Đặt vấn đề Trong thực tế chúng ta đánh giá kết quả không chỉ mang tính chất đúng hoặc sai mà còn mang tính chất định tính không chắc chắn thông qua việc sử dụng các biến ngôn ngữ để phản ánh. Một trong những cách đánh giá và xử lý dạng biểu diễn thông tin thu được những kết quả rất tốt đó là cách tiếp cận mờ.Zadeh đã xây dựng lý thuyết tập mờ, tạo ra một cơ sở toán học cho việc tiếp cận lập luận tính toán của con người. Ý tưởng của ông là mở rộng tập logic cổ điển (logic Boole), làm tăng thêm khả năng suy luận của con người, góp phần đánh giá kết quả đi đến độ chính xác nhất. Sau đây là một số khái niệm và tính chất cơ bản của tập mờ.2 Khái niệm tập mờ Định nghĩa 1.1 Cho E là một tập hợp bất kỳ, x là phần tử của E.
Tập mờ A trong E là tập hợp của những cặp được sắp xếp thứ tự A = {µA (x)/x}, ở đây µA (x) là hàm phụ thuộc nhận giá trị trong tập hợp M = [0, 1] 7 Hàm phụ thuộc chỉ ra mức độ phụ thuộc của phần tử x vào tập con A µA : E → M. Qua các khái niệm vừa nêu trên có thể thấy với một tập hợp thông thường được định nghĩa bằng sự liệt kê, hoặc giới hạn điều kiện nào đó, nhưng với tập mờ A không có giới hạn. Mỗi phần tử của tập mờ luôn đi kèm với một hàm thuộc µ , hàm này là ánh xạ từ các phần tử “thực” vào đoạn [0,1] mà giá trị của nó chỉ ra mức độ thuộc của phần tử này vào tập mờ. Khi đó A được biểu diễn dưới dạng A = {0, 3/x1 ; 0/x2 ; 1/x3 ; 0, 5/x4 ; 0, 9/x5 } Ví dụ 1.2 Xét tập hợp E gồm 5 người E = {x1 , x2 , x3 , x4 , x5 } lần lượt có tuổi là 20, 45, 12, 30, 78 và gọi A là tập hợp các người gọi là trẻ.
Ta có thể xây dựng hàm thuộc như sau: µA : E → [0, 1] ∀x ∈ E ta định nghĩa hàm phụ thuộc như sau Nếu 0 < x < 25 tuổi thì µA (x) = 1 x − 25 2 −1 Nếu x > 25 tuổi thì µA (x) = (1 + ( )) 5 Kết quả ta có tập mờ A = {(1/x1 ), (0, 05/x2 ), (1/x3 ), (0, 5/x4 ), (0, 0088/x5 )} Định nghĩa 1.2 Tập mờ A được gọi là rỗng, nếu như µA (x) = 0, ∀x ∈ E.3 Tập hợp có cấp độ α của tập mờ A là tập hợp Aα = {x\x ∈ E, µA (x) > α}.3 Những phép toán đối với tập mờ Định nghĩa 1.4 Tập mờ A và tập mờ B được gọi là bằng nhau nếu như với mọi ∀x ∈ E, µA (x) = µB (x). Kí hiệu A = B 1) Quan hệ bao hàm: Cho A, B là hai tập mờ trên cùng không gian tham chiếu E. Ta nói A chứa trong (A bao hàm trong B), ký hiệu A ⊆ B nếu µA (x) ≤ µB (x), ∀x ∈ E NếuA ⊆ B và B ⊆ A thì A = B. Khi đó gọi là A đồng nhất B.
2) Quan hệ bù nhau: Hai tập mờ A và B được gọi là bù nhau nếu ∀x ∈ E, µA (x) = 1 − µB (x) Kí hiệu A = B hoặc B = A 3) Các phép toán quan hệ tập mờ. Cho A và B là hai tập mờ trên E. c) Phép trừ: Hai tập mờ A\B = A ∩ B A\B = {(x, µA−B (x)) | x ∈ E, µA−B (x) = min{µA (x), 1 − µB (x)}} 4) Các phép toán đại số: Cho A, B là hai tập mờ trên E. a) Phép tổng đại số: A + B = {(x, µA+B (x)) | x ∈ E, µA+B (x) = µA (x) + µB (x) − µA (x).µB (x)}) b) Phép tích đại số: A.2 Phương pháp xây dựng hàm phụ thuộc của tập mờ Tồn tại 2 nhóm phương pháp xây dựng hàm phụ thuộc của tập mờ: trực tiếp và gián tiếp.1 Phương pháp trực tiếp Phương pháp trực tiếp cho ta xác định quy tắc định nghĩa giá trị của hàm phụ thuộc µA (x) của tập mờ A dựa trên mức độ ảnh hưởng của phần tử x trong tập E.
Ví dụ phương pháp trực tiếp có thể trực tiếp xác định giá trị của hàm phụ thuộc µA bởi bảng giá trị, công thức hoặc đồ thị. Như vậy, phương pháp trực tiếp để xác định hàm phụ thuộc được sử dụng cho những đại lượng đo được, ví dụ như vận tốc, thời gian, khoảng cách, áp suất, nhiệt độ,. hoặc khi có thể tính toán được bằng số cụ thể. Để xác định giá trị của hàm phụ thuộc của đối tượng bằng phương pháp trực tiếp ta làm như sau: • Xác định danh sách tính chất để đánh giá đối tượng; • Tìm trong danh sách này, xác định cực điểm cho mỗi tính chất; • Đối với mỗi cực, đối tượng được đánh giá bằng việc nó có được tính chất này như thế nào.1 Trong bài toán nhận dạng khuôn mặt có thể đưa ra điểm đánh giá như sau: Dấu hiệu 0 1 x1 chiều cao của trán thấp cao x2 hình dạng của mũi hếch quặp x3 chiều dài của mũi ngắn dài x4 hình dáng của khe mắt hẹp rộng x5 màu của mắt sáng tối x6 hình dáng của cằm nhọn vuông x7 độ dày của môi mỏng dày x8 màu da của mặt tối sáng x9 đường viền của khuôn mặt hình oval hình vuông Đối với từng khuôn mặt cụ thể A từ bảng điểm trên ta có thể xác định được µA (x) ∈ [0, 1].
Ngoài ra, ta có thể sử dụng m sự đánh giá khác nhau đối với khuôn mặt A rồi sau đó lấy giá trị trung bình của chúng.2 Phương pháp gián tiếp Phương pháp gián tiếp để xác định giá trị của hàm phụ thuộc sử dụng trong trường hợp khi không có những tính chất có thể đo được. Trong phương pháp gián tiếp, giá trị của hàm phụ thuộc được chọn sao cho thỏa mãn những điều kiện cho trước. Phương pháp gián tiếp sử dụng khó hơn phương pháp trực tiếp. Một trong những phương pháp gián tiếp nổi tiếng là phương pháp so sánh từng đôi một của T.
Giả sử biết được giá trị của hàm phụ thuộc, ví dụ µA (xi ) = ωi , i = 1, 2,. , n ωi thì cặp so sánh có thể biểu diễn bởi ma trận A = (aij ), ở đây aij =. ωj 1 Như vậy, aii = 1, i = 1, 2,. , n còn với i 6= j thì aij =.
aji Khi xây dựng điểm đánh giá giữa cặp so sánh, ta chú ý đến những điều sau: • xem xét xem 2 đối tượng cần so sánh, cái nào quan trọng hơn. • đánh giá sự khác biệt trong mức độ quan trọng theo 1 tiêu chuẩn cho trước. Sự khác biệt Sự đánh giá chất lượng Giải thích 0 không so sánh được So sánh 2 đối tượng không có ý nghĩa 1 có giá trị giống nhau 2 đối tượng có ý nghĩa ngang nhau 3 có giá trị thấp hơn 2 đối tượng có ý nghĩa khác nhau, nhưng không rõ rệt 5 có giá trị cao hơn 1 đối tượng có ý nghĩa cao hơn đối tượng khác 7 có giá trị cao hơn rõ rệt 1 đối tượng có ý nghĩa cao hơn rõ rệt đối tượng khác 9 có giá trị cao hơn tuyệt đối 1 đối tượng có ý nghĩa cao hơn tuyệt đối đối tượng khác 2, 4, 6, 8 là những khoảng giữa khi cần so sánh 2 đối tượng có ý nghĩa nằm ở khoảng giữa những đánh giá trên.2 Cần đánh giá mức độ quan trọng của chỉ số ảnh hưởng F = {x1 , x2 ,. x7 } của 1 hệ phức tạp.
Khi so sánh 2 đối tượng với nhau, ta thu được ma trận A = (aij ), i, j = 1,. , 7, ở đây, aij chỉ ra µF (xi ) lớn hơn µF (xj ) bao nhiêu lần, có nghĩa là chỉ số xi quan trọng hơn xj bao nhiêu lần trong việc đưa ra kết quả lựa chọn. 1 1/3 1/5 9 7 5 6 3 1 1/3 9 7 7 6 5 3 1 9 8 7 6 A= 1/9 1/9 1/9 1 1/7 1/6 1/5 1/7 1/7 1/8 7 1 3 2 1/5 1/7 1/7 6 1/3 1 2 1/6 1/6 1/6 5 1/2 1/2 1 Từ ma trận A √ a11 .,n Như vậy, theo công thức này thì µF = (0. Chương 2 Tích Phân Mờ 2.1 Đại số tập hợp Định nghĩa 2.1 Một đại số (hay trường) là một lớp những tập chứa X, ∅ và kín đối với mỗi phép toán hữu hạn về tập hợp (phép hợp, phép giao hữu hạn các tập hợp, phép hiệu và hiệu đối xứng hai tập hợp).2 σ− đại số Định nghĩa 2.2 Một σ-đại số là một lớp tập hợp chứa X, ∅ và kín đối với mọi phép toán đếm được hay hữu hạn về tập hợp.3 σ- đại số Borel Định nghĩa 2.3 Cho không gian tôpô (X, τ ).
σ - đại số sinh bởi họ tất cả các tập mở trong X được gọi là σ- đại số Borel.2 Phân loại độ đo mờ Trong những điều kiện hiện đại, việc tính toán những yếu tố không rõ ràng và những thông tin không đầy đủ là rất cần thiết đối với những bài toán kỹ thuật phức tạp. Trong đó con đường cổ điển để tính toán những yếu tố không rõ ràng dựa trên quá trình mô hình hóa bằng xác xuất và thống kê tỏ ra không thích hợp và dẫn đến kết quả sai. Tình huống trên được biểu hiện trên thực tế như sau: • Sự không đầy đủ hoặc thiếu kiến thức về tính chất của những thành phần tham gia vào bài toán cũng như mối quan hệ giữa chúng. • Khả năng hạn chế của quá trình thực nghiệm và việc không đủ kinh phí để mua máy thực nghiệm giá cao, không cho phép thu được những thông tin thống kê của những thành phần tham gia vào bài toán.
Vì những lý do nêu trên nên việc tìm ra con đường giải quyết không theo hướng cổ điển những vấn đề không rõ ràng là rất cần thiết.1 Khái niệm độ đo Cho P (X) là tập hợp tất cả những tập con của tập X còn R+ = [0, +∞).1 Độ đo là hàm số của tập hợp m : P (X) ⇒ R+ , thỏa mãn 3 tiên đề sau: • ∀A ⊂ X, m(A) > 0; m(∅) = 0.