I. Đặt bài toán
Vectơ p-chiều X có cấu trúc tuyến tính nếu có thể biểu diễn dưới dạng X = µ + AY, trong đó µ là vectơ hằng, Y là vectơ ngẫu nhiên với các thành phần độc lập, không suy biến, và A là ma trận hằng không có hai cột nào tỷ lệ với nhau. Hai biểu diễn X = µ + AY và X = ν + BZ được gọi là tương đương về cấu trúc nếu mọi cột của A đều tỷ lệ với một cột nào đó của B và ngược lại. Nếu tất cả các biểu diễn cấu trúc của một vectơ ngẫu nhiên đều tương đương với nhau, vectơ đó có cấu trúc duy nhất. Luận văn này nghiên cứu bản chất của các vectơ ngẫu nhiên thừa nhận những biểu diễn cấu trúc không tương đương, đặc biệt là các vectơ ngẫu nhiên chuẩn hoàn toàn được đặc trưng bởi tính không duy nhất của cấu trúc tuyến tính.
1.1. Định nghĩa và khái niệm
Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X được định nghĩa là ϕX(t) = E[e^(itX)], với t ∈ R. Nếu X có mật độ f(x), hàm đặc trưng có thể được tính bằng tích phân ϕX(t) = ∫ e^(itx) f(x) dx. Hàm đặc trưng có nhiều tính chất quan trọng, như nếu X và Y độc lập thì ϕX+Y(t) = ϕX(t) * ϕY(t). Điều này cho thấy mối quan hệ giữa các biến ngẫu nhiên và hàm đặc trưng của chúng, từ đó giúp phân tích và hiểu rõ hơn về biến ngẫu nhiên trong cấu trúc tuyến tính.
II. Đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính
Chương này tập trung vào các định lý về đặc trưng phân phối của biến ngẫu nhiên, mô hình phân tích nhân tố và bài toán hồi quy đối với các biến cấu trúc. Các định lý này cho thấy rằng mọi vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính có thể được phân tích thành tổng của hai vectơ độc lập, một vectơ có cấu trúc duy nhất và vectơ còn lại là vectơ ngẫu nhiên chuẩn. Điều này chứng minh rằng tính chất của biến ngẫu nhiên trong cấu trúc tuyến tính không chỉ phụ thuộc vào các tham số mà còn vào mối quan hệ giữa chúng.
2.1. Các định lý đặc trưng
Các định lý này chỉ ra rằng nếu X có phân phối chuẩn, thì hàm đặc trưng của X có dạng ϕX(t) = e^(itµ - (t^2 * Λ)/2). Điều này cho thấy rằng phân phối của X chỉ phụ thuộc vào µ và ma trận xác định không âm Λ. Các kết quả này có ứng dụng thực tiễn trong việc phân tích dữ liệu thống kê, giúp các nhà nghiên cứu hiểu rõ hơn về phân phối xác suất và phân tích hồi quy trong thống kê mô tả.
