I. Giới thiệu về phân rã tensor
Phân rã tensor đã trở thành một phương pháp phổ biến trong phân tích dữ liệu đa chiều trong nhiều ứng dụng khác nhau. Mục tiêu chính của phân rã tensor là giảm chiều, xấp xỉ hoặc phục vụ cho các mục đích không gian con. Tuy nhiên, sự xuất hiện của "dữ liệu lớn" đã làm tăng độ phức tạp tính toán khi thực hiện phân rã tensor. Luận văn này, được thúc đẩy bởi những lợi ích của phương pháp GMNS (Generalized Minimum Noise Subspace), đã đề xuất hai thuật toán cho phân tích không gian con chính (PSA) và hai thuật toán cho phân rã tensor sử dụng phân tích yếu tố song song (PARAFAC) và phân rã giá trị kỳ dị bậc cao (HOSVD). Các phân rã được đề xuất có thể bảo tồn nhiều thuộc tính mong muốn của PARAFAC và HOSVD trong khi giảm đáng kể độ phức tạp tính toán.
1.1 Khái niệm về tensor
Tensor là một mảng đa chiều và thường được coi là một sự tổng quát của ma trận. Đại diện tensor cung cấp một mô tả tự nhiên của dữ liệu đa chiều, do đó phân rã tensor trở thành một công cụ hữu ích để phân tích dữ liệu có chiều cao. Phân rã tensor đã được sử dụng trong nhiều ứng dụng, chẳng hạn như trong lĩnh vực thần kinh học, nơi tín hiệu não có thể được theo dõi qua các vùng não khác nhau theo thời gian.
II. Các phương pháp phân rã tensor
Hai phương pháp phân rã tensor phổ biến là phân tích yếu tố song song (PARAFAC) và phân rã Tucker. PARAFAC phân rã một tensor thành tổng của các tensor bậc 1, trong khi phân rã Tucker phân rã một tensor thành một tensor lõi kết hợp với một tập hợp các ma trận (gọi là yếu tố) được sử dụng để nhân theo mỗi chế độ. Nhiều thuật toán đã được đề xuất cho phân rã tensor, có thể phân loại thành ba phương pháp chính: dựa trên chia và chinh phục, nén, và tối ưu hóa. Phương pháp chia và chinh phục nhằm chia một tensor thành một số lượng hữu hạn các sub-tensor, sau đó ước lượng các yếu tố của các sub-tensor và cuối cùng kết hợp chúng lại thành các yếu tố thực sự.
2.1 Phân tích không gian con chính dựa trên GMNS
Phân tích không gian con chính (PSA) dựa trên GMNS là một phương pháp hiệu quả để ước lượng không gian con từ các ma trận lớn. Quy trình GMNS cho PSA bao gồm việc chia ma trận thành các sub-ma trận, ước lượng không gian con chính cho từng sub-ma trận, và cuối cùng kết hợp chúng để thu được không gian con chính của ma trận ban đầu. Phương pháp này không chỉ giảm độ phức tạp tính toán mà còn cung cấp độ chính xác ước lượng cao.
III. Kết quả và thảo luận
Kết quả thực nghiệm cho thấy các thuật toán được đề xuất có giá trị thực tiễn cao. Các so sánh hiệu suất giữa các phương pháp PSA và phân rã tensor cho thấy rằng các phương pháp mới không chỉ cải thiện độ chính xác mà còn giảm đáng kể thời gian tính toán. Các ứng dụng của phân rã tensor trong phân tích tín hiệu não, phát hiện hoạt động bất thường và các lĩnh vực khác đã được chứng minh là rất hiệu quả. Điều này cho thấy rằng việc áp dụng kỹ thuật phân rã tensor dựa trên GMNS có thể mở ra nhiều cơ hội mới trong nghiên cứu và ứng dụng khoa học.
3.1 Ứng dụng thực tiễn
Phân rã tensor có thể được áp dụng trong nhiều lĩnh vực như y học, kỹ thuật và khoa học xã hội. Ví dụ, trong lĩnh vực y học, phân rã tensor có thể giúp phát hiện các hoạt động bất thường trong tín hiệu EEG, từ đó hỗ trợ trong việc chẩn đoán và điều trị các bệnh lý thần kinh. Sự kết hợp giữa phân tích không gian con chính và phân rã tensor mở ra hướng đi mới cho nghiên cứu và phát triển trong các lĩnh vực này.
