Mở đầu 1. Lịch sử vấn đề và lý do chọn đề tài Trong các thập niên gần đây hệ động lực không ôtônôm, ở đó hệ có các yếu tố ngẫu nhiên hoặc phụ thuộc thời gian, được dùng để mô hình hóa nhiều hiện tượng trong thực tế ở các lĩnh vực khác nhau như sinh học, kinh tế,. Khi nghiên cứu các hệ này, chúng ta thường quan tâm đến các dáng điệu tiệm cận của nghiệm của hệ. Ở đây, một số khía cạnh quan trọng của lý thuyết định tính hệ động lực không ôtônôm là lý thuyết tuyến tính, lý thuyết ổn định, lý thuyết đa tạp bất biến và tuyến tính hóa, lý thuyết dạng chuẩn tắc và lý thuyết rẽ nhánh (xem [21]).
Sell đã phát triển lý thuyết phổ nhị phân mũ cho phương trình vi phân không ôtônôm hay được gọi là phổ Sacker - Sell (xem [34, 36]). Cho đến nay phổ nhị phân mũ là một trong những công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết định tính của phương trình vi phân không ôtônôm. Cụ thể, trong lý thuyết ổn định, nghiệm tầm thường của phương trình phi tuyến là ổn định mũ nếu phổ nhị phân mũ của phương trình tuyến tính tương ứng là âm (xem [7]). Điều kiện tách phổ phù hợp của hệ tuyến tính cũng kéo theo sự tồn tại các đa tạp bất biến trơn của hệ phi tuyến tương ứng (xem [2]).
Trong [26], Palmer 2 đã mở rộng định lý tuyến tính hóa Hartman-Grobman cho phương trình vi phân không ôtônôm với điều kiện đủ là 0 không thuộc phổ nhị phân mũ của hệ tuyến tính. Sử dụng cấu trúc của phổ nhị phân mũ và xây dựng các điều kiện cộng hưởng phù hợp, Siegmund xây dựng định lý về dạng chuẩn tắc cho phương trình vi phân không ôtônôm trong [37]. Gần đây dựa trên sự hiểu biết về sự thay đổi của cấu trúc phổ nhị phân mũ vào tham số, các tác giả Pötzsche và Rasmussen trong [30, 32] xây dựng và phân tích nhiều hiện tượng rẽ nhánh khác nhau cho phương trình vi phân không ôtônôm. Cuối cùng, các phương pháp số để tính toán số mũ nhị phân cũng được phát triển (xem [14, 24]) và các tài liệu tham khảo liên quan.
Do sự quan trọng của phổ nhị phân mũ trong lý thuyết định tính phương trình vi phân không ôtônôm nên chúng tôi chọn và nghiên cứu một số khía cạnh liên quan đến phổ nhị phân mũ. Cụ thể, trước hết chúng tôi nghiên cứu bài toán gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính không ôtônôm. Ở đây hệ điều khiển tuyến tính không ôtônôm được cho bởi hai dạng sau: Dạng vi phân: ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), t ∈ R, với A(t), B(t) là các hàm ma trận liên tục từng khúc và u(t) là hàm điều khiển. Trong trường hợp hàm điều khiển được xây dựng có dạng u(t) = F (t)x(t) , trong đó F (t) là hàm ma trận liên tục từng khúc, chúng ta thu được phương trình vi phân tuyến tính có dạng ẋ(t) = (A(t) + B(t)F (t))x(t).
Một câu hỏi quan trọng được đặt ra là: 3 Câu hỏi 1a: Đối với hệ điều khiển vi phân tuyến tính không ôtônôm liệu ta có thể tìm được hay không một điều khiển phản hồi tuyến tính phù hợp để gán phổ nhị phân mũ cho hệ này? Dạng sai phân: xn+1 = An xn + Bn un , n ∈ Z, với (An ) là dãy ma trận bị chặn và khả nghịch bị chặn, (Bn ) là dãy ma trận bị chặn và (un ) là dãy điều khiển. Trong trường hợp dãy điều khiển được xây dựng có dạng un = Un xn , chúng ta thu được phương trình sai phân tuyến tính xn+1 = (An + Bn Un ) xn. Một câu hỏi quan trọng được đặt ra là: Câu hỏi 1b: Đối với hệ điều khiển sai phân tuyến tính không ôtônôm liệu ta có thể tìm được hay không một điều khiển phản hồi tuyến tính phù hợp để gán phổ nhị phân mũ cho hệ này? Song song với bài toán gán phổ nhị phân mũ chúng tôi nghiên cứu về ứng dụng của phổ nhị phân mũ trong lý thuyết tuyến tính hóa. Nhắc lại rằng, một trong những định lý quan trọng trong lý thuyết tuyến tính hóa là Định lý Hartman Grobman và được mở rộng cho phương trình vi phân không ôtônôm (xem [26]).
Nội dung chính của định lý này nói rằng tại xung quanh điểm cân bằng hyperbolic thì dòng sinh bởi phương trình vi phân không ôtônôm sẽ tương đương động lực với một phương trình tuyến tính. Cụ thể, xét phương trình vi phân không ôtônôm ẋ(t) = A(t)x(t) + f (t, x), t ∈ R, trong đó A(t) là ma trận hàm liên tục và hàm f (t, x) liên tục, bị chặn 4 thỏa mãn f (t, 0) = 0 và ||f (t, x1 ) − f (t, x2 )|| ≤ L||x1 − x2 ||, với mọi t, x, x1 , x2. Giả sử phương trình tuyến tính ẋ(t) = A(t)x(t), là hyperbolic (có tính nhị phân mũ), khi đó tồn tại một đồng phôi H(t, x) trong lân cận của điểm cân bằng tầm thường x = 0 sao cho nếu x(t) là một nghiệm bất kì của phương trình trên thì H(t, x(t)) sẽ là nghiệm của phương trình tuyến tính ẋ(t) = A(t)x(t). Câu hỏi được đặt ra là: Câu hỏi 2: Tính trơn của phép biến đổi H là như thế nào? 2.
Mục tiêu nghiên cứu Trong luận án này, chúng tôi tập trung nghiên cứu các chủ điểm sau trong lý thuyết của phương trình vi phân không ôtônôm: (i) Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian. (ii) Định lý Sternberg về tuyến tính hóa trơn cho hệ phương trình vi phân không ôtônôm. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Với các mục tiêu đặt ra như trên, trong luận án này chúng tôi nghiên cứu các nội dung sau: 5 Nội dung 1. Điều kiện cần và đủ để gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính có hệ số phụ thuộc thời gian.
Xây dựng điều kiện đủ về tách phổ cho tuyến tính hóa trơn của phương trình vi phân không ôtônôm. Phương pháp nghiên cứu Xuất phát từ mục tiêu của đề tài nghiên cứu, các phương pháp nghiên cứu được sử dụng như sau: • Để trả lời cho Câu hỏi 1a và Câu hỏi 1b trước hết chúng tôi sẽ phân tích những cấu trúc phổ nhị phân mũ của hệ phương trình tuyến tính phụ thuộc vào thời gian. Sau đó chúng tôi sẽ đi tìm ra những dạng chuẩn tắc của hệ dưới một phép biến đổi tương đương. Cuối cùng chúng tôi đi tính phổ của các hệ ở dạng chuẩn tắc đó để tìm điều kiện sao cho hệ điều khiển tuyến tính của chúng ta là gán được phổ nhị phân mũ.
• Đối với Câu hỏi 2 chúng tôi xây dựng và chứng minh Định lý Stern- berg cho phương trình vi phân không ôtônôm. Để chứng minh định lý này chúng tôi làm phẳng các đa tạp bất biến và loại bỏ các thành phần không cộng hưởng của hệ phi tuyến. Sau đó chúng tôi dùng phương pháp đường mở rộng để chứng minh kết quả. Kết quả của luận án Luận án đã đạt được những kết quả chính sau đây: 6 • Đưa ra điều kiện cần và đủ để hệ điều khiển tuyến tính liên tục là gán được phổ nhị phân mũ.
• Đưa ra điều kiện cần và đủ để hệ điều khiển tuyến tính rời rạc là gán được phổ nhị phân mũ. • Đưa ra một phiên bản của Định lý Sternberg về tuyến tính hóa trơn cho phương trình vi phân không ôtônôm. Các kết quả chính của luận án được công bố trong 04 bài báo trên các tạp chí quốc tế có uy tín và đã được báo cáo tại: 1. Xêmina của Phòng Phương trình vi phân, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.
Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ IX (14-18/8/2018), Nha Trang. Hội thảo Tối ưu và tính toán Khoa học lần thứ 18 (20-22/8/2020), Hòa Lạc, Hà Nội. Hội nghị đánh giá kết quả làm việc của nghiên cứu sinh các năm 2017, 2018, 2019, 2020, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Xêmina của Bộ môn Toán, Khoa Công nghệ Thông tin, Trường Đại học Xây dựng.
Bố cục của luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục công trình khoa học của tác giả có liên quan đến luận án và Tài liệu tham khảo, luận án có ba chương. 7 Trong Chương 1, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức chuẩn bị, bao gồm định nghĩa và một số kết quả về cấu trúc phổ nhị phân mũ, hệ điều khiển tuyến tính phụ thuộc thời gian dưới dạng vi phân và sai phân, tính điều khiển được đều. Trong Chương 2, chúng tôi nghiên cứu một số vấn đề về bài toán gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển phụ thuộc thời gian. Trong chương này chúng tôi đưa ra điều kiện cần và đủ để gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính có hệ số phụ thuộc vào thời gian.
Trong Chương 3, chúng tôi xây dựng Định lý Sternberg về tuyến tính hóa trơn cho phương trình phân không ôtônôm. 8 Bảng kí hiệu N Tập hợp các số tự nhiên. N∗ Tập hợp các số tự nhiên khác 0. Z Tập hợp các số nguyên.
R Tập hợp các số thực. R+ Tập hợp các số thực không âm. R− Tập hợp các số thực không dương. L∞ (J, Rd×d ) Tập tất cả các ma trận hàm nhận giá trị trong Rd×d đo được và bị chặn trên J, với J = R, R+.
L∞ (Z, Rd×s ) Tập hợp các dãy ma trận trong Rd×s bị chặn. LLya (Z, Rd×s ) Tập hợp các dãy ma trận trong Rd×s bị chặn và khả nghịch bị chặn. KCd,m (J) Tập tất cả các ma trận hàm nhận giá trị trong Rd×m bị chặn và liên tục từng khúc trên J. C k (Rd ) {f : Rd → Rd là các hàm C k khả vi}.
9 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi giới thiệu khái niệm và cấu trúc phổ nhị phân mũ cho phương trình vi phân tuyến tính (Mục 1.1) và cho phương trình sai phân tuyến tính (Mục 1.3 được dành để giới thiệu hệ điều khiển tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian và các đặc trưng cho tính điều khiển được đều của hệ.1 Phổ nhị phân mũ cho phương trình trình vi phân tuyến tính Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm có dạng: ẋ = A(t)x, t ∈ J, (1.1) trong đó J ở đây có thể là R+ (thời gian một phía dương), R− (thời gian một phía âm) hoặc R (thời gian hai phía) và A : J → Rd×d là ánh xạ đo được và thỏa mãn M := ess sup ||A(t)|| < ∞.) : J × J → Rd×d là toán tử tiến hóa của (1.