Luận án tiến sĩ về nhóm tự đẳng cấu và ứng dụng trong miền cn

Khám phá nghiên cứu về nhóm tự đẳng cấu trong toán học và ứng dụng quan trọng trong miền cn, mở rộng hiểu biết về lý thuyết nhóm và lĩnh vực liên quan.

• Tác giả: Nguyễn Thị Lan Hương
• Người hướng dẫn: PGS. TS Ninh Văn Thu
• Trường học: Đại học Quốc gia Hà Nội
• Chuyên ngành: Toán Giải tích
• Đề tài: Nhóm Tự Đẳng Cấu Của Một Số Lớp Miền Trong C
• Loại tài liệu: luận án tiến sĩ toán học
• Năm xuất bản: 2023
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Hàm đa điều hòa dưới
• 1.2. Khái niệm miền giả lồi
• 1.3. Khái niệm kiểu theo nghĩa D'Angelo
• 1.4. Khái niệm dãy hàm chuẩn tắc và giới hạn của dãy miền
• 2. CHƯƠNG 2: NHÓM TỰ ĐẲNG CẤU CỦA MỘT SỐ MIỀN TRONG C^n
• 2.1. Một số khái niệm và bổ đề
• 2.2. Nhóm tự đẳng cấu của mô hình D_p và Q_p
• 2.3. Tự đẳng cấu của mô hình kiểu hữu hạn
• 2.4. Một số ví dụ minh họa cho kết quả chính
• 3. CHƯƠNG 3: DÁNG ĐIỆU BIÊN CỦA HÀM SQUEEZING
• 3.1. Dáng điệu biên của hàm squeezing gần điểm biên có đối hạng
• 3.2. Day scaling trong miền nhiều chiều
• 3.3. Một số bổ đề kỹ thuật
• 3.4. Hàm squeezing đối với miền lồi tuyến tính
• KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
• DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
• DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

Tóm tắt

I. Giới thiệu về nhóm tự đẳng cấu

Nhóm tự đẳng cấu (nhóm tự đẳng cấu) là một trong những khái niệm cốt lõi trong toán học, đặc biệt trong lĩnh vực hình học phức. Nó liên quan đến các ánh xạ song chỉnh hình từ một miền vào chính nó, giúp xác định tính chất hình học của miền đó. Nhóm này được ký hiệu là Aut(Q) cho miền Q trong không gian phức C^n. Việc nghiên cứu nhóm tự đẳng cấu không chỉ giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của miền mà còn liên quan đến các ứng dụng thực tiễn trong khoa học, chẳng hạn như trong lý thuyết tương đối và vật lý lý thuyết. Theo định nghĩa, nhóm tự đẳng cấu của một miền được xác định bởi tất cả các ánh xạ song chỉnh hình từ miền đó vào chính nó. Điều này cho thấy rằng hình học của miền được xác định bởi cấu trúc của nhóm này. Như vậy, việc mô tả và tính toán nhóm tự đẳng cấu của các miền trong C^n là một nhiệm vụ quan trọng và cần thiết trong nghiên cứu toán học hiện đại.

1.1. Khái niệm và tính chất nhóm

Khái niệm về nhóm tự đẳng cấu bắt đầu từ việc xác định các ánh xạ song chỉnh hình, tức là các ánh xạ bảo toàn cấu trúc hình học của miền. Các tính chất của nhóm tự đẳng cấu như tính đóng, tính giao hoán và tính khả nghịch cũng được nghiên cứu kỹ lưỡng. Đặc biệt, sự tồn tại của các nhóm tự đẳng cấu không compact đã mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới trong giải tích phức. Việc phân loại các loại nhóm tự đẳng cấu theo các tính chất hình học của miền cũng là một trong những vấn đề quan trọng trong lĩnh vực này. Để làm rõ hơn, nhóm tự đẳng cấu có thể được phân loại thành các loại như nhóm giao hoán và nhóm phi giao hoán, tùy thuộc vào cách thức mà các ánh xạ trong nhóm tương tác với nhau.

II. Ứng dụng của nhóm tự đẳng cấu trong miền cn

Nhóm tự đẳng cấu không chỉ là một khái niệm lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn trong miền cn. Một trong những ứng dụng nổi bật là trong việc xác định các tính chất hình học của miền, từ đó giúp xây dựng các mô hình chính xác hơn trong khoa học. Việc mô tả nhóm tự đẳng cấu của các miền phức có thể dẫn đến những hiểu biết mới về các tính chất hình học như độ cong, tính đồng phôi và các đặc điểm khác. Hơn nữa, trong lĩnh vực vật lý lý thuyết, nhóm tự đẳng cấu đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả các đối tượng vật lý phức tạp, từ đó giúp giải thích các hiện tượng tự nhiên. Các nghiên cứu gần đây đã chỉ ra rằng nhóm tự đẳng cấu có thể ảnh hưởng đến các đặc tính của các hệ thống vật lý, chẳng hạn như sự chuyển pha và động lực học của các chất.

2.1. Mô hình hóa trong khoa học

Nhóm tự đẳng cấu cung cấp một công cụ mạnh mẽ để mô hình hóa các hiện tượng trong khoa học. Việc áp dụng các nhóm này vào các mô hình toán học cho phép các nhà khoa học dự đoán hành vi của các hệ thống phức tạp. Ví dụ, trong lĩnh vực vật lý, nhóm tự đẳng cấu có thể được sử dụng để mô tả các trạng thái của vật chất trong các điều kiện khác nhau, từ đó giúp hiểu rõ hơn về các hiện tượng như siêu dẫn hay sự hình thành của các cấu trúc trong vũ trụ. Hơn nữa, các ứng dụng của nhóm tự đẳng cấu còn mở rộng sang các lĩnh vực như sinh học và hóa học, nơi mà các mô hình phức tạp cần được phân tích và hiểu rõ hơn.

III. Kết luận và kiến nghị

Nghiên cứu về nhóm tự đẳng cấu trong toán học và ứng dụng của nó trong miền cn đã mở ra nhiều hướng đi mới cho các nghiên cứu tiếp theo. Việc hiểu rõ hơn về nhóm tự đẳng cấu không chỉ giúp nâng cao kiến thức lý thuyết mà còn có thể dẫn đến những ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Các nhà nghiên cứu nên tiếp tục khai thác các khía cạnh chưa được khám phá của nhóm tự đẳng cấu, đặc biệt là trong các miền phức tạp hơn và trong các ứng dụng thực tiễn. Đặc biệt, việc áp dụng các phương pháp mới từ giải tích phức và hình học phức có thể giúp phát hiện ra những kết quả mới và thú vị trong nghiên cứu nhóm tự đẳng cấu.

3.1. Hướng nghiên cứu tương lai

Để tiếp tục phát triển lĩnh vực này, các nghiên cứu trong tương lai nên tập trung vào việc phân loại và mô tả các nhóm tự đẳng cấu của các miền phức hơn nữa. Cụ thể, việc nghiên cứu các miền không compact và các miền giả lồi có thể mở ra nhiều cơ hội mới cho các ứng dụng trong khoa học. Ngoài ra, việc kết hợp giữa lý thuyết nhóm và các phương pháp số có thể mang lại những hiểu biết mới về các tính chất hình học của miền và nhóm tự đẳng cấu.

Trích đoạn nội dung tài liệu

CHƯƠNG 1 KIÊN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày về một số kiến thức cốt lõi liên quan đến các vấn đề nghiên cứu như: hàm điều hòa dưới, đa điều hòa dưới, miền giả lồi, kiểu theo nghĩa D'Angelo, đa kiểu Catlin, hàm peak đa điều hòa dưới và sự hội tụ của dãy miền.1 Ham đa điều hòa dưới Định nghĩa 1. Cho Q CC là một miền. 1 Tap hợp các ham điều hòa dưới không đồng nhất bằng —oo được ky hiệu la SH(Q). Cho Q CC là một miền.

Khi đó, ta có i) Nếu u : Q + [—oo,+o©) là điều hòa dudi trên QD va x : I > R là ham lôi, tăng trên khoảng I chứa u(Q) thi x ou là hàm điều hòa dưới trên Q. ii) Cho (Uj) sen là một day giảm của các ham điều hòa dưới trong Q. Khi đó, ham u := lim \, u; là điều hòa dưới trên Q. tii) Cho (Uj) sen là một day các ham điều hòa dưới trên Q va bị chặn trên địa phương trong ©, (€j) jen là một day số thực đương sao cho È) ej < co.

Khi jen đó, ham u := S2 cu; là điều hòa dưới trong Q. i) Cố dinha € C và c> 0. Khi đó, ham z 4 clog |z — a| là điều hòa dưới trên C và điều hòa trên C\{ø}. Tổng quát hon, giả sử © là một miền trong C và f : O > C là hàm chỉnh hình với ƒ # 0 trên Q.

Khi đó, log|f| là hàm điều hòa dưới trên ©. Hơn nữa, với a > 0, hàm |f|* là điều hòa dưới trên ©. ii) Cho (4;),- là một day số phức bị chặn và (c;),„p là một day số thực dương sao cho 3) e; < oo. Khi đó, ham jen zh u(z) := » log |z — a,| jen là điều hòa dưới trên C.

Cho Q là một miền trong C. Khi đó, ta có i) Một ham u : Q —> C trơn lớp C? là hàm điều hòa dưới nếu va chỉ nếu Au > 0 trên, Q. it) Mot ham u : Q + C thuộc USC(Q) AN LH}loc (Q) la điều hòa dudi nếu va chỉ nếu Au > 0 theo nghĩa phân bố. Tiếp theo, ta đưa ra định nghĩa và một số tính chất của ham da điều hòa dưới.

Cho 2 là miễn trong C". Một ham u:Q — [-00,+00) là đa điều hòa dưới nếu nó là ham nửa liên tục trên va uới mọi đường thang phúc A C C", ta có Ul,qg là ham điều hòa dưới trên An 9. Tập hợp những ham da điều hòa dưới không đồng nhất bằng —oo trên Q được ký hiệu là PSH(Q). Tính chất cuối cùng trong định nghĩa trên có thể viết lại thành công thức như sau: với mọi a € ©,£ € C” với |£| = 1 và r < 0 sao cho B(a,r) C ©, ta có 27 u(a) —< „Í 27 u(atre’€) dO.

0 16 Mệnh đề dưới đây được suy ra trực tiếp từ các tính chất của hàm điều hòa dưới. Cho Q là một miền trong C”. Khi đó, i) Nếu u: 9 — [-00, +00) là ham đa điều hòa dưới trong Q va x là một ham giá trị thực, loi, tăng trên một khoảng chúa ảnh u(Q) của u thà xou là đa điều hòa dưới trên ©. tt) Cho (w;),-w là mot dãy giảm của các hàm da điều hòa dưới trên Q.

Khi đó, u := lim u; là hàm đa điều hòa dưới trên Q. jroo Tương tự như đối với hàm điều hòa dưới, một ham œ trơn lớp C? là đa điều hòa dưới trên © nếu va chỉ nếu với moi a € © và £ € C”, ta có Trong trường hợp hàm wu không trơn thì u là đa điều hòa dưới trên 0 nếu và chỉ nếu với mọi € € C”, ta có - Ou › >0 1<7k<n Ki Om, = theo nghĩa phân bồ. Các mệnh đề dưới đây sẽ cho ta các tính chất cũng như ví dụ về các hàm đa điều hòa dưới. Cho Q C C" là một miền va f là hàm chỉnh hành trên Q sao cho f # 0 trên Q.

Khi đó, ham log |ƒ| là đa điều hòa đưới trên Q va đa điều hòa trên Q\{ƒ = 0}. Hơn nữa, vdia > 0, ham |f|* là đa điều hòa dưới trên Q. Có định Q C C" va Q'C C” là các miền. Giá situ € PSH(Q) va ƒ:©! + Q là ánh xa chỉnh hành.

Khi đó, wo ƒ € PSH (Q').2 Khái niệm miền giả lồi Định nghĩa 1. Gọi © là một miền trong C" vdi biên trơn lớp C!. Trong một lân cận đủ bé U của điểm biên p € OQ, ta có thể viet OnU={ze€U:p(z) < 0}, trong đó p là hàm thỏa mãn Vp #0 trên OONU. Khi đó, i) Ham p được gọi là ham xác định biên cho miền Q trong lan cận của p.

it) Ta nói rằng miền © có biên trơn lớp CK(1 < k < œ) tai p nếu ham xác định biên p trơn lớp C* tại p. iii) Biên OQ được gọi là trơn lớp CẺ nếu nó trơn lớp C* tại mọi điểm. i) Miền Q C C" với biên trơn lớp C2 được gọi là giả lồi tại p€ 09 nếu tồn tại ham xác định biên p, tức laQNU = {p < 0} uới U là một lan cận của p, sao cho dạng Levi L, thoả man n ap it) Miền Q C C" với biên tron lớp C? được gọi là giả lồi chặt tại p € OQ nếu ton tại ham «dc định biên p, túc là QNU = {p < 0} tới U là một lân cận của p sao cho Egle) w) = 3) g2 bai 02,02 (pyar > 0 uới moi w € Ty (AQ) \ {0}. Ma tran or ] ik 0"p được gọi là ma tran Hessian phức của ø tại p.

Khi đó, miền 2 giả lồi tại p € OO nếu ma trận Hessian phức của ø tại p là dạng song tuyến tính xác định không âm khi ta hạn chế trên không gian tiếp xúc phức 700. Chang hạn, hình cầu đơn vị B” là giả lồi mạnh vi ma trận Hessian phức của hàm xác định biên ø(z, Z) = |ziq|”+:-- + |zu|?— 1 chính là ma trận đơn vị. Cho ⁄ = { (21,22) e2: pla, 22) = Jal? + lx?" < i}, trong đó m € N*. Ta sẽ chứng minh # là một miền giả lồi.

Thật vậy, bằng tính toán đơn giản ta có: Op — 7%: Ø*p = 0: Op =m (zz''z7). On ”” 020% Ox% 222/7 Ø po =1; Ø? po 0; Ø? pe — m2 Ee mà 1) 021021 021029 022025 Khi đó, ma tran Hessian phức tai (2, 22) € OF có dạng 1 0 («) * 0 m2 zz|2,”=9 Do ma trận (+) xác định không âm nên # là miền giả lồi. Ta dé dàng chứng minh được rằng hình cầu đơn vị trong C” B" = {2 EC": |x? + lal? + --- + |z„|Ÿ < } là một miền giả lồi chặt. Bây giờ, ta nhắc lại khái niệm hạng của dang Levi.

Giả sử Q C C” với biên ØÔ trơn lớp C? gần điểm biên p € OQ. Không mất tổng quát, ta có thể giả sử p = 0. Hơn nữa, do 0Q là một đa tạp trơn nên theo Định lý ham ẩn, biên OQ (siêu mặt) gần p = 0 được cho bởi hàm xác định biên 0(z, Z, tu, 0) = Re(w) — @(z, Z, Im(0)), trong đó y là hàm trơn lớp C? trong một lân cận nào đó của p = 0. Khi đó, ma trận Hessian phức của ø có dạng 19 trong đó Ù = | adie Chú ý rằng L là một (n—1) x (n—1) ma tran và các vector trong 7Ø được sinh bởi hệ { Ozu z2; 0 a 28 Day " n—1 Nghia là, mỗi vector trong 7Ø được biểu diễn bởi (a,0) € C” với a € C"~†! nào đó.

Điều này suy ra rằng dang Levi tại gốc toa độ bằng a*La, tức là, nó được cho bởi (n — 1) x (n— 1) ma tran L. Nếu ma trận L là xác định không âm thi 00 giả lồi tại p = 0. Ta định nghĩa hang của dạng Levi tại p chính là hạng của ma trận Ù. Cho n > 3 và miền D:= {(,w) EC? x C: p:= Re(w) + Jal* + lal? < 0}, Khi đó, ma trận Hessian phức của p tại p = (21, z2,w) € OD có dang L 0 0 3 trong đó ma trận L được cho bởi 4|zil? 0 0 0 1 0 0 00 Do đó, hạng của dang Levi tại p = (21, 22,w) € OD bang 2 nếu z¡ # 0 va bằng 1 nếu p = (0,0,0) € OD.

Mot điểm p € OQ được gợi la điểm tụ quỹ đạo nếu tồn tại day {ƒf;} C Aut(Q) va ton tại q€ © sao cho ƒj(qg) 4 p khij > ©. Cho F¡¿ là miền Thullen cho bởi Fi 2 = { (1,22) € C?: |z2|? + Iz|Í < 1}. Thullen đã chỉ ra rằng Aut (E12) = $ (21, 2) ø; | ew (L — la ?) ig, z,e? 2- 4 :|a| < 1,01,0. (1 —az)'” 1 — Gz 20 Chọn dãy aj := 1— 1/7 —> 1, 7> 1.

Khi đó, aj = 1— 1/7 — I1 khi j —> œ và dãy tự dang cau ó; € Aut (E\›), cho bởi ó;(z¡, z2) = (| 2 ⁄ 1 —_ (L— jz)!” las) Z1 +2 — Sj ï 2 1⁄4 — Í ',1— đ7Z2 thoả mãn ¢;(0,0) = (0,—a;) — (0,—1) khij > oo. Điều này chứng tỏ rằng điểm biên (0, —1) là một điểm tụ quỹ đạo. Cũng nhận xét thêm rằng điểm biên (0, —1) là điểm giả lồi yếu của miền Ey». Vi F¡› không song chỉnh hình với hình cầu don vị B? nên các điểm biên tụ quỹ dao của nó bắt buộc phải giả lồi yếu.

Điều này suy ra từ Dinh lý Wong-Rosay [B0] 53] hoặc kết quả mở rộng của Efimov. A cho miền không bị chặn trong .3 Khái niệm kiểu theo nghĩa D’ Angelo Định nghĩa 1. Cho Q C C” là một miền uới biên trơn lớp C® va điểm p € OQ. Khi đó, kiểu D’Angelo r(89,p) của OQ tại p được định nghĩa như sau T(OQ, p) = sup trong đó p là một ham xác định biên cho Q trong một lan cận của p, (+) là cấp triệt tiêu tại 0, supremum được lay trên tat cả các đường cong chỉnh hành khác hằng +: (C,0) + (C",p).

Ta noi rằngp là điểm có kiểu hữu hạn nếu (AQ, p) < œ va là điểm có kiểu uô hạn nếu ngược lại. Cho siêu mặt M = {2 €C?: p= lal? + |x)" —1= 0} với ?m € N*. Chọn đường cong chỉnh hình +() = (1,t),t € C. Ta cũng chứng minh được rằng vy) T(M,p) < 2m (xem trong bài báo [27]).

Bằng chứng minh tương tự, ta có 7(M, (e”,0)) = 2m với moi Ø € R.