I. Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, các kiến thức cơ bản liên quan đến vi tích phân và phương trình Born-Infeld được trình bày. Đầu tiên, khoảng cách Hausdorff và không gian các tập con đóng của một không gian metric được giới thiệu, giúp người đọc hiểu rõ hơn về các khái niệm cần thiết trong việc nghiên cứu tích phân. Khoảng cách Hausdorff được định nghĩa như là một cách đo độ gần gũi giữa các tập hợp, từ đó thiết lập các định nghĩa và tính chất cơ bản của không gian metric. Điều này rất quan trọng vì nó tạo nền tảng cho việc áp dụng lý thuyết này vào các bài toán thực tiễn trong lĩnh vực vật lý lý thuyết và khoa học máy tính. Các công thức và định lý cơ bản được trình bày rõ ràng, giúp người đọc dễ dàng theo dõi và áp dụng trong các phần sau của luận văn.
1.1 Khoảng cách Hausdorff
Trong phần này, khái niệm về khoảng cách Hausdorff được giải thích chi tiết. Khoảng cách này không chỉ là một công cụ lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong việc xác định sự gần gũi giữa các tập hợp trong không gian metric. Một trong những điểm nổi bật là tính chất của khoảng cách này giúp xác định các tập con đóng và mở trong không gian, từ đó hỗ trợ cho việc nghiên cứu các vấn đề liên quan đến tích phân. Cụ thể, định nghĩa về độ dôi của tập A trên tập B được nêu rõ, cùng với các ví dụ minh họa cụ thể. Điều này không chỉ giúp củng cố kiến thức lý thuyết mà còn tạo điều kiện cho việc áp dụng trong các lĩnh vực khác nhau như vật lý và toán học ứng dụng.
II. Bao hàm thức vi tích phân liên quan đến phương trình Born Infeld
Chương này tập trung vào việc nghiên cứu bao hàm thức vi - tích phân liên quan đến phương trình Born-Infeld. Hệ phương trình Born-Infeld, được xây dựng bởi Max Born và Leopold Infeld, là một trong những hệ phương trình phi tuyến quan trọng trong lý thuyết điện từ. Phần này sẽ trình bày những khái niệm cơ bản về bao hàm thức vi phân và ứng dụng của nó trong việc giải quyết các vấn đề liên quan đến phương trình Born-Infeld. Đặc biệt, việc áp dụng các kết quả của tích phân lồi vào phương trình này giúp mở rộng khả năng giải quyết các bài toán phức tạp trong vật lý lý thuyết. Các ví dụ cụ thể và minh họa rõ ràng sẽ được đưa ra để làm nổi bật sự quan trọng của lý thuyết này trong thực tiễn.
2.1 Giới thiệu tổng quan bài toán
Trong phần này, tổng quan về bài toán và các vấn đề liên quan đến phương trình Born-Infeld được trình bày. Các khái niệm về tích phân và phương trình vật lý sẽ được liên kết chặt chẽ để người đọc hiểu rõ hơn về sự cần thiết của việc nghiên cứu này. Hệ phương trình Born-Infeld không chỉ là một mô hình lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong việc giải thích các hiện tượng vật lý. Các kết quả nghiên cứu trong phần này sẽ được sử dụng để làm nền tảng cho các chương tiếp theo.
III. Ứng dụng các kết quả tích phân lồi để tìm hiểu hệ phương trình Born Infeld
Chương cuối cùng của luận văn tập trung vào việc áp dụng các kết quả từ tích phân lồi để nghiên cứu sâu hơn về hệ phương trình Born-Infeld. Phần này sẽ trình bày các phương pháp tiếp cận khác nhau trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình này, bao gồm cả việc sử dụng các kỹ thuật giải phương trình hiện đại. Những ứng dụng thực tiễn của các kết quả này sẽ được thảo luận, làm nổi bật giá trị của nghiên cứu trong việc phát triển lý thuyết vật lý hiện đại. Việc áp dụng các phương pháp tích phân lồi không chỉ giúp giải quyết các bài toán phức tạp mà còn mở ra hướng đi mới trong nghiên cứu lý thuyết bao hàm thức vi phân.
3.1 Phép xấp xỉ bằng phương pháp Young
Phép xấp xỉ bằng phương pháp Young được trình bày như một công cụ quan trọng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình Born-Infeld. Phương pháp này cho phép xây dựng các giải pháp gần đúng cho hệ phương trình phi tuyến, từ đó giúp người nghiên cứu có cái nhìn sâu sắc hơn về các đặc tính của hệ phương trình. Qua việc áp dụng phương pháp này, các kết quả thu được không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể ứng dụng trong các lĩnh vực khác như khoa học máy tính và kỹ thuật.
