Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học với đề tài "Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp" được thực hiện bởi nghiên cứu sinh Hồ Phi Tứ, dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. Phạm Ngọc Anh (Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông) và TS. Vũ Tiền Dũng, tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội (bảo vệ năm 2023), thuộc chuyên ngành Toán Ứng dụng, mã số 9460112.01.

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Mô hình cân bằng trong toán học là bước phát triển tiếp nối của lý thuyết tối ưu và bài toán bất đẳng thức biến phân trong bối cảnh có nhiều chủ thể tham gia với các mục tiêu cạnh tranh hoặc đối lập. Bài toán cân bằng hai cấp $\operatorname{BEP}(C, g, f)$ là mô hình tìm điểm cân bằng của song hàm mục tiêu cấp trên $f$ trên tập ràng buộc chính là tập nghiệm $\operatorname{Sol}(C, g)$ của một bài toán cân bằng cấp dưới với song hàm $g$. Mô hình này bao hàm nhiều bài toán quan trọng như bài toán tối ưu hai cấp, bất đẳng thức biến phân hai cấp, bài toán cân bằng trên tập điểm bất động và có ứng dụng trong việc phân tích các mô hình kinh tế vĩ mô điều tiết các trạng thái cân bằng Nash vi mô, cũng như bài toán điều khiển công suất mạng viễn thông CDMA.

Khoảng trống nghiên cứu được luận án nhận diện bao gồm bốn vấn đề chính:

  1. Khó khăn trong việc giải bài toán phụ: Các thuật toán lặp hiện có (như phương pháp điểm gần kề) đòi hỏi phải tìm nghiệm chính xác của các bài toán cân bằng hoặc bất đẳng thức biến phân phụ tại mỗi bước lặp, tạo ra khối lượng tính toán lớn.
  2. Giả thiết ngặt nghèo về tính chất song hàm: Sự hội tụ của các thuật toán đã có thường đòi hỏi các điều kiện rất mạnh như tính đơn điệu mạnh và tính liên tục kiểu Lipschitz.
  3. Miền ràng buộc không hiển: Tập ràng buộc $\operatorname{Sol}(C, g)$ không được xác định tường minh mà là tập nghiệm của một bài toán cân bằng khác, khiến các thuật toán tối ưu và chiếu trực tiếp thông thường không thể áp dụng trực tiếp.
  4. Hạn chế trong ứng dụng phương pháp chiếu: Phương pháp chiếu là công cụ hiệu quả trong bài toán cân bằng đơn cấp, nhưng việc mở rộng cho bài toán cân bằng hai cấp vẫn là hướng nghiên cứu còn mở.

Mục tiêu nghiên cứu

Luận án xác định bốn mục tiêu nghiên cứu cụ thể:

  1. Nghiên cứu đề xuất thuật toán chiếu dưới đạo hàm và thuật toán chiếu tổng quát kết hợp kỹ thuật quán tính cho bài toán cân bằng hai cấp đơn điệu.
  2. Nghiên cứu mở rộng thuật toán đạo hàm tăng cường cho bài toán cân bằng trên tập nghiệm của bài toán cân bằng hỗn hợp.
  3. Kết hợp phương pháp chiếu tổng quát và kỹ thuật phân tích DC (Difference of Convex functions) nhằm đề xuất thuật toán mới giải bài toán cân bằng trên tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân affine.
  4. Triển khai các tính toán số minh họa cho các thuật toán đề xuất trên phần mềm tính toán, so sánh với các thuật toán đã có và ứng dụng giải mô hình cân bằng kinh tế Nash-Cournot.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Lớp các bài toán cân bằng hai cấp trong không gian Hilbert thực $H$, bao gồm: bài toán cân bằng với ràng buộc là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng với ràng buộc là tập nghiệm bài toán cân bằng khác, bài toán cân bằng với ràng buộc là giao của tập điểm bất động và tập nghiệm bài toán cân bằng khác; cùng mô hình ứng dụng cân bằng kinh tế Nash-Cournot.
  • Phạm vi nghiên cứu: Đề xuất thuật toán lặp mới, cải tiến phương pháp xấp xỉ nghiệm thông qua việc mở rộng phương pháp chiếu, phương pháp đạo hàm tăng cường và phân tích DC; chứng minh sự hội tụ mạnh/yếu của dãy lặp và phân tích sai số tính toán.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Lịch sử nghiên cứu và các công trình nền tảng

Bài toán cân bằng $\operatorname{EP}(C, f)$ dạng tìm $x^* \in C$ sao cho $f(x^*, y) \ge 0, \forall y \in C$ được H. Isoda giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1955 trong bài báo "Note on non-cooperative convex game", sau đó được Ky Fan nghiên cứu năm 1972 dưới tên gọi bất đẳng thức Ky Fan. Đến các công bố của W. Oettli (1992) và E. Blum, W. Oettli (1994), bài toán này mới thu hút sự chú ý rộng rãi khi được chứng minh là khung lý thuyết bao trùm bài toán tối ưu $\operatorname{OP}(C, h)$, bài toán bù $\operatorname{CP}(C, F)$, bài toán bất đẳng thức biến phân $\operatorname{VI}(C, F)$, bài toán tối ưu véc tơ, bài toán điểm yên ngựa và bài toán cân bằng Nash.

Mô hình bài toán cân bằng hai cấp $\operatorname{BEP}(C, g, f)$ được O. Chadli và các cộng sự đề xuất lần đầu tiên vào năm 2000, mở ra hai nhánh nghiên cứu:

  1. Nghiên cứu lý thuyết: Sự tồn tại và tính chất nghiệm (được nghiên cứu bởi M. Bianchi, A. Moudafi, N. Hadjisavvas...).
  2. Nghiên cứu thuật giải và tính toán số:
    • Phương pháp điểm gần kề (PPA): Bắt nguồn từ B. Martinet (1970) cho bất đẳng thức biến phân, R. T. Rockafellar (1976) cho toán tử đơn điệu cực đại, I. V. Konnov (2003) cho bài toán cân bằng. A. Moudafi (2010) kết hợp phương pháp hàm phạt và PPA cho $\operatorname{BEP}(C, g, f)$, nhưng đòi hỏi giải chính xác bài toán phụ và yêu cầu điều kiện ngặt $|x^{k+1} - x^k| \le o(\epsilon_k)$. Z. Chbani và cộng sự (2015) đề xuất thuật toán D-PPA sử dụng khoảng cách Bregman tổng quát. H. Riahi và cộng sự (2018) đề xuất thuật toán tiến-lùi tách PFBSA.
    • Nguyên lý bài toán phụ (APP): G. Cohen (1980, 1988) đề xuất cho bài toán tối ưu và bất đẳng thức biến phân; G. Mastroeni (2003) mở rộng cho $\operatorname{EP}(C, f)$ nhưng đòi hỏi song hàm đơn điệu mạnh. T. D. Quoc, P. N. Anh, V. H. Nguyen (2012) đề xuất phương pháp đạo hàm tăng cường (extragradient) để giảm bớt giả thiết xuống mức giả đơn điệu.
    • Phương pháp chiếu dưới đạo hàm xấp xỉ: P. Santos và các cộng sự (2011) đề xuất thuật toán giải $\operatorname{EP}(C, f)$ chỉ với một phép chiếu và một bước tính dưới vi phân xấp xỉ tại mỗi bước lặp.
    • Kỹ thuật quán tính: Kỹ thuật tăng tốc độ hội tụ dựa trên sự kết hợp hai điểm lặp trước đó được F. Alvarez, H. Attouch (2001) và nhiều tác giả phát triển trong các bài toán biến phân.

Vị trí và khoảng trống luận án giải quyết

Luận án định vị nghiên cứu vào việc khắc phục hạn chế của các phương pháp lặp trước đó:

  • Loại bỏ yêu cầu giải chính xác các bài toán cân bằng phụ phức tạp ở từng bước lặp.
  • Mở rộng phương pháp chiếu dưới đạo hàm xấp xỉ và kỹ thuật quán tính từ bài toán cân bằng đơn cấp sang bài toán cân bằng hai cấp.
  • Đề xuất thuật toán đạo hàm tăng cường mở rộng cho bài toán cân bằng hai cấp hỗn hợp ($\operatorname{BMEP}$).
  • Ứng dụng phân tích DC để đưa bài toán phụ tại mỗi bước lặp về dạng hiển, chỉ gồm một bài toán lồi mạnh và một bài toán quy hoạch toàn phương.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Cơ sở lý thuyết và hệ thống khái niệm

Luận án sử dụng nền tảng giải tích hàm trong không gian Hilbert thực $H$ với tích vô hướng $\langle \cdot, \cdot \rangle$ và chuẩn cảm sinh $|\cdot|$, cùng các công cụ giải tích lồi, giải tích đa trị và giải tích phi tuyến:

  • Tập hợp và toán tử: Tập lồi, nón có đỉnh tại gốc, nón pháp tuyến ngoài $N_C(x^) = {w \in H : \langle w, y - x^ \rangle \le 0, \forall y \in C}$, hàm chỉ $\delta_C(x)$, khoảng cách Hausdorff $d_H(A, B) = \max{\sup_{x \in A}\inf_{y \in B}|x-y|, \sup_{y \in B}\inf_{x \in A}|x-y|}$.
  • Phép chiếu trực giao: Phép chiếu $P_C(x) = \operatorname{argmin}{|t - x| : t \in C}$.
  • Dưới vi phân và dưới vi phân xấp xỉ: Dưới vi phân $\partial f(x_0) = {w \in H : \langle w, x - x_0 \rangle + f(x_0) \le f(x), \forall x \in H}$ và $\epsilon$-dưới vi phân $\partial^\epsilon f(x_0) = {w \in H : \langle w, x - x_0 \rangle + f(x_0) \le f(x) + \epsilon, \forall x \in H}$.
  • Các dạng đơn điệu và liên tục của song hàm/ánh xạ:
    • Ánh xạ: Đơn điệu mạnh ngược ($\alpha$), đơn điệu mạnh ($\beta$), đơn điệu chặt, đơn điệu, giả đơn điệu ($\gamma$), giả đơn điệu mạnh, liên tục Lipschitz ($L$), ánh xạ co, không giãn, tiệm cận không giãn, giả co chặt ($\zeta$).
    • Song hàm $f(x, y)$: Đơn điệu mạnh ($f(x, y) + f(y, x) \le -\alpha|x - y|^2$), đơn điệu chặt, đơn điệu, giả đơn điệu, liên tục Lipschitz hai biến.

Hệ thống ký hiệu chuyên ngành trong luận án

Ký hiệu Ý nghĩa toán học
$\mathbb{N}, \mathbb{R}, \mathbb{R}_+, \mathbb{R}^n$ Tập số tự nhiên, tập số thực, số thực không âm, không gian Euclide $n$ chiều
$H$ Không gian Hilbert thực
$x_k \to x$, $x_k \rightharpoonup x$ Dãy ${x_k}$ hội tụ mạnh (theo chuẩn), hội tụ yếu tới $x$
$P_C(x), P_C^\epsilon(x)$ Hình chiếu, hình chiếu xấp xỉ của $x$ lên tập lồi đóng $C$
$N_C(x), N_C^\epsilon(x)$ Nón pháp tuyến ngoài, nón pháp tuyến xấp xỉ ngoài của $C$ tại $x$
$\partial g(x), \partial^\epsilon g(x)$ Dưới vi phân, dưới vi phân xấp xỉ của hàm $g$ tại $x$
$\partial_2 f(x, x), \partial_2^\epsilon f(x, x)$ Dưới vi phân, dưới vi phân xấp xỉ của hàm $f(x, \cdot)$ tại $x$
$\operatorname{Sol}(C, f)$ Tập nghiệm của bài toán cân bằng $\operatorname{EP}(C, f)$
$\operatorname{Sol}(C, g, f)$ Tập nghiệm của bài toán cân bằng hai cấp $\operatorname{BEP}(C, g, f)$
$\operatorname{VI}(C, F), \operatorname{BVI}(C, G, F)$ Bài toán bất đẳng thức biến phân, bất đẳng thức biến phân hai cấp
$\operatorname{EP}(C, f, \Phi), \operatorname{BMEP}$ Bài toán cân bằng hỗn hợp, bài toán cân bằng hai cấp hỗn hợp
$\operatorname{Fix}(T)$ Tập điểm bất động của ánh xạ $T$
$\text{DC}$ Hiệu của hai hàm lồi (Difference of Convex functions)

Phương pháp nghiên cứu

  • Phương pháp lý thuyết: Kỹ thuật giải tích lồi và toán tử không giãn, đánh giá bất đẳng thức giải tích để thiết lập điều kiện hội tụ mạnh/yếu của dãy lặp.
  • Phương pháp thực nghiệm tính toán: Cài đặt các thuật toán lặp trên môi trường MATLAB, kiểm thử trên các bài toán thực nghiệm mẫu (Test Problems) với các số chiều không gian khác nhau ($\text{Dim.No}$), ghi nhận số bước lặp ($\text{No.}$) và thời gian CPU tính bằng giây ($\text{CPU-times/s}$).

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1. Bài toán cân bằng hai cấp

Chương 1 hệ thống hóa các kiến thức cơ sở về giải tích lồi, phép chiếu và tính đơn điệu trong không gian Hilbert thực, đồng thời phân tích cấu trúc bài toán cân bằng hai cấp và các phương pháp giải kinh điển.

  • Mô hình tổng quát: Xét bài toán $\operatorname{BEP}(C, g, f)$: tìm $\hat{x} \in \operatorname{Sol}(C, g)$ sao cho $f(\hat{x}, y) \ge 0, \forall y \in \operatorname{Sol}(C, g)$. Luận án chứng minh tính bao hàm của mô hình đối với bài toán cân bằng đơn cấp ($f=0$), bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp $\operatorname{BVI}(C, G, F)$, bài toán cân bằng trên tập nghiệm $\operatorname{VI}(C, G)$ và bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm $\operatorname{EP}(C, g)$.
  • Điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm:
    • Bài toán $\operatorname{EP}(C, g)$ có nghiệm khi $g$ giả đơn điệu, $g(\cdot, x)$ bán liên tục, $g(x, \cdot)$ lồi nửa liên tục dưới và thỏa mãn điều kiện bức tồn tại tập compact $W \subset C$ sao cho $\forall x \in C \setminus W, \exists y \in W: g(x, y) < 0$.
    • Bài toán $\operatorname{BEP}(C, g, f)$ có nghiệm duy nhất khi $\operatorname{Sol}(C, g) \neq \emptyset$, $f$ giả đơn điệu mạnh, $f(\cdot, y)$ bán liên tục trên và $f(x, \cdot)$ lồi, nửa liên tục dưới, khả dưới vi phân.
    • Bài toán cân bằng hai cấp hỗn hợp ($\operatorname{BMEP}$): Luận án trình bày điều kiện để tập nghiệm $S_{\Phi\Psi}$ là tập lồi, compact và khác rỗng dựa trên tính đơn điệu mạnh $\beta$ của $g$, đơn điệu mạnh ngược $\alpha$ của $f$, toán tử $T$ $\delta$-dương mạnh và song hàm $\Phi, \Psi$ đối xứng lệch (skew-symmetric).
  • Đánh giá các thuật toán đã có: Phân tích chi tiết hạn chế của Thuật toán điểm gần kề Moudafi (2010), Thuật toán D-PPA Chbani (2015) và Thuật toán tiến-lùi tách PFBSA Riahi (2018).

Chương 2. Phương pháp chiếu dưới đạo hàm

Chương 2 tập trung xây dựng và phân tích sự hội tụ của thuật toán chiếu dưới đạo hàm xấp xỉ và thuật toán kết hợp kỹ thuật quán tính cho bài toán cân bằng hai cấp.

Thuật toán chiếu dưới đạo hàm xấp xỉ

  • Hệ giả thiết:

    • $(A_1)$: $\forall x \in C$, $g(x, \cdot)$ khả dưới vi phân; $g(x, \cdot)$ và $f(x, \cdot)$ lồi, nửa liên tục dưới trên $H$; nếu ${x^k}$ bị chặn và $\epsilon_k \searrow 0$ thì ${w^k}$ với $w^k \in \partial_2^{\epsilon_k} g(x^k, x^k)$ bị chặn.
    • $(A_2)$: Song hàm $g$ giả đơn điệu trên $C$ và thỏa mãn điều kiện para-đơn điệu: $\forall x^* \in \operatorname{Sol}(C, g)$, $x \in C: g(x, x^) = g(x^, x) = 0 \implies x \in \operatorname{Sol}(C, g)$.
    • $(A_3)$: $\forall y \in C$, $g(\cdot, y)$ nửa liên tục trên yếu trên $C$.
    • $(A_4)$: Song hàm $f$ $\delta$-đơn điệu mạnh trên $H$; $\forall \epsilon > 0$, $\partial_2^\epsilon f(x, x)$ compact và liên tục Lipschitz với hằng số $L > 0$ sao cho $\frac{L}{\delta} < 1$.

  • Cấu trúc thuật toán lặp (Thuật toán 2.1):

    1. Khởi tạo: Chọn $x^0 \in C$, $\epsilon > 0$ và các dãy tham số số thực không âm ${\epsilon_k}, {\xi_k}, {\rho_k}, {\eta_k}, {\sigma_k}, {\tau_k}, gán k := 0$.
    2. Bước 1: Tính $y^k = P_C(x^k - \alpha_k g^k)$ với $g^k \in \partial_2^{\epsilon_k} g(x^k, x^k)$, $\alpha_k = \frac{\xi_k}{r_k}$, $r_k = \max{\rho_k, |g^k|}$.
    3. Bước 2: Tính $x^{k+1} = P_C(y^k - \eta_k u^k)$ với $u^k \in \partial_2^{\tau_k} f(y^k, y^k)$.
    4. Điều kiện dừng: Nếu $|x^{k+1} - x^k| < \epsilon$ thì dừng; ngược lại gán $k := k + 1$ và quay lại Bước 1.

  • Kết quả hội tụ: Dưới các điều kiện tham số: $$\sum_{k=0}^\infty \eta_k = \infty, \quad \sum_{k=0}^\infty \eta_k^2 < \infty, \quad \sum_{k=0}^\infty \xi_k < \infty, \quad \sum_{k=0}^\infty \alpha_k \epsilon_k < \infty, \quad \lim_{k\to\infty} \tau_k = 0$$ dãy lặp ${x^k}$ và ${y^k}$ hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất $x^*$ của bài toán $\operatorname{BEP}(C, g, f)$. Quá trình chứng minh được thực hiện qua việc chứng minh tính bị chặn, thiết lập bất đẳng thức sai phân $a_{k+1} \le a_k - 2\eta_k f(x^k, y^k) + \eta_k^2 |u^k|^2 + 2\eta_k \tau_k$, và xét hai trường hợp của dãy số thực theo Bổ đề Maingé (2008).

  • Mở rộng: Ứng dụng thuật toán cho bài toán cân bằng với ràng buộc là giao của tập nghiệm bài toán cân bằng và tập điểm bất động $\operatorname{Fix}(T) \cap \operatorname{Sol}(C, g)$, cùng thuật toán dưới đạo hàm tăng cường quán tính.

Chương 3. Phương pháp đạo hàm tăng cường

Chương 3 mở rộng phương pháp đạo hàm tăng cường (extragradient) để giải lớp bài toán cân bằng hai cấp trên tập nghiệm của bài toán cân bằng hỗn hợp $\operatorname{BMEP}$.

  • Xây dựng thuật toán hai bước kiểu đạo hàm tăng cường nhằm khắc phục việc tính toán phép chiếu phức tạp khi tập ràng buộc chứa các thành phần phi tuyến hỗn hợp.
  • Chứng minh sự hội tụ của thuật toán dưới giả thiết song hàm cấp dưới giả đơn điệu và song hàm cấp trên thỏa mãn điều kiện đơn điệu mở rộng.
  • Ứng dụng giải quyết mô hình bài toán cân bằng kinh tế Nash-Cournot đa chủ thể sản xuất hàng hóa trên thị trường cạnh tranh có sự điều tiết vĩ mô.

Chương 4. Nguyên lý bài toán phụ DC

Chương 4 kết hợp nguyên lý bài toán phụ và kỹ thuật tối ưu DC (hiệu hai hàm lồi) để giải bài toán cân bằng trên tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân affine.

  • Đề xuất thuật toán nguyên lý bài toán phụ DC dạng hiển. Tại mỗi bước lặp, thuật toán phân rã bài toán phức tạp thành:
    1. Một bài toán tối ưu lồi mạnh.
    2. Một bài toán quy hoạch toàn phương (quadratic programming).
  • Thiết lập đánh giá sai số thuật toán và thực hiện các thử nghiệm tính toán số trên MATLAB, so sánh hiệu năng về số bước lặp và thời gian CPU với các phương pháp giải truyền thống.

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án tự nêu các kết quả và đóng góp khoa học mới bao gồm:

Đóng góp về mặt lý thuyết

  1. Đề xuất hai thuật toán kiểu chiếu mới:
    • Thuật toán chiếu dưới đạo hàm xấp xỉ giải bài toán cân bằng hai cấp đơn điệu mạnh với ràng buộc cân bằng đơn điệu, chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp về nghiệm duy nhất mà không yêu cầu giải chính xác bài toán phụ.
    • Thuật toán kết hợp phép chiếu tổng quát và kỹ thuật quán tính giải bài toán cân bằng với ràng buộc là giao của tập điểm bất động và tập nghiệm bài toán cân bằng khác ($\operatorname{Fix}(T) \cap \operatorname{Sol}(C, g)$).
  2. Mở rộng phương pháp đạo hàm tăng cường: Xây dựng thuật toán đạo hàm tăng cường giải bài toán cân bằng trên tập nghiệm của bài toán cân bằng hỗn hợp, chứng minh sự hội tụ dưới các điều kiện nới lỏng.
  3. Phát triển thuật toán DC dạng hiển: Kết hợp kỹ thuật phân tích DC và phương pháp chiếu tổng quát giải bài toán cân bằng trên tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân affine, tối ưu hóa cấu trúc bài toán phụ thành bài toán lồi mạnh và quy hoạch toàn phương.

Đóng góp về mặt tính toán và thực tiễn

  • Triển khai tính toán thực nghiệm trên phần mềm MATLAB, minh họa hiệu quả số, so sánh tốc độ hội tụ (số bước lặp, thời gian thực hiện CPU) với các thuật toán tham chiếu.
  • Áp dụng thuật toán giải quyết bài toán mô phỏng cân bằng kinh tế Nash-Cournot.

Bảng tổng hợp các lớp bài toán và thuật toán trong luận án

Chương Lớp bài toán nghiên cứu Phương pháp/Thuật toán đề xuất Tính chất hội tụ Dạng bài toán phụ tại mỗi bước lặp
Chương 2 $\operatorname{BEP}(C, g, f)$ đơn điệu; bài toán trên $\operatorname{Fix}(T) \cap \operatorname{Sol}(C, g)$ Chiếu dưới đạo hàm xấp xỉ; Chiếu tăng cường quán tính Hội tụ mạnh 01 phép chiếu lên tập $C$ + 01 phép tính $\partial^\epsilon$
Chương 3 Cân bằng trên tập nghiệm cân bằng hỗn hợp ($\operatorname{BMEP}$) Đạo hàm tăng cường mở rộng Hội tụ mạnh/yếu 02 bước xấp xỉ kiểu extragradient
Chương 4 Cân bằng trên tập nghiệm $\operatorname{VI}(C, F)$ affine Nguyên lý bài toán phụ DC dạng hiển Hội tụ 01 bài toán lồi mạnh + 01 bài toán quy hoạch toàn phương

Danh mục công trình khoa học đã công bố

Các kết quả của luận án được xây dựng từ 04 công trình khoa học:

  • 01 bài báo xuất bản trên tạp chí thuộc danh mục SCI (Q1).
  • 02 bài báo xuất bản trên tạp chí thuộc danh mục SCIE (Q1, Q2).
  • 01 bài báo gửi đăng trên tạp chí thuộc danh mục SCIE (Q1).

Kết quả nghiên cứu đã được báo cáo tại:

  • Hội thảo "Những hướng mới trong tối ưu tính toán và ứng dụng" (26–27/12/2021, Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán - VIASM).
  • Hội nghị quốc tế The International Symposium on Applied Science (ISAS2022) (14–16/10/2022, Trường Đại học Bách khoa ĐHQG-HCM).
  • Hội thảo "Tối ưu và Tính toán Khoa học" lần thứ 21 (20–22/4/2023, Ba Vì).
  • Hội nghị Toán học toàn quốc lần thứ X (08–12/08/2023, Đà Nẵng).
  • Seminar chuyên môn tại Bộ môn Toán học Tính toán - Toán Ứng dụng (Trường ĐH KHTN - ĐHQG Hà Nội) và Phòng Lab "Toán ứng dụng và Tính toán" (Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông).

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Căn cứ vào phạm vi và nội dung nghiên cứu được trình bày trong văn bản:

  • Phạm vi không gian và toán tử: Các thuật toán chủ yếu được thiết lập trong không gian Hilbert thực; cấu trúc bài toán ở Chương 4 giới hạn trên bài toán bất đẳng thức biến phân dạng affine.
  • Điều kiện tham số lặp: Các định lý hội tụ phụ thuộc vào việc lựa chọn các dãy bước nhảy và tham số hiệu chỉnh ${\alpha_k}, {\eta_k}, {\xi_k}, {\tau_k}$ thỏa mãn các chuỗi điều kiện tổng vô hạn và tổng bình phương hữu hạn, đòi hỏi sự điều chỉnh thích hợp trong tính toán thực tế.
  • Hướng phát triển: Mở rộng các thuật toán chiếu và tiếp cận DC cho các lớp bài toán cân bằng hai cấp với cấu trúc toán tử phi tuyến phức tạp hơn, bài toán cân bằng ngẫu nhiên, bài toán đa trị trong không gian Banach, và tối ưu hóa các quy tắc chọn bước nhảy tự điều chỉnh (step-size rules) để nâng cao tốc độ tính toán.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên khảo trong lĩnh vực Toán Ứng dụng và Lý thuyết Tối ưu:

  • Đối với nghiên cứu sinh và giảng viên ngành Toán: Cung cấp kỹ thuật chứng minh hội tụ cho các thuật toán chiếu, kỹ thuật giải tích lồi, phép chiếu dưới đạo hàm xấp xỉ, phương pháp đạo hàm tăng cường quán tính và phương pháp DC giải bài toán hai cấp.
  • Đối với các nhà nghiên cứu kinh tế lượng và mô hình hóa: Cung cấp công cụ toán học và thuật toán giải các bài toán cân bằng kinh tế thị trường Nash-Cournot có sự điều tiết vĩ mô.
  • Đối với kỹ thuật viễn thông: Cung cấp thuật toán biến phân giải quyết bài toán cân bằng trên tập điểm bất động áp dụng trong điều khiển công suất mạng viễn thông CDMA.

Câu hỏi thường gặp

1. Bài toán cân bằng hai cấp $\operatorname{BEP}(C, g, f)$ được định nghĩa như thế nào và do ai đề xuất đầu tiên?

Bài toán cân bằng hai cấp $\operatorname{BEP}(C, g, f)$ là bài toán tìm $\hat{x} \in \operatorname{Sol}(C, g)$ sao cho $f(\hat{x}, y) \ge 0, \forall y \in \operatorname{Sol}(C, g)$, trong đó $\operatorname{Sol}(C, g) = {x^* \in C : g(x^*, y) \ge 0, \forall y \in C}$. Bài toán này được O. Chadli và các cộng sự đề cập lần đầu tiên vào năm 2000, là mô hình tổng quát hóa của bài toán tối ưu hai cấp và bất đẳng thức biến phân hai cấp.

2. Ưu điểm cốt lõi của Thuật toán chiếu dưới đạo hàm xấp xỉ (Chương 2) so với phương pháp điểm gần kề là gì?

Thuật toán điểm gần kề truyền thống đòi hỏi tại mỗi bước lặp phải giải chính xác một bài toán cân bằng phụ và cần điều kiện hội tụ rất ngặt $|x^{k+1} - x^k| \le o(\epsilon_k)$. Ngược lại, Thuật toán 2.1 của luận án chỉ yêu cầu tính một phép chiếu trực giao lên tập lồi $C$ và tính một phần tử dưới vi phân xấp xỉ $\partial^\epsilon$, giúp giảm chi phí tính toán ở mỗi bước lặp mà vẫn đảm bảo dãy lặp hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất.

3. Thuật toán trong Chương 4 giải quyết lớp bài toán nào và bài toán phụ tại mỗi bước lặp có cấu trúc ra sao?

Chương 4 nghiên cứu bài toán cân bằng trên tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân affine bằng cách kết hợp phương pháp chiếu tổng quát và kỹ thuật phân tích DC. Điểm đặc thù là thuật toán ở dạng hiển: tại mỗi bước lặp chỉ đòi hỏi giải một bài toán tối ưu lồi mạnh và một bài toán quy hoạch toàn phương.

4. Mô hình ứng dụng thực tế nào được luận án sử dụng để kiểm chứng thuật toán?

Luận án ứng dụng các thuật toán đề xuất để giải mô hình cân bằng kinh tế Nash-Cournot (mô hình mở rộng của trò chơi bất hợp tác phân tích bài toán cung - cầu và cạnh tranh sản lượng giữa các công ty dưới sự điều tiết của hàm cân bằng kinh tế vĩ mô) và đề cập ứng dụng của bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động cho bài toán điều khiển công suất mạng CDMA.

5. Kết quả của luận án đã được công bố trên các diễn đàn khoa học nào?

Luận án được xây dựng từ 04 bài báo khoa học (01 bài báo SCI Q1, 02 bài báo SCIE Q1/Q2, 01 bài báo gửi đăng SCIE Q1) và đã được báo cáo tại 04 hội nghị/hội thảo chuyên ngành toàn quốc và quốc tế (Hội thảo Tối ưu VIASM 2021, Hội nghị quốc tế ISAS2022, Hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 21 tại Ba Vì 2023, và Hội nghị Toán học toàn quốc lần thứ X tại Đà Nẵng 2023).

Kết luận

Luận án tiến sĩ của tác giả Hồ Phi Tứ đã nghiên cứu và phát triển các phương pháp chiếu mở rộng nhằm giải quyết lớp bài toán cân bằng hai cấp trong không gian Hilbert thực. Công trình đã đề xuất thành công các thuật toán lặp mới bao gồm thuật toán chiếu dưới đạo hàm xấp xỉ kết hợp kỹ thuật quán tính, thuật toán đạo hàm tăng cường cho bài toán cân bằng hỗn hợp, và nguyên lý bài toán phụ DC dạng hiển cho ràng buộc bất đẳng thức biến phân affine. Các kết quả lý thuyết về sự hội tụ mạnh cùng các thử nghiệm số trên MATLAB và ứng dụng trong mô hình kinh tế Nash-Cournot đã khẳng định tính đúng đắn và hiệu quả tính toán của hệ thống thuật toán được đề xuất.