Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học với đề tài "Một số luật số lớn đối với mảng nhiều chiều và mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị" được thực hiện bởi nghiên cứu sinh Bùi Nguyên Trâm Ngọc, dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. Nguyễn Văn Quảng và TS. Dương Xuân Giáp, bảo vệ tại Trường Đại học Vinh năm 2022 thuộc chuyên ngành Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học (mã số 9.46.01.06).

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Các định lý giới hạn nói chung và luật số lớn nói riêng là bộ phận nền tảng của lý thuyết xác suất và thống kê toán học, có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực thực tiễn như y học, kinh tế lượng, lý thuyết trò chơi và bài toán tối ưu ngẫu nhiên. Trong giai đoạn 40 đến 50 năm qua, việc mở rộng các luật số lớn từ trường hợp biến ngẫu nhiên đơn trị (nhận giá trị trong không gian thực hoặc không gian Banach) sang biến ngẫu nhiên đa trị (nhận giá trị trong không gian các tập con đóng của không gian Banach) thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học.

Tuy nhiên, không gian các tập con đóng khác rỗng $c(\mathcal{X})$ của một không gian Banach $\mathcal{X}$ không có cấu trúc tuyến tính của một không gian vectơ, do không tồn tại phần tử đối của một tập đóng bất kỳ và tổng của hai tập đóng nói chung chưa chắc là một tập đóng. Điều này khiến cho việc thiết lập các bất đẳng thức giải tích và luật số lớn gặp phải những rào cản kỹ thuật đặc thù. Đối với cấu trúc mảng nhiều chiều $\mathbb{N}^d$ và mảng tam giác, quan hệ thứ tự thông thường không có tính chất tuyến tính, cho phép xem xét nhiều dạng hội tụ khác nhau khi chỉ số cực đại ($m \vee n = \max{m, n}$) hoặc chỉ số cực tiểu ($m \wedge n = \min{m, n}$) tiến ra vô cùng.

Mặc dù các định lý giới hạn cho dãy và mảng biến ngẫu nhiên đơn trị đã được phát triển sâu rộng, nhiều kết quả tương ứng đối với mảng hai chiều, mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị và mảng nhiều chiều các hàm ngẫu nhiên nửa liên tục trên theo các dạng tôpô yếu (đặc biệt là tôpô gap) vẫn còn là khoảng trống chưa được giải quyết đầy đủ. Đề tài luận án được hình thành nhằm giải quyết các khoảng trống lý thuyết này.

Mục tiêu nghiên cứu

Luận án xác định hai mục tiêu nghiên cứu cụ thể được đánh số như sau:

  1. Thiết lập một số luật mạnh số lớn đối với mảng nhiều chiều các biến ngẫu nhiên đa trị với các giả thiết khác nhau về tính phụ thuộc và tính khả tích.
  2. Thiết lập một số luật mạnh số lớn cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị với các giả thiết khác nhau về tính chuẩn hóa và cấu trúc không gian hình học.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Các luật số lớn trong lý thuyết xác suất; các biến ngẫu nhiên đa trị nhận giá trị trong không gian các tập con đóng $c(\mathcal{X})$ của không gian Banach $\mathcal{X}$; các hàm ngẫu nhiên nửa liên tục trên thuộc không gian $\mathcal{U}$; các cấu trúc phụ thuộc và điều kiện khả tích bao gồm độc lập đôi một, compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro, bị chặn ngẫu nhiên đều, liên kết âm (NA), phụ thuộc âm (ND) và phụ thuộc âm đôi một (PND).
  • Phạm vi nghiên cứu: Luận án tập trung khảo sát mảng hai chiều ${X_{mn} : m \ge 1, n \ge 1}$ và mảng tam giác ${X_{ni} : n \ge 1, 1 \le i \le n}$ các biến ngẫu nhiên đa trị nhận giá trị trên không gian các tập con đóng của không gian Banach thực khả ly $\mathcal{X}$ hoặc không gian Banach Rademacher dạng $p$ ($1 < p \le 2$), ứng với dạng hội tụ theo tôpô gap khi $m \vee n \to \infty$ hoặc $n \to \infty$. Đồng thời, phạm vi nghiên cứu mở rộng sang mảng $d$-chiều ${X_{\mathbf{n}} : \mathbf{n} \in \mathbb{N}^d}$ các hàm ngẫu nhiên nửa liên tục trên liên kết âm theo mức và phụ thuộc âm đôi một theo mức.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Lịch sử nghiên cứu và các công trình nền tảng

Lý thuyết về không gian các tập con đóng của một không gian mêtric được F. Hausdorff khởi xướng từ năm 1927. Đến năm 1975, R. A. Vitale [3] lần đầu tiên thiết lập luật số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên đa trị độc lập cùng phân phối nhận giá trị trên không gian các tập con compact của không gian Euclid $\mathbb{R}^d$. Sau đó, S. Hart [2] mở rộng luật số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối nhận giá trị trên không gian các tập con đóng (có thể không bị chặn) của $\mathbb{R}^d$ và chỉ ra ứng dụng trong tối ưu hóa.

Khi chuyển từ không gian hữu hạn chiều $\mathbb{R}^d$ sang không gian Banach vô hạn chiều $\mathcal{X}$, các dạng hội tụ mêtric không còn tương đương và đòi hỏi các công cụ phân tích riêng:

  • D. A. Ralescu [48] nghiên cứu luật số lớn cho dãy độc lập cùng phân phối nhận giá trị tập compact theo mêtric Hausdorff $d_H$. Mêtric Hausdorff là dạng hội tụ mạnh nhất nhưng chỉ áp dụng được cho họ các tập compact.
  • C. Hess [25] chứng minh luật số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị nhận giá trị tập con đóng (có thể không bị chặn) của không gian Banach khả ly theo dạng hội tụ Mosco. Hội tụ Mosco phù hợp cho các không gian phản xạ và ứng dụng trong bất đẳng thức biến phân.
  • C. Hess [26] tiếp tục thu được luật số lớn cho dãy độc lập đôi một cùng phân phối trên không gian Banach khả ly ứng với hội tụ Wijsman (phù hợp cho cả không gian không phản xạ). Đến năm 1999, C. Hess [26] thiết lập kết quả tương tự cho các biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập lồi đóng theo tôpô Slice. Tôpô Slice là tôpô yếu xác định bởi họ các hàm khoảng cách $D(C, \cdot)$ với $C$ là một slice khác rỗng của hình cầu.
  • Khi tập $C$ được xét là tập lồi, đóng, bị chặn và khác rỗng, tôpô tương ứng được xác định là tôpô gap. P. Terán [58] (2016) đã chứng minh luật số lớn theo tôpô gap cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị độc lập đôi một cùng phân phối nhận giá trị tập con đóng của không gian Banach khả ly: $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \to \overline{co} X$ hầu chắc chắn theo tôpô gap.

Về cấu trúc phụ thuộc giữa các biến ngẫu nhiên:

  • Khái niệm phụ thuộc âm (ND) được E. L. Lehmann giới thiệu năm 1966. E. Matula [44] (1992) thiết lập luật số lớn cho mảng nhiều chiều các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm; Liu [43] đề xuất khái niệm phụ thuộc âm mở rộng.
  • Khái niệm liên kết âm (NA) được K. Alam và K. M. L. Saxena [1] đưa ra năm 1981, sau đó được K. Joag-Dev và F. Proschan [35] nghiên cứu hệ thống năm 1983.
  • Han [39] (1996) mở rộng liên kết âm cho vectơ ngẫu nhiên trong không gian Hilbert. Năm 2014, Nguyễn Văn Huấn và cộng sự [33] đưa ra khái niệm liên kết âm theo tọa độ và sự hội tụ đầy đủ cho dãy vectơ trong Hilbert. Lê Văn Thành và cộng sự [30] nghiên cứu tính phụ thuộc âm theo tọa độ. Nguyễn Trần Thuận và Nguyễn Văn Quảng [60] đưa ra khái niệm liên kết âm và phụ thuộc âm cho các hàm ngẫu nhiên nửa liên tục trên và chứng minh luật số lớn cho dãy hàm ngẫu nhiên.

Tại Việt Nam, các hướng nghiên cứu định lý giới hạn cho biến ngẫu nhiên đơn trị và đa trị được phát triển bởi Nguyễn Duy Tiến, Nguyễn Văn Quảng, Đặng Hùng Thắng, Lê Văn Thành, Đinh Quang Lưu, Bùi Khởi Đàm, Nguyễn Văn Huấn, Lê Văn Dũng, Tạ Công Sơn, Nguyễn Thị Thanh Hiền, Nguyễn Thị Thủy, Nguyễn Trần Thuận, Dương Xuân Giáp, Hoàng Thị Duyên, Phạm Trí Nguyễn. Gần đây, Dương Xuân Giáp đã nghiên cứu luật mạnh số lớn cho mảng hai chỉ số và mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị theo hội tụ Mosco và hội tụ Wijsman.

Khoảng trống luận án lựa chọn giải quyết

Luận án kế thừa phương pháp của P. Terán [58], kỹ thuật xây dựng mảng các hàm chọn của C. Castaing, Nguyễn Văn Quảng và cộng sự [10, 11], đồng thời phát triển kết quả của Dương Xuân Giáp để giải quyết các vấn đề chưa được khảo sát:

  1. Mở rộng luật mạnh số lớn theo tôpô gap từ trường hợp dãy một chỉ số của P. Terán sang mảng hai chiều ${X_{mn}}$ khi $m \vee n \to \infty$, dưới các điều kiện độc lập đôi một kết hợp compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro, hoặc biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach Rademacher dạng $p$.
  2. Thiết lập luật mạnh số lớn theo tôpô gap cho mảng tam giác ${X_{ni}}$ các biến ngẫu nhiên đa trị độc lập theo hàng.
  3. Mở rộng kết quả của Nguyễn Trần Thuận và Nguyễn Văn Quảng [60] từ dãy sang mảng $d$-chiều các hàm ngẫu nhiên nửa liên tục trên liên kết âm theo mức và phụ thuộc âm đôi một theo mức.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết và các khái niệm toán học sử dụng

Luận án vận dụng hệ thống khái niệm chuẩn của giải tích ngẫu nhiên đa trị và giải tích hàm:

  • Không gian nền tảng: Không gian xác suất đầy đủ $(\Omega, \mathcal{A}, P)$; không gian Banach thực khả ly $\mathcal{X}$ với chuẩn $|\cdot|$; không gian đối ngẫu $\mathcal{X}^$; mặt cầu đơn vị $S^ = {x^* \in \mathcal{X}^* : |x^*| = 1}$; $\sigma$-đại số Borel $\mathcal{B}_{\mathcal{X}}$.
  • Không gian các tập con: $c(\mathcal{X})$ là không gian các tập con đóng, khác rỗng của $\mathcal{X}$; $k(\mathcal{X})$ là không gian các tập con compact khác rỗng; $ck(\mathcal{X})$ là không gian các tập con lồi compact khác rỗng. Ký hiệu $\operatorname{cl} A$ là bao đóng, $\operatorname{co} A$ là bao lồi, $\overline{\operatorname{co}} A$ là bao lồi đóng của tập $A$.
  • Các phiếm hàm hình học: Chuẩn tập $|A| = \sup{|x| : x \in A}$; hàm khoảng cách $d(x, A) = \inf{|x-y| : y \in A}$; khoảng cách Hausdorff $d_H(A, B) = \max{\sup_{x \in A} d(x, B), \sup_{y \in B} d(y, A)}$; hàm tựa $s(x^, A) = \sup{(x^, y) : y \in A}$ với $x^* \in \mathcal{X}^*$; hàm khoảng cách gap $D(A, B) = \inf{|x-y| : x \in A, y \in B}$.
  • Biến ngẫu nhiên đa trị: Ánh xạ $X: \Omega \to c(\mathcal{X})$ đo được đối với $\sigma$-đại số Effros $\mathcal{B}_{c(\mathcal{X})}$. Tập các hàm chọn (lát cắt) khả tích cấp $p$ ký hiệu là $S_X^p(\mathcal{F}) = {f \in L^p(\mathcal{F}, \mathcal{X}) : f(\omega) \in X(\omega) \text{ h.c.}}$. Kỳ vọng Aumann được định nghĩa là $EX = {Ef : f \in S_X^1}$, kỳ vọng có điều kiện $E(X, \mathcal{F}) = {E(f|\mathcal{F}) : f \in S_X^1(\mathcal{F})}$.
  • Không gian hàm nửa liên tục trên: Không gian $\mathcal{K}$ các đoạn đóng bị chặn trên $\mathbb{R}$ với mêtric $d_H$ và $d_2$; không gian $\mathcal{U}$ gồm các hàm nửa liên tục trên $u: \mathbb{R} \to [0, 1]$, tựa lõm, giá mang compact và $[u]1 \ne \emptyset$, trang bị mêtric $D\infty(u, v) = \sup_{\alpha \in (0, 1]} d_H([u]\alpha, [v]\alpha)$ và $D_2(u, v) = (\int_0^1 d_2^2([u]\alpha, [v]\alpha) d\alpha)^{1/2}$. Khái niệm phương sai $\operatorname{Var} X$ và hiệp phương sai $\operatorname{Cov}(X, Y)$ của hàm ngẫu nhiên được định nghĩa theo công thức của Feng và cộng sự.

Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng thuần túy các phương pháp suy diễn giải tích và giải tích hàm lý thuyết:

  • Kỹ thuật lồi hóa (Convexification): Chuyển việc đánh giá giới hạn của tổng các biến ngẫu nhiên đóng không lồi về việc đánh giá tổng các bao lồi đóng thông qua định lý tách và hàm tựa.
  • Kỹ thuật phân tích theo khối (Block decomposition): Chia nhỏ mảng chỉ số thành các khối hữu hạn $k \times k$, đánh giá tiệm cận trên từng khối và chuyển qua giới hạn khi kích thước khối tăng vô hạn.
  • Kỹ thuật xây dựng mảng hàm chọn: Sử dụng định lý biểu diễn Castaing và phép chiếu lát cắt để quy biến ngẫu nhiên đa trị về họ đếm được các phần tử ngẫu nhiên đơn trị, sau đó áp dụng luật số lớn đơn trị.
  • Phép hoán vị thứ tự tổng và tích phân: Áp dụng định lý Fubini và các bất đẳng thức cực đại giải tích.
  • Sử dụng Định lý James: Khai thác tính chất không đạt chuẩn của phiếm hàm tuyến tính trên hình cầu đơn vị của không gian Banach không phản xạ để xây dựng các phản ví dụ chứng minh tính tối ưu của các điều kiện đặt ra.

Nguồn dữ liệu nghiên cứu

Luận án là công trình nghiên cứu toán học lý thuyết trừu tượng, không sử dụng dữ liệu thực nghiệm thống kê hay khảo sát xã hội. Toàn bộ cơ sở dữ liệu bao gồm hệ thống tiên đề giải tích, định lý xác suất trên không gian Banach và các công trình khoa học đã công bố trong danh mục tài liệu tham khảo.

Nội dung chính theo từng chương

Cấu trúc nội dung của luận án được tóm tắt qua bảng tổng hợp sau:

Chương / Phần Tên chương trong văn bản Đối tượng nghiên cứu chính Kết quả lý thuyết trọng tâm
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị $c(\mathcal{X}), k(\mathcal{X}), \mathcal{K}, \mathcal{U}$, các dạng hội tụ, biến ngẫu nhiên đa trị Hệ thống hóa định nghĩa, thiết lập Bổ đề 1.1 về hàm tựa, quan hệ giữa hội tụ gap, Wijsman và Painlevé-Kuratowski
Chương 2 Luật mạnh số lớn cho mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên đa trị theo tôpô gap Mảng hai chiều ${X_{mn}}$, compact khả tích đều Cesàro, không gian Rademacher dạng $p$ Thiết lập Bổ đề 2.1, Bổ đề 2.2, Định lý 2.5 ($m \vee n \to \infty$), Định lý 2.8 và 2 ví dụ phản chứng
Chương 3 Luật mạnh số lớn cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị theo tôpô gap Mảng tam giác ${X_{ni}}$ độc lập theo hàng trong Banach khả ly và Rademacher dạng $p$ Thiết lập luật số lớn cho phần tử ngẫu nhiên (Mục 3.1) và Định lý 3.x cho biến ngẫu nhiên đa trị (Mục 3.2)
Phần phụ lục Luật số lớn cho mảng các hàm ngẫu nhiên nửa liên tục trên Mảng $d$-chiều ${X_{\mathbf{n}}}$ nhận giá trị trong $\mathcal{U}$, cấu trúc NA và PND Thiết lập bất đẳng thức Rosenthal, Hájek-Rényi nhiều chiều và các luật số lớn cho mảng NA, PND

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Chương 1 gồm 4 tiểu mục, hệ thống hóa các khái niệm, bổ đề cơ sở làm nền tảng cho toàn bộ luận án:

  • Tiểu mục 1.1 (Sự hội tụ trên không gian các tập con đóng của không gian Banach): Trình bày các khái niệm hội tụ đối với mảng ${A_{\mathbf{n}} : \mathbf{n} \in \mathbb{N}^d} \subset c(\mathcal{X})$ gồm hội tụ Mosco ($A_{\mathbf{n}} \xrightarrow{M} A$), Painlevé-Kuratowski ($A_{\mathbf{n}} \xrightarrow{K} A$), Wijsman ($A_{\mathbf{n}} \xrightarrow{W} A$), Slice ($A_{\mathbf{n}} \xrightarrow{S} A$) và Gap ($A_{\mathbf{n}} \xrightarrow{G} A$). Luận án chứng minh Bổ đề 1.1: Với mọi $x^* \in \mathcal{X}^$, ta có bất đẳng thức: $$s(x^, s-\liminf_{|\mathbf{n}|\to\infty} A_{\mathbf{n}}) \le \liminf_{|\mathbf{n}|\to\infty} s(x^*, A_{\mathbf{n}})$$ Khẳng định tính tương đương giữa hội tụ Wijsman, hội tụ Slice và hội tụ Gap trên không gian các tập con lồi đóng khác rỗng.
  • Tiểu mục 1.2 (Biến ngẫu nhiên đa trị): Trình bày cấu trúc $\sigma$-đại số Effros $\mathcal{B}_{c(\mathcal{X})}$, định nghĩa biến ngẫu nhiên đa trị, phân phối xác suất $P_X$, tính độc lập, độc lập đôi một và cùng phân phối. Giới thiệu định lý biểu diễn hàm chọn Castaing, không gian hàm chọn $S_X^p(\mathcal{F})$, kỳ vọng Aumann $EX$, kỳ vọng có điều kiện $E(X, \mathcal{F})$ và hệ thống hóa Bổ đề 1.2 của F. Hiai (1985).
  • Tiểu mục 1.3 (Tính compact khả tích đều và tính bị chặn ngẫu nhiên đều của mảng các biến ngẫu nhiên đa trị): Đưa ra định nghĩa mảng hai chiều compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro: $$\sup_{m,n \ge 1} \frac{1}{mn} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n E\left(|X_{ij}| \mathbf{1}{{X{ij}(\cdot) \not\subset K}}\right) < \epsilon$$ với $K$ là tập con compact của $\mathcal{X}$. Đồng thời định nghĩa tính compact khả tích đều và bị chặn ngẫu nhiên đều cho mảng tam giác ${X_{ni}}$, chỉ ra ví dụ mảng tam giác bị chặn ngẫu nhiên đều bởi biến ngẫu nhiên $2X$ nhưng không cùng phân phối.
  • Tiểu mục 1.4 (Hàm ngẫu nhiên nửa liên tục trên): Trình bày không gian $\mathcal{K}$, không gian $\mathcal{U}$, các mêtric $D_\infty, D_2$, tính độc lập theo mức, cùng phân phối theo mức, phương sai và hiệp phương sai. Định nghĩa các khái niệm liên kết âm (NA), phụ thuộc âm (ND), phụ thuộc âm đôi một (PND) theo mức cho mảng $d$-chiều các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong $\mathcal{K}$ và $\mathcal{U}$.

Chương 2. Luật mạnh số lớn cho mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên đa trị theo tôpô gap

Chương 2 gồm 2 tiểu mục, tập trung thiết lập luật mạnh số lớn cho mảng hai chiều ${X_{mn} : m \ge 1, n \ge 1}$:

  • Tiểu mục 2.1 (Luật mạnh số lớn cho mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên đa trị compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro):
    • Luận án chứng minh Bổ đề 2.1: Nếu ${X_{mn}}$ compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro thì mảng các hàm chọn ${f_{mn}}$ ($f_{mn} \in S_{X_{mn}}^1$) cũng compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro, và mảng các biến ngẫu nhiên thực ${s(x^, X_{mn})}$ khả tích đều theo nghĩa Cesàro với mọi $x^ \in S^*$.
    • Luận án chứng minh Bổ đề 2.2: Với tập con compact $A \subset \mathcal{X}$, hình cầu đơn vị đóng $B$ và $r > 0$, ta có đẳng thức $\overline{\operatorname{co}}(A + rB) = \overline{\operatorname{co}} A + rB$.
    • Luận án đưa ra ví dụ phản chứng dựa trên Định lý James trong không gian Banach không phản xạ để chứng minh rằng nếu thiếu tính compact của tập $A$, đẳng thức trên không còn đúng.
    • Sử dụng Bổ đề 2.3 của Castaing và cộng sự [10], luận án thiết lập Định lý 2.5 (kết quả trọng tâm): Cho $1 < p \le 2$ và ${X_{mn} : m \ge 1, n \ge 1}$ là mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên đa trị độc lập đôi một, compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro thỏa mãn hai điều kiện:
      1. $\sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty (mn)^{-p} E|X_{mn}|^p < \infty$;
      2. Tồn tại tập compact $X \in k(\mathcal{X})$ sao cho $X \subset s-\liminf_{m \vee n \to \infty} (\operatorname{cl} E(X_{mn}, \mathcal{A}{X{mn}}))$ và $\limsup_{m \vee n \to \infty} s(x^, \operatorname{cl} EX_{mn}) \le s(x^, X)$ với mọi $x^* \in \mathcal{X}^*$. Khi đó: $$\frac{1}{mn} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n X_{ij} \xrightarrow{G} \overline{\operatorname{co}} X \quad \text{hầu chắc chắn theo tôpô gap khi } m \vee n \to \infty$$
    • Luận án xây dựng 2 ví dụ phân tích chi tiết: Ví dụ 1 chứng minh điều kiện (2) độc lập với các điều kiện còn lại; Ví dụ 2 xây dựng mảng biến ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện chuỗi mômen và compact khả tích đều Cesàro nhưng không thỏa mãn điều kiện (2), dẫn tới giới hạn gap không tồn tại hầu chắc chắn khi $m \vee n \to \infty$.
  • Tiểu mục 2.2 (Luật mạnh số lớn cho mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trên không gian các tập con đóng của không gian Banach):
    • Mở rộng kết quả sang không gian Banach Rademacher dạng $p$ ($1 < p \le 2$).
    • Thiết lập Định lý 2.8: Cho $\mathcal{X}$ là không gian Banach Rademacher dạng $p$, ${X_{mn}}$ là mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên đa trị độc lập thỏa mãn điều kiện hội tụ của chuỗi $\sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty (mn)^{-p} E|X_{mn}|^p < \infty$ và tồn tại $X \in k(\mathcal{X})$ thỏa mãn điều kiện giới hạn tiệm cận (2.3)–(2.4), khi đó trung bình Cesàro hội tụ hầu chắc chắn về $\overline{\operatorname{co}} X$ theo tôpô gap khi $m \vee n \to \infty$.

Chương 3. Luật mạnh số lớn cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị theo tôpô gap

Chương 3 khảo sát mảng tam giác các biến ngẫu nhiên ${X_{ni} : n \ge 1, 1 \le i \le n}$:

  • Tiểu mục 3.1 (Luật mạnh số lớn cho mảng tam giác các phần tử ngẫu nhiên): Thiết lập các luật mạnh số lớn bổ trợ cho mảng tam giác các phần tử ngẫu nhiên đơn trị trong không gian Banach dưới các giả thiết compact khả tích đều hoặc bị chặn ngẫu nhiên đều.
  • Tiểu mục 3.2 (Luật mạnh số lớn cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị): Thiết lập các luật mạnh số lớn theo tôpô gap cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị độc lập theo hàng trong 3 trường hợp:
    1. Mảng các biến ngẫu nhiên đa trị compact khả tích đều nhận giá trị trong không gian các tập con đóng của không gian Banach khả ly;
    2. Mảng các biến ngẫu nhiên đa trị bị chặn ngẫu nhiên đều nhận giá trị trong không gian các tập con đóng của không gian Banach khả ly;
    3. Mảng các biến ngẫu nhiên đa trị có kỳ vọng bị chặn và nhận giá trị trong không gian các tập con đóng của không gian Banach Rademacher dạng $p$.
  • Kết quả chính khẳng định tổng chuẩn hóa $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_{ni}$ hội tụ hầu chắc chắn theo tôpô gap về tập lồi đóng kỳ vọng tương ứng khi $n \to \infty$.

Phần phụ lục (Chương 4). Luật số lớn cho mảng các hàm ngẫu nhiên nửa liên tục trên

Phần phụ lục (Chương 4 trong mục lục) khảo sát mảng $d$-chiều các hàm ngẫu nhiên nửa liên tục trên:

  • Tiểu mục 4.1 (Luật số lớn cho mảng các hàm ngẫu nhiên nửa liên tục trên liên kết âm):
    • Thiết lập bất đẳng thức mômen cực đại dạng Rosenthal cho mảng $d$-chiều các biến ngẫu nhiên thực liên kết âm (NA).
    • Thiết lập bất đẳng thức cực đại dạng Hájek-Rényi cho mảng $d$-chiều các hàm ngẫu nhiên nửa liên tục trên liên kết âm theo mức.
    • Chứng minh các luật số lớn cho mảng $d$-chiều các hàm ngẫu nhiên liên kết âm theo mức dưới các điều kiện chuẩn hóa khác nhau.
  • Tiểu mục 4.2 (Luật số lớn cho mảng các hàm ngẫu nhiên nửa liên tục trên phụ thuộc âm đôi một):
    • Thiết lập luật số lớn cho mảng $d$-chiều các biến ngẫu nhiên thực phụ thuộc âm đôi một (PND).
    • Mở rộng thiết lập luật số lớn cho mảng $d$-chiều các hàm ngẫu nhiên nửa liên tục trên phụ thuộc âm đôi một theo mức, đồng thời chứng minh điều kiện đủ cho các giả thiết lý thuyết đặt ra.

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án đã đạt được các đóng góp khoa học mới về mặt lý thuyết giải tích xác suất:

  1. Mở rộng phạm vi hội tụ sang mảng hai chiều khi $m \vee n \to \infty$: Mở rộng thành công kết quả của P. Terán [58] (vốn chỉ xét cho dãy biến ngẫu nhiên một chiều độc lập cùng phân phối) sang mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên đa trị độc lập đôi một và compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro theo tôpô gap khi chỉ số cực đại $m \vee n \to \infty$.
  2. Thiết lập luật số lớn trên không gian Banach Rademacher dạng $p$: Mở rộng luật số lớn theo tôpô gap cho mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên đa trị độc lập nhận giá trị trong không gian Banach Rademacher dạng $p$ ($1 < p \le 2$).
  3. Giải quyết luật số lớn cho mảng tam giác đa trị: Thiết lập hệ thống định lý về luật mạnh số lớn theo tôpô gap cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị độc lập theo hàng dưới các điều kiện compact khả tích đều, bị chặn ngẫu nhiên đều và trong không gian Rademacher dạng $p$.
  4. Phát triển bất đẳng thức giải tích và luật số lớn cho hàm nửa liên tục trên: Mở rộng kết quả của Nguyễn Trần Thuận và Nguyễn Văn Quảng [60] từ dãy sang mảng $d$-chiều; thiết lập bất đẳng thức mômen cực đại dạng Rosenthal cho mảng $d$-chiều biến ngẫu nhiên thực liên kết âm và bất đẳng thức cực đại dạng Hájek-Rényi cho mảng $d$-chiều hàm ngẫu nhiên nửa liên tục trên liên kết âm theo mức.
  5. Đóng góp về công bố khoa học: Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 04 công trình khoa học chuyên ngành, bao gồm 02 bài báo trên tạp chí Journal of Convex Analysis, 01 bài báo trên tạp chí Fuzzy Sets and Systems (dạng In Press tại thời điểm bảo vệ) và 01 bài báo trên Tạp chí Khoa học Trường Đại học Vinh.

Kiến nghị và giải pháp đề xuất

Về mặt ứng dụng và phát triển khoa học, luận án đề xuất:

  • Sử dụng luận án làm tài liệu học tập, nghiên cứu chuyên khảo cho giảng viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học.
  • Tiếp tục nghiên cứu mở rộng các định lý giới hạn dạng khác (như luật số lớn yếu, định lý giới hạn trung tâm, luật logarit lặp) cho mảng nhiều chỉ số các biến ngẫu nhiên đa trị và hàm ngẫu nhiên nửa liên tục trên.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế dựa trên phạm vi nghiên cứu

  • Luận án tập trung chủ yếu vào dạng hội tụ hầu chắc chắn theo tôpô gap; chưa khảo sát chi tiết tốc độ hội tụ hoặc các dạng hội tụ phân phối tương ứng.
  • Cấu trúc phụ thuộc trong luận án giới hạn ở các lớp độc lập, độc lập đôi một, compact khả tích đều, liên kết âm (NA), phụ thuộc âm (ND) và phụ thuộc âm đôi một (PND); chưa bao quát các cấu trúc phụ thuộc phức tạp hơn như martingale đa trị, dãy dừng hay quá trình mixing đa chiều.
  • Không gian hình học của biến ngẫu nhiên đa trị chủ yếu xét trên không gian Banach khả ly và không gian Rademacher dạng $p$, chưa mở rộng sang các không gian phi tuyến hoặc đa tạp vi phân ngẫu nhiên.

Hướng nghiên cứu tiếp

Văn bản luận án định hướng các vấn đề tiếp tục khai thác:

  1. Nghiên cứu luật mạnh số lớn và luật số lớn yếu cho mảng nhiều chiều các biến ngẫu nhiên đa trị nhận giá trị trong các không gian hình học tổng quát hơn hoặc với các hệ số trọng số suy rộng.
  2. Thiết lập định lý giới hạn trung tâm và nguyên lý bất biến cho mảng nhiều chiều các hàm ngẫu nhiên nửa liên tục trên liên kết âm và phụ thuộc âm.
  3. Nghiên cứu các định lý giới hạn cho biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi hoặc tập mờ mức tổng quát.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên khảo trong lĩnh vực giải tích xác suất và thống kê lý thuyết:

  • Đối tượng thụ hưởng:
    • Nghiên cứu sinh, học viên cao học ngành Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học, Toán giải tích và Toán ứng dụng;
    • Giảng viên, nhà nghiên cứu về giải tích đa trị, giải tích lồi, tối ưu hóa ngẫu nhiên và lý thuyết độ tin cậy.
  • Các nội dung có giá trị tham khảo học thuật cao:
    • Kỹ thuật xây dựng mảng hàm chọn và phân tích khối $k \times k$ kết hợp với Bổ đề Castaing để xử lý hội tụ Painlevé-Kuratowski và hội tụ gap khi $m \vee n \to \infty$ trong Chương 2.
    • Bổ đề 2.2 và phương pháp áp dụng Định lý James trên không gian Banach không phản xạ để thiết lập phản ví dụ chứng minh tính tối ưu của điều kiện compact trong Chương 2.
    • Kỹ thuật thiết lập bất đẳng thức cực đại Rosenthal và Hájek-Rényi cho mảng nhiều chiều các hàm ngẫu nhiên liên kết âm tại Phần phụ lục.

Câu hỏi thường gặp

1. Tại sao luận án lại lựa chọn nghiên cứu hội tụ theo tôpô gap thay vì mêtric Hausdorff hay hội tụ Mosco?

Mêtric Hausdorff là dạng hội tụ mạnh nhất nhưng chỉ áp dụng được cho họ các tập compact, không phù hợp cho các biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập đóng không bị chặn. Hội tụ Mosco chủ yếu phù hợp với các không gian Banach phản xạ. Trong khi đó, tôpô gap được xác định bởi họ các hàm khoảng cách $D(C, \cdot)$ với $C$ là tập lồi, đóng, bị chặn và khác rỗng; tôpô này hoạt động tốt trên cả các không gian không phản xạ và phản ánh trực tiếp các bài toán tối ưu lồi bị chặn trong thực tế.

2. Sự khác biệt giữa giới hạn $m \vee n \to \infty$ và $m \wedge n \to \infty$ trong mảng hai chiều là gì?

Giới hạn $m \wedge n \to \infty$ đòi hỏi cả hai chỉ số $m$ và $n$ cùng tiến ra vô cùng ($\min{m, n} \to \infty$). Giới hạn $m \vee n \to \infty$ chỉ yêu cầu ít nhất một trong hai chỉ số tiến ra vô cùng ($\max{m, n} \to \infty$). Do đó, sự hội tụ khi $m \vee n \to \infty$ bao quát và khó thiết lập hơn, đòi hỏi phải kiểm soát đồng thời các giới hạn hàng, giới hạn cột và giới hạn đường chéo thông qua các bổ đề giải tích như Bổ đề 2.3 của Castaing.

3. Điều kiện (2) trong Định lý 2.5 có vai trò gì và có thể bỏ qua được không?

Điều kiện (2) bao gồm việc tồn tại tập compact $X$ sao cho $X \subset s-\liminf_{m \vee n \to \infty} (\operatorname{cl} E(X_{mn}, \mathcal{A}{X{mn}}))$ và $\limsup_{m \vee n \to \infty} s(x^, \operatorname{cl} EX_{mn}) \le s(x^, X)$. Đây là điều kiện khớp tiệm cận để đảm bảo giới hạn dưới và giới hạn trên theo hàm tựa trùng nhau. Luận án đã xây dựng hai phản ví dụ cụ thể khẳng định điều kiện (2) độc lập với các điều kiện còn lại và không thể bỏ qua; nếu thiếu điều kiện này, giới hạn theo tôpô gap của trung bình Cesàro sẽ không tồn tại hầu chắc chắn.

4. Bất đẳng thức nào đã được thiết lập cho mảng nhiều chiều hàm ngẫu nhiên nửa liên tục trên trong phần phụ lục?

Luận án đã thiết lập hai bất đẳng thức giải tích quan trọng: bất đẳng thức mômen cực đại dạng Rosenthal cho mảng $d$-chiều các biến ngẫu nhiên thực liên kết âm (NA) và bất đẳng thức cực đại dạng Hájek-Rényi cho mảng $d$-chiều các hàm ngẫu nhiên nửa liên tục trên liên kết âm theo mức.

Kết luận

Luận án tiến sĩ của tác giả Bùi Nguyên Trâm Ngọc đã giải quyết một cách có hệ thống bài toán thiết lập luật mạnh số lớn theo tôpô gap cho mảng hai chiều và mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị trên không gian Banach khả ly và không gian Rademacher dạng $p$. Công trình đồng thời mở rộng các bất đẳng thức cực đại Rosenthal, Hájek-Rényi và luật số lớn cho mảng $d$-chiều các hàm ngẫu nhiên nửa liên tục trên có cấu trúc liên kết âm và phụ thuộc âm đôi một theo mức. Toàn bộ các kết quả đạt được là những đóng góp lý thuyết mới trong chuyên ngành Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học, được chứng minh chặt chẽ bằng các phương pháp giải tích hiện đại và đã được công bố trên các tạp chí toán học quốc tế chuyên ngành uy tín.