I. Giới thiệu bài toán
Bài toán biên hai điểm cho phương trình vi phân bậc hai là một trong những vấn đề quan trọng trong lý thuyết phương trình vi phân. Mục tiêu chính của nghiên cứu này là tìm hiểu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình dạng u''(t) = F(u)(t) với điều kiện biên u(a) = 0 và u(b) = 0. Các phương trình này thường xuất hiện trong nhiều lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật và kinh tế. Việc giải quyết bài toán này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn cao. Theo các nghiên cứu trước đây, lý thuyết về bài toán biên đã được phát triển mạnh mẽ từ thế kỷ XVIII, nhưng chỉ từ năm 1997, các kết quả mới bắt đầu xuất hiện. Các nhà toán học như S. De la Vallée Poussin đã có những đóng góp quan trọng trong lĩnh vực này. Do đó, nghiên cứu này nhằm tiếp tục phát triển lý thuyết và ứng dụng của bài toán biên hai điểm cho phương trình vi phân bậc hai.
II. Một số công cụ kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, các khái niệm và định nghĩa cơ bản liên quan đến bài toán biên sẽ được trình bày. Đặc biệt, các bổ đề về tính giải được của bài toán vi phân không thuần nhất sẽ được thảo luận. Cụ thể, phương trình vi phân cấp hai không thuần nhất được xem xét dưới dạng u''(t) = p(t)u(t) + g(t)u'(t) + H(u)(t). Để chứng minh tính giải được, cần thiết phải xây dựng các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm. Các phương pháp chứng minh sẽ dựa vào các bất đẳng thức vi phân và các kỹ thuật phân tích hàm. Việc áp dụng các công cụ này không chỉ giúp giải quyết bài toán mà còn mở rộng khả năng ứng dụng cho các bài toán phức tạp hơn trong tương lai.
2.1 Bổ đề về tính giải được của bài toán không thuần nhất
Bổ đề này tập trung vào việc xác định điều kiện cần và đủ để bài toán vi phân không thuần nhất có nghiệm. Cụ thể, nếu phương trình thuần nhất tương ứng chỉ có nghiệm tầm thường, thì bài toán không thuần nhất sẽ có ít nhất một nghiệm. Điều này được chứng minh thông qua việc xây dựng các hàm Green và sử dụng các bất đẳng thức liên quan. Các kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể áp dụng trong các bài toán thực tế, nơi mà sự tồn tại của nghiệm là điều kiện tiên quyết cho việc giải quyết các vấn đề kỹ thuật.
2.2 Bổ đề về tính giải được của bài toán phi tuyến
Trong phần này, bài toán phi tuyến sẽ được xem xét với các điều kiện tương tự như bài toán không thuần nhất. Việc chứng minh rằng bài toán phi tuyến có nghiệm khi và chỉ khi bài toán thuần nhất chỉ có nghiệm tầm thường là một trong những điểm quan trọng. Các phương pháp chứng minh sẽ bao gồm việc sử dụng các hàm dưới và hàm trên, cũng như các điều kiện biên. Kết quả này mở ra hướng nghiên cứu mới cho các bài toán phi tuyến phức tạp hơn, đồng thời khẳng định tính ứng dụng của lý thuyết trong thực tiễn.
III. Các kết quả chính của bài toán biên hai điểm
Chương này trình bày các kết quả chính liên quan đến bài toán biên hai điểm cho phương trình vi phân bậc hai. Các điều kiện đủ cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm sẽ được nêu rõ. Đặc biệt, các bổ đề đánh giá tiệm cận sẽ được chứng minh, cho thấy rằng nếu tồn tại một hàm w thỏa mãn các điều kiện nhất định, thì bài toán sẽ có ít nhất một nghiệm. Kết quả này không chỉ khẳng định tính chính xác của lý thuyết mà còn mở rộng khả năng ứng dụng cho các bài toán thực tế trong các lĩnh vực như kỹ thuật và vật lý. Việc áp dụng các phương pháp này trong thực tiễn sẽ giúp giải quyết nhiều vấn đề phức tạp hơn, từ đó nâng cao hiệu quả trong nghiên cứu và ứng dụng.
