I. Giới thiệu về mô hình ngẫu nhiên biến động
Mô hình ngẫu nhiên biến động là một công cụ quan trọng trong lĩnh vực toán tài chính, đặc biệt trong việc định giá các chứng khoán phái sinh như quyền chọn mua và quyền chọn bán. Mô hình này giúp phân tích sự biến động của giá tài sản theo thời gian và cung cấp cái nhìn sâu sắc về các yếu tố ảnh hưởng đến giá trị của chúng. Một trong những điểm nổi bật là sự khác biệt giữa mô hình này và mô hình Black-Scholes, khi mà mô hình ngẫu nhiên biến động chưa được nghiên cứu đầy đủ. Việc sử dụng phương trình giá trị để xác định giá trị của chứng khoán phái sinh là một yếu tố then chốt trong nghiên cứu này. Thông qua cấu trúc Markov của mô hình, việc định giá trở nên khả thi hơn, khi mà hàm giá trị được xác định thông qua kì vọng của chi phí cuối cùng, bao gồm giá trị hiện tại của tài sản và các yếu tố ảnh hưởng đến sự biến động.
1.1 Khái niệm cơ bản
Trong chương này, các khái niệm cơ bản về quá trình ngẫu nhiên và toán tài chính sẽ được trình bày. Định nghĩa về không gian xác suất, biến ngẫu nhiên, và các loại hội tụ sẽ được làm rõ, tạo nền tảng cho các phần sau. Các khái niệm này không chỉ là lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong việc phân tích và mô phỏng các mô hình tài chính. Đặc biệt, việc hiểu rõ về biến động ngẫu nhiên và cách thức mà nó ảnh hưởng đến giá tài sản là rất cần thiết cho việc áp dụng các phương pháp định giá trong thực tế.
II. Cơ sở toán tài chính
Chương này tập trung vào các khái niệm cơ bản trong toán tài chính, với trọng tâm là mô hình Black-Scholes-Merton và độ rủi ro trung tính. Mô hình Black-Scholes là một trong những mô hình nổi tiếng nhất trong lĩnh vực này, cung cấp công thức để định giá quyền chọn. Độ rủi ro trung tính cho phép các nhà đầu tư tính toán giá trị kỳ vọng của các tài sản trong điều kiện không có rủi ro. Việc áp dụng phương trình giá trị trong việc định giá các chứng khoán phái sinh là một trong những điểm nổi bật của chương này. Các phương trình này không chỉ giúp xác định giá trị hiện tại mà còn cho phép dự đoán các hành vi của thị trường trong tương lai.
2.1 Mô hình Black Scholes Merton
Mô hình Black-Scholes-Merton là nền tảng cho nhiều nghiên cứu trong lĩnh vực tài chính. Mô hình này sử dụng giả thuyết về thị trường hoàn hảo và rủi ro trung tính để phát triển công thức định giá quyền chọn. Một trong những điểm mạnh của mô hình này là khả năng tính toán giá trị của quyền chọn Châu Âu một cách chính xác, dựa trên các yếu tố như giá cổ phiếu, thời gian đáo hạn, và lãi suất. Tuy nhiên, mô hình này cũng có những hạn chế, đặc biệt là khi áp dụng vào các tình huống thực tế, nơi mà sự biến động có thể không ổn định như giả định ban đầu.
III. Mô hình ngẫu nhiên biến động
Chương này giới thiệu chi tiết về mô hình ngẫu nhiên biến động, nhấn mạnh vào việc chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của mô hình trong các điều kiện nhất định. Việc chứng minh tính ổn định của phương trình giá trị là rất quan trọng, vì nó đảm bảo rằng các giải thuật xấp xỉ có thể được áp dụng một cách chính xác. Đặc tính martingale của quá trình giá tài sản cũng được thảo luận, cho thấy rằng mô hình này có thể dự đoán chính xác sự biến động của giá tài sản trong tương lai. Nghiên cứu này không chỉ mang tính lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong việc định giá các loại tài sản tài chính.
3.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Việc xác định sự tồn tại và duy nhất nghiệm của mô hình ngẫu nhiên biến động là một trong những mục tiêu chính của chương này. Các kết quả chứng minh cho thấy rằng dưới một số điều kiện nhất định, mô hình này có thể cung cấp các giá trị chính xác cho các chứng khoán phái sinh. Điều này không chỉ tạo ra cơ sở lý thuyết vững chắc mà còn mở ra cơ hội cho các ứng dụng thực tế trong việc định giá tài sản. Nghiên cứu này cũng nhấn mạnh tầm quan trọng của việc hiểu rõ các yếu tố ảnh hưởng đến sự biến động của giá tài sản trong thị trường tài chính.
IV. Mô phỏng số
Chương cuối cùng của luận văn tập trung vào các phương pháp mô phỏng số, bao gồm phương pháp rời rạc Euler-Maruyama và Milstein. Việc áp dụng các phương pháp này cho phép mô phỏng và tính toán giá trị của các chứng khoán phái sinh một cách hiệu quả. Phương pháp Monte-Carlo cũng được sử dụng để kiểm tra và xác minh các kết quả từ các mô hình lý thuyết. Mô phỏng không chỉ giúp kiểm tra tính chính xác của các mô hình mà còn cho phép các nhà đầu tư đưa ra quyết định dựa trên các kịch bản thực tế khác nhau trong thị trường tài chính.
4.1 Phương pháp Monte Carlo
Phương pháp Monte-Carlo là một trong những kỹ thuật mạnh mẽ nhất để mô phỏng và định giá các chứng khoán phái sinh. Phương pháp này cho phép tạo ra hàng triệu kịch bản khác nhau về sự biến động của giá tài sản, từ đó tính toán giá trị kỳ vọng một cách chính xác. Việc áp dụng phương pháp này trong mô hình ngẫu nhiên biến động không chỉ giúp cải thiện độ chính xác của các dự đoán mà còn cung cấp cái nhìn sâu sắc về các yếu tố ảnh hưởng đến giá trị của tài sản. Đây là một công cụ hữu ích cho các nhà đầu tư và chuyên gia tài chính trong việc đưa ra quyết định đầu tư.
