bn ) là dãy ma trận bị chặn và (un ) là dãy điều khiển. Trong trường hợp dãy điều khiển được xây dựng có dạng un = Un xn , chúng ta thu được phương trình sai phân tuyến tính xn+1 = (An + Bn Un ) xn. Một câu hỏi quan trọng được đặt ra là: Câu hỏi 1b: Đối với hệ điều khiển sai phân tuyến tính không ôtônôm liệu ta có thể tìm được hay không một điều khiển phản hồi tuyến tính phù hợp để gán phổ nhị phân mũ cho hệ này? Song song với bài toán gán phổ nhị phân mũ chúng tôi nghiên cứu về ứng dụng của phổ nhị phân mũ trong lý thuyết tuyến tính hóa. Nhắc lại rằng, một trong những định lý quan trọng trong lý thuyết tuyến tính hóa là Định lý Hartman Grobman và được mở rộng cho phương trình vi phân không ôtônôm (xem [26]).

Nội dung chính của định lý này nói rằng tại xung quanh điểm cân bằng hyperbolic thì dòng sinh bởi phương trình vi phân không ôtônôm sẽ tương đương động lực với một phương trình tuyến tính. Cụ thể, xét phương trình vi phân không ôtônôm ẋ(t) = A(t)x(t) + f (t, x), t ∈ R, trong đó A(t) là ma trận hàm liên tục và hàm f (t, x) liên tục, bị chặn 4 thỏa mãn f (t, 0) = 0 và ||f (t, x1 ) − f (t, x2 )|| ≤ L||x1 − x2 ||, với mọi t, x, x1 , x2. Giả sử phương trình tuyến tính ẋ(t) = A(t)x(t), là hyperbolic (có tính nhị phân mũ), khi đó tồn tại một đồng phôi H(t, x) trong lân cận của điểm cân bằng tầm thường x = 0 sao cho nếu x(t) là một nghiệm bất kì của phương trình trên thì H(t, x(t)) sẽ là nghiệm của phương trình tuyến tính ẋ(t) = A(t)x(t). Câu hỏi được đặt ra là: Câu hỏi 2: Tính trơn của phép biến đổi H là như thế nào? 2.

Mục tiêu nghiên cứu Trong luận án này, chúng tôi tập trung nghiên cứu các chủ điểm sau trong lý thuyết của phương trình vi phân không ôtônôm: (i) Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian. (ii) Định lý Sternberg về tuyến tính hóa trơn cho hệ phương trình vi phân không ôtônôm. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Với các mục tiêu đặt ra như trên, trong luận án này chúng tôi nghiên cứu các nội dung sau: 5 Nội dung 1. Điều kiện cần và đủ để gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính có hệ số phụ thuộc thời gian.

Xây dựng điều kiện đủ về tách phổ cho tuyến tính hóa trơn của phương trình vi phân không ôtônôm. Phương pháp nghiên cứu Xuất phát từ mục tiêu của đề tài nghiên cứu, các phương pháp nghiên cứu được sử dụng như sau: • Để trả lời cho Câu hỏi 1a và Câu hỏi 1b trước hết chúng tôi sẽ phân tích những cấu trúc phổ nhị phân mũ của hệ phương trình tuyến tính phụ thuộc vào thời gian. Sau đó chúng tôi sẽ đi tìm ra những dạng chuẩn tắc của hệ dưới một phép biến đổi tương đương. Cuối cùng chúng tôi đi tính phổ của các hệ ở dạng chuẩn tắc đó để tìm điều kiện sao cho hệ điều khiển tuyến tính của chúng ta là gán được phổ nhị phân mũ.

• Đối với Câu hỏi 2 chúng tôi xây dựng và chứng minh Định lý Stern- berg cho phương trình vi phân không ôtônôm. Để chứng minh định lý này chúng tôi làm phẳng các đa tạp bất biến và loại bỏ các thành phần không cộng hưởng của hệ phi tuyến. Sau đó chúng tôi dùng phương pháp đường mở rộng để chứng minh kết quả. Kết quả của luận án Luận án đã đạt được những kết quả chính sau đây: 6 • Đưa ra điều kiện cần và đủ để hệ điều khiển tuyến tính liên tục là gán được phổ nhị phân mũ.

• Đưa ra điều kiện cần và đủ để hệ điều khiển tuyến tính rời rạc là gán được phổ nhị phân mũ. • Đưa ra một phiên bản của Định lý Sternberg về tuyến tính hóa trơn cho phương trình vi phân không ôtônôm. Các kết quả chính của luận án được công bố trong 04 bài báo trên các tạp chí quốc tế có uy tín và đã được báo cáo tại: 1. Xêmina của Phòng Phương trình vi phân, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.

Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ IX (14-18/8/2018), Nha Trang. Hội thảo Tối ưu và tính toán Khoa học lần thứ 18 (20-22/8/2020), Hòa Lạc, Hà Nội. Hội nghị đánh giá kết quả làm việc của nghiên cứu sinh các năm 2017, 2018, 2019, 2020, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Xêmina của Bộ môn Toán, Khoa Công nghệ Thông tin, Trường Đại học Xây dựng.

Bố cục của luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục công trình khoa học của tác giả có liên quan đến luận án và Tài liệu tham khảo, luận án có ba chương. 7 Trong Chương 1, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức chuẩn bị, bao gồm định nghĩa và một số kết quả về cấu trúc phổ nhị phân mũ, hệ điều khiển tuyến tính phụ thuộc thời gian dưới dạng vi phân và sai phân, tính điều khiển được đều. Trong Chương 2, chúng tôi nghiên cứu một số vấn đề về bài toán gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển phụ thuộc thời gian. Trong chương này chúng tôi đưa ra điều kiện cần và đủ để gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính có hệ số phụ thuộc vào thời gian.

Trong Chương 3, chúng tôi xây dựng Định lý Sternberg về tuyến tính hóa trơn cho phương trình phân không ôtônôm. 8 Bảng kí hiệu N Tập hợp các số tự nhiên. N∗ Tập hợp các số tự nhiên khác 0. Z Tập hợp các số nguyên.

R Tập hợp các số thực. R+ Tập hợp các số thực không âm. R− Tập hợp các số thực không dương. L∞ (J, Rd×d ) Tập tất cả các ma trận hàm nhận giá trị trong Rd×d đo được và bị chặn trên J, với J = R, R+.

L∞ (Z, Rd×s ) Tập hợp các dãy ma trận trong Rd×s bị chặn. LLya (Z, Rd×s ) Tập hợp các dãy ma trận trong Rd×s bị chặn và khả nghịch bị chặn. KCd,m (J) Tập tất cả các ma trận hàm nhận giá trị trong Rd×m bị chặn và liên tục từng khúc trên J. C k (Rd ) {f : Rd → Rd là các hàm C k khả vi}.

9 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi giới thiệu khái niệm và cấu trúc phổ nhị phân mũ cho phương trình vi phân tuyến tính (Mục 1.1) và cho phương trình sai phân tuyến tính (Mục 1.3 được dành để giới thiệu hệ điều khiển tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian và các đặc trưng cho tính điều khiển được đều của hệ.1 Phổ nhị phân mũ cho phương trình trình vi phân tuyến tính Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm có dạng: ẋ = A(t)x, t ∈ J, (1.1) trong đó J ở đây có thể là R+ (thời gian một phía dương), R− (thời gian một phía âm) hoặc R (thời gian hai phía) và A : J → Rd×d là ánh xạ đo được và thỏa mãn M := ess sup ||A(t)|| < ∞.) : J × J → Rd×d là toán tử tiến hóa của (1.