Chương 1 Giới thiệu kiến thức cơ bản của phương trình vi phân có chậm Trong phần này chúng ta cùng xem xét một vài ví dụ về những ứng dụng của phương trình vi phân có chậm trong vật lý, y học và những lĩnh vực khác. Trong đó, tốc độ thay đổi hiện tại của một hàm số sẽ phụ thuộc vào các giá trị trong quá khứ của hàm số đó.1 Phương trình vi phân có chậm rời rạc 1.1 Bài toán pha trộn chất lỏng Đầu tiên, chúng ta nghiên cứu bài toán pha trộn chất lỏng được giới thiệu bởi R. Xét một bể chứa B gallons dung dịch nước muối mặn. Nước tinh khiết được chảy vào phía trên đỉnh bể với tốc độ q gallons mỗi phút.
Dung dịch nước muối trong bể được khuấy liên tục và được rời khỏi bể thông qua một van ở phía đáy bể với cùng tốc độ nước tinh khiết chảy vào bể (xem hình 1.1) inlet ∞ outlet Hình 1.1 Gọi x(t) là số lượng muối (đơn vị là pounds) có trong dung dịch nước 1 Luận văn Thạc sĩ Chuyên ngành Toán Ứng dụng muối chứa trong bể tại thời điểm t. Nếu chúng ta giả sử rằng lượng nước tinh khiết khi chảy vào bể được pha trộn liên tục, tức thời và hoàn toàn thì x(t) lượng nước muối rời khỏi bể sẽ là (mỗi pounds muối trong một gallon B dung dịch nước muối). Khi đó ta có độ biến thiên số lượng muối có trong bể là.1) B Nhưng trong thực tế, chúng ta cần chú ý rằng việc trộn dung dịch nước muối không thể xảy ra tức thời trong toàn bộ bể. Do đó nồng độ nước muối rời ra khỏi bể tại thời điểm t sẽ bằng nồng độ trung bình tại một thời điểm sớm hơn.
Ta gọi thời điểm sớm hơn đó là t − r. Chúng ta giả sử rằng r là một hằng số dương. Khi đó phương trình vi phân đối với hàm x(t) sẽ trở thành phương trình vi phân có chậm x(t − r) x0 (t) = −q (1.2) B q Đặt c = ta được B x0 (t) = −cx(t − r) (1.3) với r gọi là "chậm" hay "thời gian chậm".2 Bài toán về sự tăng trưởng dân số Tiếp theo, chúng ta tiếp tục nghiên cứu bài toán về sự tăng trưởng dân số cũng được giới thiệu bởi D.Diver trong tài liệu [1,trang 229]. Nếu gọi N (t) là số lượng của một loài động vật bị cô lập trong một vùng nào đó tại thời điểm t.
Một mô hình đơn giản cho sự tăng trưởng dân số của loài này là N 0 (t) = kN (t) (1.4) với k là hằng số dương. Sự tăng trưởng dân số này tuân theo quy tắc của một hàm mũ. Hồ Thanh Nhân 2 Khóa 2016-2018 Luận văn Thạc sĩ Chuyên ngành Toán Ứng dụng Một mô hình có tính thực tế hơn và có thể đạt được nếu chúng ta thừa nhận rằng tỉ lệ tăng trưởng k sẽ thay đổi và sẽ giảm dần khi N (t) phát triển và có số lượng lớn vì mật độ quá đông và thiếu lương thực. Do đó, chúng ta sẽ nghiên cứu phương trình vi phân sau: 0 N (t) N (t) = k 1 − N (t) (1.6) P trong đó k và P là các hằng số dương.
Phương trình này có thể giải bằng phương pháp tách biến. Phương trình (1.6) được viết lại dưới dạng: dN N dN N =k 1− N⇔ =k 1− dt dt P N P dN 1 1/P ⇔ = kdt ⇔ + dN = kdt N (1 − N/P ) N 1 − N/P N ⇔ ln N − ln(1 − N/P ) = kt + C ⇔ = ekt .eC 1 − N/P N0 Chọn N (0) ≡ N0 ta được eC =. Khi đó, kết quả thu được được 1 − N0 /P viết lại là N N0 N N0 ekt = ekt. ⇔ = 1 − N/P 1 − N0 /P P −N P − N0 Thực hiện việc giải bài toán cho ta kết quả là N0 .7) N0 kt 1+ (e − 1) P N0 Nếu nhỏ so với 1 thì nghiệm của phương trình sẽ là N0 ekt khi t dần P đến 0.
Đây cũng là nghiệm của phương trình (1. Nhưng khi t −→ ∞ bất chấp giá trị của N0 > 0 thì N (t) sẽ tiệm cận với giá trị trung bình của P. Các đường cong của hình 1.2 phát họa cho các giá trị của P .2 Hồ Thanh Nhân 3 Khóa 2016-2018 Luận văn Thạc sĩ Chuyên ngành Toán Ứng dụng Nếu chúng ta giả sử rằng phản ứng tự điều khiển sinh học được đại diện bởi N (t) yếu tố 1 − trong phương trình (1.6) là không tức thời mà chỉ phản P hồi sau một khoảng thời gian chậm r > 0 thì khi đó ta có phương trình vi phân có chậm.8) P Phương trình này đã được nghiên cứu một cách rộng rãi bởi Wright [1955], Kakutani và Markus [1958], Jones [1962], Kaplan và Yorkke [1975] và những người khác. Phương trình này thường được giới thiệu và viết lại có dạng là x0 (t) = cx(t) [1 − x(t − r)] (1.9) Vào năm 1948 Hutchinson [7] đã chỉ ra rằng những tác động tiêu cực của mật độ dân số cao gây ra đối với môi trường ảnh hưởng đến tỉ lệ sinh sản của loài chim vào những thời điểm sau đó do sự chậm phát triển và trưởng thành.
Điều này dẫn đến việc ông đề xuất phương trình logistic có chậm N 0 (t) = [b − aN (t − r)] N (t) (1.10) với a, b là các hằng số.2 Phương trình vi phân có chậm liên tục Theo trích dẫn [8], trong toán học, phương trình vi phân có chậm (DDEs) là một phương trình vi phân mà trong đó đạo hàm của một hàm số cần tìm tại một thời điểm nhất định được đưa ra theo các giá trị của hàm tại các thời điểm trước đó. DDEs cũng được gọi là hệ chậm thời gian (time - delay systems). Phương trình vi phân có chậm thường được biểu diễn dạng tổng quát là: dx(t) = x0 (t) = f (t, x(t), xt ) (1.11) dt Trong đó f : R × Rn × C (R, Rn ) 7→ Rn và xt = {x(τ ) : τ ≤ t} gọi là quỹ đạo nghiệm của phương trình trong quá khứ. Ví dụ đây là phương trình vi phân có chậm liên tục Z 0 dx(t) = f t, x(t), x(t + τ )dµ(τ ) dt −∞ Hồ Thanh Nhân 4 Khóa 2016-2018 Luận văn Thạc sĩ Chuyên ngành Toán Ứng dụng Chương 2 Một số phương pháp giải phương trình vi phân có chậm Trong lĩnh vực toán học, một số phương pháp đã được đề xuất để giải phương trình DDEs.
Những phương pháp điển hình để giải phương trình DDEs là phương pháp biến đổi Laplace, phương pháp nội suy Hermite, phương pháp Runge - Kutta, phương pháp giải từng bước, phương pháp số và nhiều phương pháp khác. Nội dung chính của chương này gồm ba phần: Phần 1: Chúng tôi xin giới thiệu phương pháp giải từng bước và phương pháp số để giải phương trình vi phân có chậm. Phần 2: Chúng tôi xin giới thiệu một số kiến thức bổ sung để xây dựng mô hình lan truyền HIV như chậm vô hạn dạng Gamma, phương trình đặc trưng và sự ổn định nghiệm và cuối cùng là các thuật toán tuyến tính. Phần 3: Chúng tôi xin giới thiệu về hàm Liapunov được sử dụng để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân có chậm.
Hồ Thanh Nhân 5 Khóa 2016-2018 Luận văn Thạc sĩ Chuyên ngành Toán Ứng dụng 2.1 Một số phương pháp cơ bản giải phương trình vi phân có chậm 2.1 Phương pháp giải từng bước phương trình vi phân có chậm rời rạc Theo tài liệu trích dẫn ([6], trang 4), chúng ta xét phương trình vi phân có chậm rời rạc dạng đơn giản nhất là x0 (t) = f (t, x(t), x(t − τ )) (2.1) trong đó τ > 0 gọi là thời gian chậm và phụ thuộc vào hàm điều kiện ban đầu là x(t) = P (t), với t ∈ [−τ ; 0] Để giải phương trình (2.1) ta thực hiện theo các bước sau: • Bước 1: Nếu t ∈ [−τ ; 0] thì x(t) = P (t) = x0 (t). Khi đó chúng ta sẽ giải phương trình x0 (t) = f (t, x(t), x0 (t − τ )) và giả sử nhận được nghiệm là x1 (t). Tương tự như bước 2 chúng ta sẽ giải phương trình x0 (t) = f (t, x(t), x1 (t − τ )) và giả sử nhận được nghiệm là x2 (t). Như vậy với mỗi khoảng thời gian chúng ta tìm một nghiệm của phương trình (2.1) và nghiệm tổng quát của phương trình x(t) bao gồm tất cả các nghiệm x0 , x1 , x2.
được xác định trong các khoảng thời gian cụ thể. Giải phương trình vi phân có chậm rời rạc sau x0 (t) = x(t − 1) − x(t) (2.2) với có hàm điều kiện ban đầu x(t) = (t − 1)2 với t ∈ [−1; 0] bằng phương pháp giải từng bước. Hồ Thanh Nhân 6 Khóa 2016-2018 Luận văn Thạc sĩ Chuyên ngành Toán Ứng dụng • Bước 2: Nếu t ∈ [0; 1] ⇒ t − 1 ∈ [−1; 0]. Từ điều kiện ban đầu ta có x(t − 1) = (t − 2)2.
Khi đó phương trình (2.2) trên đoạn [0; 1] sẽ là x0 (t) = (t − 2)2 − x(t) Bằng phương pháp biến thiên hằng số ta giải phương trình trên và thu được nghiệm là 1 x1 (t) = (t − 2)3 + Ce−t với t ∈ [0; 1] 3 1 • Bước 3: Nếu t ∈ [1; 2] ⇒ t−1 ∈ [0; 1] ⇒ x1 (t−1) = (t−3)3 +Ce−t+1. 3 0 Chúng ta sẽ giải phương trình x (t) = x1 (t − 1) − x(t). Quá trình sẽ tiếp tục cho đến khoảng thời gian t mà chúng ta muốn tiếp cận.2 Phương pháp giải phương trình vi phân có chậm rời rạc sử dụng MatLab Theo trang web Mathworks.com, phần mềm MatLab đã giới thiệu chương trình DDEsd dùng để giải DDEs do tác giả L.Shampiane thiết lập. DDEsd là chương trình giải bài toán DDEs với thời gian chậm là hằng số.
Xét phương trình DDEs y 0 (t) = f (t, y(t), y(t − τ1 ), .3) Trước tiên ta phải tạo một hàm để mã hoá phương trình DDEs. hàm này phải có các ký tự: dydt = ddefun(t,y,z), trong đó t là thời gian (biến độc lập), y là nghiệm cần tìm (biến phụ thuộc vào thời gian), z là một ma trận cột gồm nhiều thành phần mà mỗi thành phần là một có chậm. Tiếp theo ta phải định nghĩa hàm lịch sử y = history(t). Hàm lịch sử là nghiệm cần tìm khi t ≤ t0 , với t0 là hằng số cho trước.