chương I của chương trình với mục tiêu của chương là: 18 “Kiến thức Giúp học sinh nắm vững - Quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu đạo hàm của hàm số; - Khái niệm cực trị và các quy tắc tìm cực trị của hàm số; - Khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và cách tìm giá trị đó; - Định nghĩa và cách tìm các đường tiệm cận của đồ thị; - Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. Kĩ năng Giúp học sinh có kĩ năng thành thạo trong việc xét chiều biến thiên (tức là tính đơn điệu) của hàm số, tìm cực trị của hàm số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số thực cho trước, viết phương trình các đường tiệm cận của đồ thị và khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm số đơn giản”.18] Đến thời điểm này, thì giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số mới được chính thức đưa vào giảng dạy và được trình bày trong một bài học cụ thể, bài 3: “Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số”. Đồng thời, theo sự quan sát của chúng tôi, để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thì sách giáo viên có lưu ý cho học sinh việc vận dụng bảng biến thiên để tìm đáp án bởi “Trong giảng dạy giáo viên nên hướng dẫn học sinh lập bảng biến thiên của hàm số, giúp các em hiểu ý nghĩa của bảng biến thiên và sử dụng nó để xét chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Việc lập các bảng biến thiên sẽ giúp các em nắm được vấn đề tốt hơn, giải được bài tập nhanh hơn và ít mắc nhầm lẫn trong thực hành.19-20] Do trọng tâm nghiên cứu của chúng tôi là tìm hiểu các kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, sự ảnh hưởng của kỹ thuật đạo hàm lên bài toán này nên chúng tôi tiếp tục phân tích sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao để làm rõ vấn đề.
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong sách giáo khoa toán lớp 12 Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số chủ yếu được trình bày trong bài 3: “Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số” với mục tiêu là: “Kiến thức Giúp học sinh hiểu rõ định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số thực và biết ứng dụng đạo hàm để tìm các giá trị đó. 19 Kĩ năng Giúp học sinh: - Có kĩ năng thành thạo trong việc dùng bảng biến thiên của một hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đó. - Giải một số bài toán liên quan tới việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số thực cho trước.39] Trước khi đi vào định nghĩa, SGK có dẫn lời: “Nhiều bài toán dẫn đến việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số thực cho trước. Trong bài này ta sẽ ứng dụng tính đơn điệu và cực trị của hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số”.
Sách giáo khoa định nghĩa: “Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D (𝐷 ⊂ ℝ). a) Nếu tồn tại một điểm 𝑥𝑜 ∈ 𝐷 sao cho 𝑓 (𝑥) ≤ 𝑓(𝑥𝑜 ) với mọi 𝑥 ∈ 𝐷 thì số M = f(x0) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên D, kí hiệu là 𝑀 = 𝑚𝑎𝑥𝑥∈𝐷 𝑓(𝑥) b) Nếu tồn tại một điểm 𝑥𝑜 ∈ 𝐷 sao cho 𝑓 (𝑥) ≥ 𝑓(𝑥𝑜 ) với mọi 𝑥 ∈ 𝐷 thì số m = f(x0) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên D, kí hiệu là 𝑚 = 𝑚𝑖𝑛𝑥∈𝐷 𝑓(𝑥).18] Từ định nghĩa này, sách giáo khoa có lưu ý đến điều kiện tồn tại của giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số như sau: “Như vậy, muốn chứng tỏ rằng số M (hoặc m) là giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của hàm số f trên tập hợp D cần chỉ rõ: a) 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 (hoặc 𝑓 (𝑥) ≥ 𝑚 với mọi 𝑥 ∈ 𝐷. b) Tồn tại ít nhất một điểm 𝑥𝑜 ∈ 𝐷 sao cho f(x0) = M (hoặc f(x0) = m).18] Lưu ý này cũng được nhắn mạnh lại trong sách giáo viên: “Điều kiện b) là quan trọng, không được bỏ qua. Một số học sinh đã không chú ý đến nó, do đó đã mắc sai lầm.” Sau đó, sách giáo viên đưa ra một ví dụ minh họa cho việc không tuân thủ điều kiện b) “Tìm GTLN và GTNN của hàm số 𝑓 (𝑥) = 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥.
20 Có học sinh lập luận như sau: Vì 𝑓(𝑥) ≥ 0 với mọi 𝑥 ∈ ℝ nên 𝑚𝑖𝑛𝑥∈ℝ 𝑓 (𝑥) = 0 Vì 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 ≤ 1 và 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 ≤ 1 với mọi 𝑥 ∈ ℝ nên 𝑓 (𝑥) ≤ 1 + 1 = 2 với mọi 𝑥 ∈ ℝ. 1 Các kết luận đó là sai. Tại sao? Thật ra, ta có 𝑚𝑖𝑛𝑥∈ℝ 𝑓 (𝑥) = và 2 𝑚𝑎𝑥𝑥∈ℝ 𝑓 (𝑥) = 1. Học sinh đó mắc sai lầm vì đã không để ý đến điều kiện b).” Đồng thời, tác giả Nguyễn Hồng Tú cũng khẳng định rằng: “Liên quan đến các sai lầm SL, chúng tôi nhận thấy trong những lời giải chi tiết của sách giáo khoa, sách giáo viên và sách bài tập cho những nhiệm vụ liên quan đến việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, các tác giả viết sách giáo khoa đều chỉ ra sự tồn tại của “𝑥𝑜 ∈ 𝐷 để 𝑓 (𝑥𝑜 ) = 𝑀” và của “𝑥𝑜 ∈ 𝐷 để 𝑓 (𝑥𝑜 ) = 𝑚”.
Như vậy, các sai lầm SL, nếu có ở học sinh lớp 12 học chương trình nâng cao thì không phải do cách trình bày lời giải của sách giáo khoa, sách giáo viên và sách bài tập.” Do trọng tâm nghiên cứu của chúng tôi là kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, các điều kiện và ràng buộc khi sử dụng kỹ thuật “đạo hàm” do đó chúng tôi sẽ phân tích các tổ chức toán học để làm rõ vấn đề này. Các tổ chức toán học gắn với giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Trong chương trình và sách giáo khoa toán lớp 12 chủ yếu đề cập đến các kiểu nhiệm vụ sau: 21 Kiểu nhiệm vụ T:“Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên miền D”, gồm hai kiểu nhiệm vụ con: Kiểu nhiệm vụ Tk:“Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên khoảng (a ; b)”. Kiểu nhiệm vụ Tđ:“Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên đoạn [a ; b]”. Kiểu nhiệm vụ Tpatu:“Tìm phương án tối ưu cho bài toán có nội dung thực tế”.
Kiểu nhiệm vụ T:“Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên miền D” Ví dụ: Ví dụ 1 [17, tr.18] “Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝑓 (𝑥) = √4 − 𝑥 2. Giải Tập xác định của hàm số là [-2 ; 2]. Hiển nhiên 0 ≤ 𝑓 (𝑥) ≤ 2 với mọi 𝑥 ∈ [−2; 2]; 𝑓 (𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = ±2 và 𝑓 (𝑥) = 2 ⟺ 𝑥 = 0 Do đó: 𝑚𝑖𝑛 �4 − 𝑥 2 = 0; 𝑚𝑎𝑥 �4 − 𝑥 2 = 2. Công nghệ θbđt: Định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Ví dụ: Ví dụ 2 [17, tr.19] “Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 + 3 trên đoạn �−3; �. 3 Sau đây là bảng biến thiên của f trên đoạn �−3; � : 2 3 x -3 -1 1 2 f’(x) + 0 - 0 + 15 5 8 f(x) -15 1 Từ bảng biến thiên, ta được 𝑚𝑎𝑥𝑥∈�−3;3� 𝑓 (𝑥) = 𝑓 (−1) = 5; 𝑚𝑖𝑛𝑥∈�−3;3� 𝑓 (𝑥) = 𝑓(−3) = −15.” 2 2 Ví dụ: Hoạt động 1 [17, tr.19] với hướng dẫn trong [18, tr.41] “Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 1 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 + trên khoảng (1; +∞) 𝑥−1 Giải Ta có 1 𝑥 2 −2𝑥 𝑓 ′ (𝑥) = 1 − (𝑥−1)2 = (𝑥−1)2; 𝑓 ′ (𝑥) = 0 ⇔ 𝑥 = 0 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 = 2. Bảng biến thiên x -∞ 0 1 2 +∞ f(x) + 0 - - 0 + f’(x) 3 Từ bảng biến thiên, ta có 𝑚𝑖𝑛𝑥∈(1;+∞) 𝑓(𝑥) = 𝑓 (2) = 3 Hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (1; +∞).” Kỹ thuật τbbt: “Bảng biến thiên” - Tìm các điểm x1, x2, ., xm thuộc D tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm; - Lập bảng biến thiên của hàm số trên D; - Dựa vào bảng biến thiên để tìm đáp án. 23 Công nghệ θbbt: Định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Như vậy, đối với kiểm nhiệm vụ T, có hai kỹ thuật được sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao đề cập nhưng chúng tôi nhận thấy có sự ưu tiên khi sử dụng kỹ thuật τbbt giải kiểu nhiệm vụ T thông qua nhận xét: “Phương pháp thường được sử dụng để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp là lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó.19] Việc lập bảng biến thiên cũng được sách giáo viên nhấn mạnh: “Giúp học sinh: Có kĩ năng thành thạo trong việc dùng bảng biến thiên của một hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đó.39] Liên quan đến bảng biến thiên, chúng ta có thể tham khảo thêm luận văn của tác giả Nguyễn Trường Sinh (2012) với đề tài “Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở trung học phổ thông.” Trong đề tài này, chúng tôi có quan tâm đến giả thuyết mà tác giả Nguyễn Trường Sinh đã phát biểu và được kiểm chứng : “Khi sử dụng bảng biến thiên tìm cực trị hoặc giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm f trên miền D, học sinh không có tránh nhiệm kiểm tra sự liên tục của hàm số tại các điểm mà nó đạt cực trị, giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất.