I. Các kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày các kiến thức cơ bản về biến ngẫu nhiên, phân phối chuẩn, và phương pháp Stein. Những kiến thức này là nền tảng cho việc hiểu và áp dụng bất đẳng thức Berry-Esseen. Đầu tiên, biến ngẫu nhiên được định nghĩa là đại lượng có giá trị thực phụ thuộc vào kết quả ngẫu nhiên của phép thử. Phân loại biến ngẫu nhiên thành hai loại chính: rời rạc và liên tục. Đối với hàm phân phối, nó xác định xác suất của biến ngẫu nhiên nhận giá trị nhỏ hơn một số nhất định. Các tính chất của hàm phân phối như không giảm và xác định trong khoảng [0, 1] là rất quan trọng. Cuối cùng, hàm đặc trưng được sử dụng để mô tả các đặc tính của biến ngẫu nhiên, giúp trong việc phân tích và chứng minh các định lý trong lý thuyết xác suất.
1.1 Biến ngẫu nhiên
Biến ngẫu nhiên là một khái niệm quan trọng trong nghiên cứu toán học. Định nghĩa chính xác của biến ngẫu nhiên là ánh xạ từ không gian mẫu đến tập số thực. Biến ngẫu nhiên có thể được phân loại thành rời rạc và liên tục, với mỗi loại có cách xác định riêng. Biến ngẫu nhiên rời rạc được mô tả qua bảng phân phối xác suất, trong khi biến ngẫu nhiên liên tục được xác định bởi hàm mật độ. Các đặc tính như kỳ vọng và phương sai cũng được đề cập, giúp hiểu rõ hơn về hành vi của biến ngẫu nhiên trong các tình huống khác nhau.
1.2 Phân bố chuẩn
Phân bố chuẩn là một trong những phân bố quan trọng nhất trong lý thuyết xác suất. Nó được mô tả bằng hàm mật độ xác suất có dạng đặc trưng. Phân bố chuẩn một chiều và nhiều chiều đều có những ứng dụng rộng rãi trong thống kê và khoa học dữ liệu. Đặc biệt, phân bố chuẩn được sử dụng để xấp xỉ các phân bố khác thông qua định lý giới hạn trung tâm. Việc hiểu rõ về phân bố chuẩn giúp trong việc áp dụng bất đẳng thức Berry-Esseen để đánh giá độ chính xác của các ước lượng thống kê.
II. Bất đẳng thức Berry Esseen một chiều
Chương này tập trung vào bất đẳng thức Berry-Esseen trong trường hợp một chiều. Định lý này cung cấp một cách tiếp cận để đánh giá tốc độ hội tụ của hàm phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập về phân phối chuẩn. Đặc biệt, bất đẳng thức này cho phép xác định cỡ mẫu tối thiểu cần thiết để đạt được độ chính xác mong muốn trong các ước lượng thống kê. Việc chứng minh bất đẳng thức Berry-Esseen đều và không đều được thực hiện thông qua các kỹ thuật toán học tinh vi, cho thấy sự quan trọng của nó trong lý thuyết xác suất và ứng dụng thực tiễn.
2.1 Giới thiệu chung
Bất đẳng thức Berry-Esseen được phát biểu lần đầu bởi Berry và Esseen, cho phép đánh giá khoảng cách giữa hàm phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập và hàm phân phối chuẩn. Định lý này không chỉ cung cấp thông tin về sự hội tụ mà còn đánh giá tốc độ hội tụ, điều này rất quan trọng trong thống kê. Việc xác định cận cho bất đẳng thức này đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học, với nhiều kết quả đáng chú ý được công bố qua các năm. Bất đẳng thức Berry-Esseen đã trở thành một công cụ quan trọng trong việc phân tích và ứng dụng lý thuyết xác suất.
2.2 Bất đẳng thức Berry Esseen đều
Trong trường hợp cùng phân bố, bất đẳng thức Berry-Esseen đều được phát biểu với các điều kiện cụ thể về kỳ vọng và phương sai của các biến ngẫu nhiên. Định lý này khẳng định rằng tồn tại một hằng số C sao cho khoảng cách giữa hàm phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên và hàm phân phối chuẩn được giới hạn bởi một hàm số phụ thuộc vào C và các thông số khác. Việc chứng minh định lý này yêu cầu sử dụng các kỹ thuật phức tạp trong lý thuyết xác suất, cho thấy sự sâu sắc và tính ứng dụng của bất đẳng thức Berry-Esseen trong thực tiễn.
