Luận án tiến sĩ về luật số lớn trong mảng nhiều chiều và mảng tam giác của biến ngẫu nhiên đa trị

Nghiên cứu luật số lớn trong mảng nhiều chiều và mảng tam giác của biến ngẫu nhiên đa trị, khám phá ứng dụng và tính chất quan trọng trong thống kê.

• Đề tài: Luận Án Tiến Sĩ Về Luật Số Lớn Trong Mảng Nhiều Chiều Và Mảng Tam Giác Của Biến Ngẫu Nhiên Đa Trị
• Loại tài liệu: luận án

Tóm tắt

I. Giới thiệu về luật số lớn

Luật số lớn là một trong những nguyên lý cơ bản trong lý thuyết xác suất, đặc biệt trong nghiên cứu biến ngẫu nhiên đa trị. Nó chỉ ra rằng khi số lượng mẫu tăng lên, giá trị trung bình của các biến ngẫu nhiên sẽ hội tụ về giá trị kỳ vọng của chúng. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc áp dụng các phương pháp thống kê trong khoa học dữ liệu và hệ thống ngẫu nhiên. Theo định nghĩa, luật số lớn có thể phân loại thành hai dạng: luật số lớn mạnh và luật số lớn yếu. Sự khác biệt giữa hai loại này có thể ảnh hưởng đến cách thức phân tích và dự đoán trong các nghiên cứu thực nghiệm. Việc áp dụng luật số lớn trong mảng nhiều chiều và mảng tam giác giúp cải thiện độ chính xác trong việc dự đoán và phân tích dữ liệu.

1.1. Tầm quan trọng của luật số lớn

Luật số lớn không chỉ là lý thuyết mà còn là công cụ thiết thực cho các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực thống kê. Nó cho phép các nhà khoa học dự đoán kết quả của các thí nghiệm với độ tin cậy cao hơn. Khi áp dụng vào phân tích dữ liệu, luật số lớn giúp xác định các xu hướng chính trong các tập dữ liệu lớn. Điều này có thể thấy rõ trong các ứng dụng thực tế như học máy, nơi mà việc dự đoán dựa vào các mẫu lớn là rất quan trọng. Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng, khi số lượng mẫu tăng lên, độ chính xác của mô hình cũng tăng theo. Vì vậy, việc hiểu và áp dụng luật số lớn là điều cần thiết cho bất kỳ nghiên cứu nào trong lĩnh vực này.

II. Phân tích mảng nhiều chiều và mảng tam giác

Mảng nhiều chiều và mảng tam giác là hai cấu trúc quan trọng trong thống kê và phân tích dữ liệu. Mảng nhiều chiều cho phép biểu diễn các biến ngẫu nhiên trong không gian đa chiều, trong khi mảng tam giác thường được sử dụng để mô tả mối quan hệ giữa các biến trong các mô hình hồi quy. Việc sử dụng các mảng này giúp tối ưu hóa quá trình phân tích và giảm thiểu sai số trong các ước lượng. Các nghiên cứu hiện nay đã chỉ ra rằng, việc kết hợp luật số lớn với các mảng này có thể tạo ra những mô hình mạnh mẽ và chính xác hơn. Hơn nữa, các phương pháp như phân tích đa biến và phân tích hồi quy có thể được cải thiện đáng kể khi áp dụng các mảng này.

2.1. Ứng dụng trong phân tích dữ liệu

Mảng nhiều chiều và mảng tam giác không chỉ có vai trò lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn trong khoa học dữ liệu. Chúng cho phép các nhà phân tích xây dựng các mô hình phức tạp để dự đoán hành vi của biến ngẫu nhiên trong nhiều tình huống khác nhau. Việc sử dụng các mảng này giúp cải thiện độ chính xác của các mô hình dự đoán, từ đó hỗ trợ ra quyết định trong các lĩnh vực như tài chính, y tế và marketing. Đặc biệt, trong bối cảnh học máy, các mảng này có thể được sử dụng để tối ưu hóa các thuật toán, giúp giảm thời gian tính toán và nâng cao hiệu suất của mô hình.

III. Phương pháp và kỹ thuật thống kê

Trong nghiên cứu này, một số phương pháp số và kỹ thuật thống kê đã được áp dụng để phân tích các mảng nhiều chiều và mảng tam giác. Các phương pháp này bao gồm phân tích hồi quy, phân tích đa biến và mô hình hóa xác suất. Mỗi phương pháp đều có những ưu điểm và hạn chế riêng, tuy nhiên, việc kết hợp chúng có thể tạo ra những kết quả đáng tin cậy hơn. Các kỹ thuật như học máy và tối ưu hóa cũng đã được sử dụng để cải thiện độ chính xác của các mô hình. Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng, việc áp dụng đúng phương pháp có thể dẫn đến những phát hiện mới trong lĩnh vực nghiên cứu.

3.1. Tối ưu hóa mô hình

Tối ưu hóa mô hình là một phần quan trọng trong việc áp dụng các phương pháp thống kê. Việc tối ưu hóa không chỉ giúp cải thiện độ chính xác của mô hình mà còn giảm thiểu thời gian tính toán. Các kỹ thuật như tối ưu hóa gradient và học sâu có thể được áp dụng để tìm ra các tham số tối ưu cho mô hình. Nghiên cứu đã chỉ ra rằng, việc áp dụng các kỹ thuật này có thể giúp tăng cường khả năng dự đoán của mô hình, từ đó nâng cao hiệu quả trong việc phân tích dữ liệu thực tế. Điều này đặc biệt quan trọng trong các lĩnh vực như tài chính và y tế, nơi mà độ chính xác là yếu tố sống còn.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 được dành để giới thiệu một số kiến thức chuẩn bị làm cơ sở cho những nghiên cứu của luận án.1 trình bày một số dạng hội tụ thường gặp trên không gian các tập con đóng của một không gian Banach và mối liên hệ giữa các dạng hội tụ.2 giới thiệu một số khái niệm và tính chất cơ bản của biến ngẫu nhiên đa trị.3, chúng tôi trình bày tính compact khả tích đều và tính bị chặn đều của mảng các biến ngẫu nhiên đa trị.4 trình bày các kí hiệu, các định nghĩa liên quan đến hàm ngẫu nhiên nửa liên tục trên và một sô tính chât của nó. Chương 2 trình bày các luật mạnh số lớn cho mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên đa trị ứng với dạng hội tụ theo tôpô gap.1, đầu tiên, chúng tôi giới thiệu một số kết quả cần thiết sẽ được dùng để chứng minh các kết quả chính của chương. Đây là các kết quả quan trọng để thiết lập các luật số lớn cho mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên đa trị. Tiếp đến, chúng tôi trình bày luật mạnh số lớn cho mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên đa trị độc lập đôi một, compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro và đưa ra một số ví dụ minh họa cho các giả thiết được nêu ra.2 trình bày các luật mạnh số lớn cho mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên đa trị độc lập đôi một cùng phân phối, hoặc độc lập và nhận giá trị trên không gian các tập con đóng của không gian Rademacher dạng p.

Kết quả chính của Chương 2 là Bổ đề 2. 12 Chương 3 nghiên cứu các luật mạnh số lớn cho mảng tam giác của các biến ngẫu nhiên đa trị.1 được dành để thiết lập một số luật mạnh số lớn cho mảng tam giác của các phần tử ngẫu nhiên với các điều kiện khác nhau. Các kết quả này được sử dụng để chứng minh các kết quả chính.2, chúng tôi thiết lập một số luật mạnh số lớn ứng với dạng hội tụ theo tôpô gap đối với mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị độc lập theo hàng cho các trường hợp: compact khả tích đều hoặc bị chặn ngẫu nhiên đều và nhận giá trị trên không gian các tập con đóng của không gian Banach khả ly, hoặc có kì vọng bị chặn và nhận giá trị trên không gian các tập con đóng của không gian Rademacher dạng p. Kết quả chính của Chương 3 là Định lý 3.

Phần phụ lục trình bày một số luật số lớn cho mảng d-chiều các hàm ngẫu nhiên nửa liên tục trên liên kết âm theo mức và phụ thuộc âm đôi một theo mức.1, chúng tôi trình bày một số bất đẳng thức, trong đó có bất đẳng thức moment cực đại dạng Rosenthal cho mảng d-chiều các biến ngẫu nhiên thực liên kết âm và bất đẳng thức cực đại dang Hajék-Rényi cho mang các hàm ngẫu nhiên liên kết âm theo mức; từ đó chúng tôi thiết lập các luật số lớn cho mảng d-chiều với các điều kiện khác nhau.2, chúng tôi đầu tiên thiết lập luật số lớn cho mảng d-chiều các biến ngẫu nhiên thực phụ thuộc âm đôi một và tiếp đến chúng tôi thiết lập một số luật số lớn cho mắng phụ thuộc âm đôi một theo mức và chứng minh điều kiện đủ của một số giả thiết đưa ra. Các kết quả chính của phần Phụ lục là Mệnh đề 4. Các kết quả chính của luận án đã được trình bày tại Hội nghị Toán học Miền Trung - Tây Nguyên lần thứ 2 (Trường Đại học Đà Lạt, 09-11/12/2017), Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 9 (Trường Đại học Thông tin Liên lạc, 14-18/08/2018), Hội thảo khoa học: “Nghiên cứu và dạy học toán đấp ứng yêu 13 cầu đổi mới giáo dục hiện nay” (Viện Sư phạm Tự nhiên, Trường Dai hoc Vinh, 19/9/2019), Hội nghị toàn quốc Xác suất — Thống kê: Nghiên cứu, ứng dụng và giảng dạy lần thit VI (Trudng Dai hoc Can Tho ti 05-08/11/2020), Seminar của Bộ môn Xác suất thống kê và Toán ứng dụng thuộc Ngành Toán-Viện Sư phạm “Tự nhiên-trường Đại học Vinh (từ năm 2016 đến năm 2020). Phần lớn các kết quả này đã được viết thành bốn bài báo, trong đó hai bài đã được công bố trên tạp chi Journal of Convex Analysis, mot bai d& dudc céng bé trén tap chi Fuzzy Sets and Systems du6éi dang In Press va mot bai di dude cong bé trên Tap chi khoa hoc Trường dai hoc Vinh.

14 CHUONG 1 KIEN THUC CHUAN BI Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số dạng hội tụ thường gặp trên không gian các tập con đóng của không gian Banach, một số kiến thức cơ bản về các biến ngẫu nhiên đa trị và trình bày các ký hiệu, các định nghĩa liên quan đến hàm ngẫu nhiên nửa liên tục trên cùng một số tính chất của nó. Các kết quả của chương được viết dựa trên các tài liệu [5, 6, 7, 16, 17, 22, 27, 28, 36, 42, 60].1 Sự hội tụ trên không gian các tập con đống của không gian Banach Trong luận án này, ta luôn giả sử (O,.4,P) là một không gian xác suất, Z là ø-đại số con của .|J) là một không gian Banach thực và khả ly, 8x là ơ-đại số Borel của %, %* là không gian đối ngẫu của %. Ký hiệu R là tập các số thực, Q là tập các số hữu tỉ, Ñ là tập các số nguyên dương và Ño là tập các số tự nhiên. Với mỗi đ c Ñ, trên tập hợp Ñ#, các phần tử (1, 1,., nạ) lần lượt được ký hiệu bởi 1, 2, 3, m, n.

Giới hạn khi n —> oo được hiểu là ø¿ —> oo với mọi ¿ = 1,2,., đ (giới hạn này tương đương v6i min{nj,n2,. Ta ky hiéu |n| = I m¿ và giới hạn khi |n| —> œ i=1 tudng duong véi max{n1,n2,. V6i m,n € N®, ta viết m < n (tương Ứng, mm <n) néu m; < n; (tuong ting, m; < nj) v6i moi ¿ = 1,2,. Ky hiéu s 1A t6p6 manh (t6p6 sinh béi chuan) va w lA tépé yếu của #.

15 Cho {zn :n c Ñ#} C R, ta ký hiệu lim inÍ zn = sup inÍ zn, In|->œ k>1 |n|>E lim sup #n = InÍ Sup zn. In|[—>e &>1 In|>k Dinh nghĩa 1. Mang {z, : n € N*} Cc R dude goi là hội tụ tới phần tử z € R khi |n| > oo, ky hiệu bởi lim zạ = z nếu liminf zy = limsup zp = £. |n|—r00 In|—>oe |In|—>eo Định nghia 1.

Mang {z, :n € N42} c % được gọi là hội tụ mạnh tới phần tu x € X khi |n| > œo, ký hiệu bởi s- Jim Tn = x (ta thường nói gọn là hội tu tới z) nêu im llzn — z||= 0. Ta có thể chứng minh được rằng s- TẾ #n = # khi và chỉ khi với mọi e > 0, tồn tại W € Ñ sao cho ||l#n — z||< e với mọi |n| > N. Mắng {z„ạ :n c Ñ'} C % được gọi là hội tụ yếu tới phân tử z€ X khi |n| > oo, kí hiệu bởi w lim #n = # nếu n|—co | him (2*, tn) = (x*, x), vGi moi x* € X*. n|>co Sự hội tụ khi n — oo được phát biểu tương tự.

Với A4, € c(%), clA, co4, cöA tương ứng ký hiệu bao đóng, bao lỗi và bao lồi déng cia A; ham khoảng cach d(., A) cua A, khodng céch Hausdorff dy(A, B) cia A va B, ham tua s(., A) của A, chuẩn ||A|| của A va gap D(A, B) gitta hai tap A vA B tuong tng dudc định nghĩa bởi d(x, A) = inf{||z — ||: 4}, z € #, dy(A, B) = max{sup d(z, B), sup d(z, A)}, ZEA xreEB s(z*,A) = sup{(z*,y): y € A}, a* © X*, 16 I.Al| = sup{llzl|: z € 4}; D(A, B) = inf{||z — ||: z € A,y € B}. Dặt A” = {zc Ã: d(z, 4) < r} với r > 0 va S* = {z*” € X*: ||x*|| = 1} goi la mặt cầu đơn vị của X*. Nói chung không tồn tại phần tử đối của A c c(X) nên c(#) không phải là một không gian tuyến tính ứng với phép lấy tổng và lấy tích vô hướng nêu trên. Hơn nữa, ngay cả khi A và B là các tập đóng và bị chặn thì A-+ B có thể không phải là tập đóng (xem [42, Chú ý 1.

Tuy nhiên, trong trường hợp A, B e ck(3) thì A+ B c ck(3). Giả sử {An :nc Ñ*#} là một mảng trên c(%), £ là một tôpô của X. Ta đặt t-liminfAn = {x €X:a2=t lim #n,zu € 4n,nc Ñ'), |n|—>œo In|—>œo £- lim sup 4n = {z€Ã:z=r- lim zg,z€ An,,k€ Ñ#}, |n|—>œ |k|—>œ trong dé {An, :k€ Ñ#} là một mảng con của mảng {4n : n c Ñ#}. Các tập t- lim inf Án và f- lim sup 4n tương ứng gọi là giới hạn dưới và giới hạn trên của |n|—>œ |n|—>œo mảng {An :n c Ñ'} ứng với tôpô £ khi |n| — œ.

Dễ thấy rằng - lim inf Ay C t-limsup Án và s- liminf Án C - lim sup Án. In|—>e |n|—>œo |n|—r00 |n|—>œo Bo dé 1. Cho mang {An : n € N4¢} C c(X). Khi đó, uới mọi x* e X* s(z*,s-liminf Ay) < liminf s(z*, Ay).

|n|[—>œo |n|—>eo 17 Chứng minh. Ta c6, vGi x* € X* s(a*, s-liminf Ay) = sup{(z*, x) : x € s-liminf Ay} |n|—>œ |n|—>œo Với mỗi z € s-liminf An tồn tại zn € Án sao cho z=s- lim zy. Do dé |n|>œo |In|—>oœo (z”,#n) —> (z”,z) khi |n| > oo, với mọi z” € X”*. Mặt khác, do s(z*, Án) = sup{(#”,zn) : #a € An} nên (z*,zn) < s(z*, Án), VỚI mọi z* € X*.

Vì vậy, (z”,z) = lim (#@”,zn) < liminfs(z”, Án), với mọi zø” e X*. |n|—>œo |In|—>œ Điều này dẫn đến, s(z*, s-liminf Ay) < liminf s(z*, An), với mọi z* e %*. LÌ |n|—>œo |In|—>œ Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu một số dạng hội tụ thường gặp trên không gian các tap con đóng, khác rỗng của không gian Banach. Mảng {An :nc Ñ#}C c(X) được gọi là (1) bội tụ Mosco tới A khi |n| — co, ky hiéu béi Ay &s 4 khi |n| > 00 hay (M)- lim Ay = A, néu |n|—>œ - lim sup Án = s- lim inf Ay = A.1) In|—>oo In|—>œ (2) hội tụ Paimleué - Kuroatouski tới A ứng với tôpô mạnh s của % khi In| — œo và được kỹ hiệu là A„ + > A khi |n| 3 00 hay (K)- lim An =A, néu |n|—>œ s- lim sup Ay = s-liminf Ay = A.

|n|>œo 18 Mot slice cia hình cầu là giao giữa hình cầu đóng (z,r) (trong đó z € X,r > 0) va nua khong gian dong F(2*,a) = {x € X: (x*,x) > a} (trong dé z*€ ®#*,z* # 0 và œ € R).