I. Đạo hàm Lie
Đạo hàm Lie là một công cụ quan trọng trong toán học hiện đại, đặc biệt trong nghiên cứu các đa tạp Riemann. Nó được sử dụng để mô tả các đặc trưng hình học của đa tạp, như độ cong và độ xoắn. Đạo hàm Lie cũng có ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác như phương trình vi phân, hệ động lực, và cơ học lượng tử. Trong luận án, đạo hàm Lie được nghiên cứu trên các dòng và liên thông, nhằm bổ sung các tính chất hình học trên đa tạp Riemann.
1.1. Đạo hàm Lie của dòng
Đạo hàm Lie của dòng được định nghĩa và nghiên cứu trên đa tạp Riemann. Các tính chất cơ bản của đạo hàm Lie được trình bày, bao gồm sự tương tác với các dạng suy rộng. Một ứng dụng quan trọng là việc chứng minh định lý vận chuyển Reynolds, trong đó đạo hàm Lie đóng vai trò chính trong việc mô tả sự thay đổi của dòng trên đa tạp.
1.2. Đạo hàm Lie của liên thông
Đạo hàm Lie của liên thông được nghiên cứu trong mối liên hệ với vi phân ngoài liên kết. Các tính chất của đạo hàm Lie được áp dụng để nghiên cứu tenxơ cong và tenxơ xoắn trên đa tạp. Đặc biệt, đạo hàm Lie của liên thông pháp dạng được sử dụng để mô tả các tính chất hình học của đa tạp con Riemann.
II. Dòng và liên thông
Dòng và liên thông là hai khái niệm trung tâm trong hình học vi phân và tôpô. Dòng được sử dụng để nghiên cứu các k-mặt trên đa tạp, trong khi liên thông là công cụ để mô tả các tính chất hình học như độ cong và độ xoắn. Trong luận án, dòng và liên thông được nghiên cứu trong mối quan hệ với đạo hàm Lie, nhằm tìm ra các điều kiện để đa tạp con cực tiểu.
2.1. Dòng trên đa tạp Riemann
Dòng được định nghĩa và nghiên cứu trên đa tạp Riemann. Các tính chất của dòng được trình bày, bao gồm sự tương tác với các dạng vi phân và dạng suy rộng. Một ứng dụng quan trọng là việc tìm điều kiện để đa tạp con cực tiểu, trong đó đạo hàm Lie của dòng đóng vai trò chính.
2.2. Liên thông trên đa tạp Riemann
Liên thông được nghiên cứu trong mối quan hệ với mêtric Riemann. Các tính chất của liên thông được trình bày, bao gồm sự tương thích với mêtric và các ứng dụng trong việc mô tả độ cong và độ xoắn. Liên thông pháp dạng được nghiên cứu để mô tả các tính chất hình học của đa tạp con Riemann.
III. Ứng dụng của đạo hàm Lie
Đạo hàm Lie có nhiều ứng dụng trong toán học và các ngành khoa học khác. Trong luận án, đạo hàm Lie được sử dụng để nghiên cứu các phương trình vi phân, hệ động lực, và cơ học lượng tử. Các kết quả nghiên cứu về đạo hàm Lie của dòng và liên thông được áp dụng để chứng minh các định lý hình học và tìm điều kiện để đa tạp con cực tiểu.
3.1. Ứng dụng trong phương trình vi phân
Đạo hàm Lie được sử dụng để tìm nghiệm của các phương trình vi phân và hệ phương trình tuyến tính. Các tính chất của đạo hàm Lie được áp dụng để nghiên cứu sự thay đổi của các đại lượng hình học theo thời gian.
3.2. Ứng dụng trong cơ học lượng tử
Đạo hàm Lie được sử dụng trong cơ học lượng tử để mô tả sự thay đổi của các trạng thái lượng tử. Các kết quả nghiên cứu về đạo hàm Lie của dòng và liên thông được áp dụng để nghiên cứu các tính chất hình học của các hệ lượng tử.
