Chương 1 Cơ sở lý thuyết 1.1 Điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân thường 1.1 Tính ổn định tại điểm cân bằng Trong phần này, chúng tôi giới thiệu trình bày về tính ổn định của điểm cân bằng trong hệ động lực [1, 3]: ẋ = f (x), x(t0 ) = x0 (1.1) trong đó f : D −→ Rn là một hàm Lipschitz địa phương từ một miền D ⊂ Rn vào Rn. Giả sử x(t) thỏa mãn điều kiện chuẩn cho sự tồn tại và duy nhất của nghiệm. Một điểm x∗ ∈ D được gọi là điểm cân bằng nếu f (x∗ ) = 0. Xét phép biến đổi y = x − x∗ và đặt g(y) = f (y + x∗ ).1 Điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân thường Điểm cân bằng của hệ theo biến mới là y = 0.
Vậy để đơn giản và không mất tính tổng quát , ta chỉ xét các khái niệm và tính chất của điểm cân bằng tại gốc tọa độ x = 0. Giả sử x(t) là một nghiệm bất kỳ của (1. Điểm cân bằng x = 0 của (1.1) được gọi là : (i) ổn định nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho: kx(0)k < δ ⇒ kx(t)k < ε, ∀t ≥ 0. (ii) không ổn định, nếu nó không phải là ổn định.2 Tính ổn định của điểm cân bằng trong hệ phương trình vi phân phi tuyến độc lập Tính ổn định là vấn đề đầu tiên được nói đến trong luận án tiến sĩ 1892 của Aleksandr Mikhailovich Lyapunov [3].
Lyapunov xét khai triển Taylor của hàm phi tuyến f tại điểm cân bằng x = 0 (Ở đây để đơn giản ta sẽ xét tại x = 0 dựa vào phép đổi biến đã nói ở phần trên): ∂f ∂f ẋ ∼ f (0) + (0)x + O(x2 ) ∼ (0)x + O(x2 ).2) ∂x ∂x Các đạo hàm riêng của phương trình được biểu diễn dưới dạng ma trận Ja- cobian. Nếu các thành phần của véc tơ x là (x1 , x2 , ., xn ) và các thành phần tương ứng của véc tơ f là (f1 , f2 , ., fn ), thì ma trận Jacobian có dạng: ∂f1 ∂f1 ∂f1. ∂fn ∂fn ∂fn ∂x1 ∂x2. ∂xn Nếu điều kiện đầu x(0) = x0 được chọn gần 0, thì x sẽ nhỏ trong khoảng lân cận của 0.
Ta có thể bỏ các thành phần bậc cao trong phương trình (1.2) và xấp xỉ 2 GVHD: TS. Nguyễn Minh Quân 1.1 Điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân thường hệ phi tuyến (1.1) bằng hệ tuyến tính ẋ = Ax, (1.3) với A là ma trân Jacobian tại điểm cân bằng x = 0. Chúng ta có định lý sau để xác định tính ổn định của điểm cân bằng của hệ (1. Cho x = 0 là điểm cân bằng của hệ phi tuyến (1.1), f : D → Rn là hàm vi phân liên tục.
∂x Khi đó: (i) x = 0 gọi là ổn định tiệm cận nếu tất cả các giá trị riêng λi của A nhỏ hơn 0, (ii) x = 0 là không ổn định nếu có một hoặc vài giá trị riêng λi lớn hơn 0. Chúng ta áp dụng định lý trên để xét tính ổn định của điểm cân bằng trong hệ phương trình vi phân sẽ được nêu trong luận văn ở phần sau.3 Phương pháp Runge-Kutta bậc bốn Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu về phương pháp Runge-Kutta bậc bốn dùng để giải số hệ phương trình vi phân thường mà sẽ được sử dụng trong các phần sau của luận văn. Xét hệ phương trình vi phân bậc 1: x0i = fi (x1 , x2 , ., xn ); xi (a) = αi , với a ≤ t ≤ b. Chia t thành N + 1 điểm t0 , t1 , t2 ,.
Nguyễn Minh Quân 1.2 Kỹ thuật tính nhiễu lên soliton lý tưởng Điều kiện đầu: x0 = α 1 xi+1 = xi + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ), 6 trong đó: k1 = hf (ti , xi ), h 1 k2 = hf (ti + , xi + k1 ), 2 2 h 1 k3 = hf (ti + , xi + k2 ), 2 2 k4 = hf (ti + h, xi + k3 ), i = 0, 1, 2,. Như vậy bằng cách xấp xỉ nghiệm theo phương pháp RK4 trên, ta có thể giải số hệ phương trình vi phân.2 Kỹ thuật tính nhiễu lên soliton lý tưởng Trong phần này, chúng tôi trình bày tóm tắt lý thuyết nhiễu lên soliton lý tưởng được phát triển bởi Kaup [14]. Sự truyền tải soliton trong ống dẫn sóng quang học được mô tả bởi phương trình NLS sau đây [4]: i∂z ψ + ∂t2 ψ + 2|ψ|2 ψ = 0, (1.4) trong đó ψ là trường sóng điện từ, z là khoảng cách truyền và t là thời gian, ∂t2 ψ mô tả quá trình khuếch tán bậc hai (dispersion) và 2|ψ|2 ψ được gọi là số hạng phi tuyến Kerr (Kerr nonlinearity). Tính khả tích của phương trình NLS được chứng minh bởi Zakharov và Shabat dựa trên lý thuyết tán xạ ngược ngược vào năm 1971 [22].
Nghiệm soliton của phương trình NLS [4, 18] là exp(iχ) ψsol (t, z) = η , (1.5) cosh(x) 4 GVHD: TS. Nguyễn Minh Quân 1.2 Kỹ thuật tính nhiễu lên soliton lý tưởng trong đó x = η(t − y − 2βz), χ = α + β(t − y) + (η 2 − β 2 )z, (1.6) và β, η, α và y tương ứng là tần số, biên độ, pha và vị trí của soliton. Chú ý rằng 2β là vận tốc của soliton. Các soliton truyền trong "ống dẫn sóng lý tưởng" sẽ không thay đổi hình dạng, biên độ, vị trí và tần số của soliton.
Tuy nhiên, trong thực tế ống quang dẫn luôn bị nhiễu bởi các tính chất Hóa học và Vật lí của vật liệu như Silica hoặc Silicon. Do vậy soliton sẽ bị biến dạng, mất năng lượng (giảm biên độ), thay đổi vận tốc, vị trí,. dưới tác động của nhiễu. Trong trường hợp này, để đánh giá ảnh hưởng của nhiễu đối với các tham số của soliton, chúng ta tìm một dạng nghiệm của nhiễu nhỏ quanh soliton lý tưởng ψ(t, z) = ψsol (t, z) + ψcon (t, z), (1.8) Ta có ∂z χ = η 2 − β 2 , ∂t χ = β, nên ∂z ψcon = exp(iχ)∂z v + vi exp(iχ)∂z χ = exp(iχ)∂z v + vi exp(iχ)(η 2 − β 2 ), ∂t ψcon = exp(iχ)∂t v + vi exp(iχ)∂t χ = exp(iχ)∂t v + vi exp(iχ), ¯ ∂t2 ψcon = exp(iχ)∂t2 v + 2 exp(iχ)iβ∂t v − β 2 v exp(iχ), |ψsol + ψcon |2 (ψsol + ψcon ) = (ψ sol + ψ con )(ψsol + ψcon )2 2 + ψ 2 + 2ψ ψ = ψ sol (ψsol con sol con ) , 2 + ψ 2 + 2ψ ψ +ψ con (ψsol con sol con ) 5 GVHD: TS.
Nguyễn Minh Quân 1.2 Kỹ thuật tính nhiễu lên soliton lý tưởng trong đó ψ là liên hợp phức của ψ. cosh x cosh x cosh x Thay các biểu thức trên vào (1.4) và loại bỏ các số hạng chứa |v|2 , v 2 , ta được i∂z ψsol + ∂t2 ψsol + 2|ψsol |2 ψsol h i 4η 2 v 2η 2 v + exp(iχ) i∂z v + i2 (η 2 − β 2 )v + ∂t2 v + 2iβ∂t v − β 2 v + cosh 2 x + cosh2 x =0 Vì i∂z ψsol + ∂t2 ψsol + 2|ψsol |2 ψsol = 0 nên 4η 2 v 2η 2 v 2 2 exp(iχ) i∂z v + i (η − β )v + ∂t2 v + 2iβ∂t v − β 2 v + 2 + = 0, cosh2 x cosh2 x hay ! 2η 2 v 2η 2 v ∂z v − i −η 2 v + ∂t2 v + + + .9) cosh2 (x) cosh2 (x) trong đó v là liên hợp phức của v. Điều này suy ra ! ! v v i∂z + L̂η = 0, (1.10) v v trong đó toán tử L̂η là 2η 2 L̂η = (∂t2 − η 2 )σ̂3 + (2σ̂3 + iσ̂2 ), (1.11) cosh2 (x) và σ1 , σ2 và σ3 là các ma trận Pauli ! ! ! 0 1 0 −i 1 0 σ̂1 = , σ̂2 = , σ̂3 =. Nguyễn Minh Quân 1.2 Kỹ thuật tính nhiễu lên soliton lý tưởng Toán tử L̂η thoả mãn các mối quan hệ sau σ̂1 L̂η σ̂1 = −L̂∗η , L̂+ η = σ̂3 L̂η σ̂3 .13) Tập riêng của toán tử L̂η là L̂η f = λf, (1.14) trong đó f là hàm riêng tương ứng với giá trị riêng λ.
Nghiệm tổng quát của phương trình (1.14), khi η = 1 là " # ! ! 2ik exp(−t) 0 exp(ikt) 1 fk (t) = exp(ikt) 1 − + , (k + i)2 cosh(t) 1 (k + i)2 cosh2 (t) 1 λk = (k 2 + 1), (1.15) ở đây −∞ < k < ∞ là chỉ số liên tục [14]. Dựa theo phương trình (1.13), f¯k = σ̂1 fk∗ là hàm riêng khác của L̂η .16) Đặc biệt, L̂η còn có các giá trị riêng và véc tơ riêng như sau ! 1 1 f0 (t) = , λ0 = 0, (1.20) cosh(t) 1 7 GVHD: TS. Nguyễn Minh Quân 1.3 Phương pháp giải số phương trình Schrödinger phi tuyến Các số hạng fk+ σ̂3 và f¯k+ σ̂3 (ở đây chỉ số trên "+" biểu diễn cho chuyển vị và phức liên hợp) là hàm riêng trái của L̂, thoả mãn Z ∞ Z ∞ f¯k+ σ̂3 f¯q dt = − fk+ σ̂3 fq dt = 2πδ(k − q), (1.22) −∞ −∞ Bốn hàm riêng fj , j = 0, 1, 2, 3 sẽ được dùng ở các phần sau để tính toán tác động của nhiễu lên bốn tham số biên độ, tần số, pha, vị trí của soliton.3 Phương pháp giải số phương trình Schrödinger phi tuyến Phương pháp số là một công cụ rất hữu ích trong việc kiểm chứng lại các tính toán lý thuyết và nghiên cứu tác động nhiễu lên phương trình NLS. Trong những năm gần đây đã có nhiều phương pháp số được phát triển để mô phỏng NLS.
Hầu hết các phương pháp này được phân thành hai loại: phương pháp sai phân hữu hạn (finite difference method) và các phương pháp giả phổ (pseudospectral method). Một trong những phương pháp được sử dụng rộng rãi để giải quyết bài toán truyền xung trong ống dẫn quang là phương pháp tách bước Fourier (split-step Fourier method) [4]. Phương pháp tách bước Fourier là một phương pháp giả phổ, sử dụng các phép biến đổi Fourier nhanh (FFT) để tính toán các biến đổi Fourier rời rạc (DFT) và phép biến đổi Fourier ngược. Chú ý rằng việc sử dụng định nghĩa để tính DFT của N điểm rời rạc cần tới O(N 2 ) phép tính, trong FFT chỉ cần dùng O(N log N ) phép tính.
Do N log N < N 2 nên tốc độ tính toán của phương pháp FFT nhanh hơn so với hầu hết các sai phân hữu hạn khác.
