CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Tư duy và tư duy toán học 1. Một số vấn đề về tư duy 1.1 Khái niệm Theo Tâm lý học, "Tư duy là một quá trình tâm lý sự phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết" (Nguyễn Quang Uẩn, 2007, [25]) Ví dụ 1.1: Khi gặp vật thể hình trụ thì nhận thức cảm tính có thể cho ta biết đó là khối tròn xoay tạo bởi việc quay hình chữ nhật quanh một cạnh của nó, … đó là sự nhận thức dựa vào định nghĩa, tính chất đã học cùng với trí tưởng tượng không gian.
Nhờ tư duy mà chúng ta có thể biết thể tích, diện tích xung quanh của hình trụ có thể và cần được tính như thế nào?. đó là những thuộc tính và mối quan hệ về bản chất bên trong của hình trụ được tư duy phản ánh. Đặc điểm của tư duy Tính có vấn đề: “Trong thực tế, khi gặp những tình huống mà bằng những kinh nghiệm, vốn hiểu biết, phương pháp, kỹ thuật đã biết không thể giải quyết được mà cần đến những phương pháp tri thức mới để GQVĐ, tức là phải tư duy” [11].2: Khi gặp một bài toán mới, chẳng hạn giải PT bậc nhất một ẩn, HS dùng tư duy toán học để nhận ra cái đã cho (dữ kiện, giả thiết) và cái phải tìm (kết quả, yêu cầu, kết luận) của bài toán (đối với giải PT thì đó là tập hợp nghiệm). Từ đó các em sử dụng tư duy để hình phụ các công thức, tính chất định lý có liên quan, liên kết chúng lại để vận dụng chúng thông qua chuỗi tính toán, lập luận để tìm ra kết quả của bài toán.
Như vậy, chỉ khi tình huống có vấn đề cần trả lời, giải quyết thì tư duy mới xuất hiện. Ngược lại, nếu như có vấn đề 5 nhưng HS không đủ khả năng tư duy toán học để giải quyết thì không giải được, hoặc gặp sai lầm. Tính gián tiếp: Theo Phạm Minh Hạc: “Con người nhận thức thế giới khách quan sâu sắc, đầy đủ đồng thời mở rộng khả năng hiểu biết của mình nhờ tính gián tiếp của tư duy. Tính gián tiếp của tư duy phản ánh thông qua các kinh nghiệm, ngôn ngữ, công cụ, …” [11].
Chẳng hạn như: Bằng trải nghiệm, con người rút ra những kinh nghiệm để dự báo thời tiết, dự báo phát triển kinh tế, … Trong quá trình làm việc với PT, BPT, HS thu nhận được kinh nghiệm lựa chọn, sử dụng các thao tác tư duy (phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa,. Tính trừu tượng và khái quát: “Tính trừu tượng là việc chủ thể giữ lại những yếu tố quan trọng, gạt bỏ đi những thứ không cần thiết. Khái quát là việc hợp nhất những đối tượng khác nhau vào trong cùng một nhóm, dựa trên những đặc tính giống nhau. Với trừu tượng và khái quát, tư duy có khả năng giữ lại những bản chất thuộc tính chung nhất của các sự vật hiện tượng cùng nhóm, loại bỏ những thuộc tính, dấu hiệu riêng biệt” [11].3: Nói về khái niệm "quả bóng đá", con người liên tưởng ngay đến những thuộc tính cần thiết như: hình dạng là hình cầu, tính năng của quả bóng đá dùng để chơi.
Đó là trừu tượng. Gắn liền với ngôn ngữ: Rõ ràng là, tư duy gắn liền với ngôn ngữ - xem như hình thức biểu đạt của tư duy. Kết quả của tư duy thể hiện ra ngoài thông qua ngôn ngữ của con người. Nói cách khác, ngôn ngữ được hình thành trong quá trình phát triển lâu dài tư duy và nhận thức của loài người trong lịch sử nhân loại.4: Với một bài toán giải PT, BPT, cả đề bài và lời giải đều cần sử dụng các kí hiệu, công thức, khái niệm toán học.
dưới dạng ngôn ngữ ký hiệu toán học. Chẳng hạn như: “Tìm số biết thêm 5 vào số đó thì được số 17” được viết thành “Tìm x để x+5 = 17” hoặc “giải PT x+5 = 17”. Gắn liền với hoạt động nhận thức cảm tính: “Nhờ rèn luyện cảm giác, tri giác, năng lực quan sát và trí nhớ của con người mà tư duy phát triển. Khi có những hiểu biết cơ bản về vấn đề nào đó, việc rèn luyện cảm giác, tri giác, quan sát sẽ làm cho quá trình tư duy nhanh chóng có kết quả hơn” [11].
Chẳng hạn như: Khi cần thiết kế góc đọc sách cho lớp học của mình thì với việc rèn luyện cảm giác sẽ giúp cho bản thiết kế đó có màu sắc, ánh sáng hài hòa, trang trí bắt mắt, tạo không khí, cảm hứng cho học sinh đọc sách. Một số loại hình tư duy - Tư duy sáng tạo: quá trình GQVĐ bằng cách tạo ra cái mới, bằng cách thức mới, lựa chọn các giải pháp tốt nhất, mang tính sáng tạo và hướng đến xu thế tối ưu và đạt được kết quả tốt. Tư duy sáng tạo giàu trí tưởng tượng và có tính mục đích, mục tiêu rõ ràng không viển vông. Sản phẩm của tư duy sáng tạo mang tính độc đáo.
Tư duy sáng tạo giúp HS tìm tòi và áp dụng được những phương pháp, cách giải mới, qua đó HS làm chủ kiến thức, tạo niềm say mê cho người học. - Tư duy phê phán và phản biện: Được xem như quá trình quan sát, dựa vào kinh nghiệm, bằng chứng và thông tin lý lẽ để phân tích, tổng hợp, đánh giá sự việc, ý tưởng nhằm đưa ra nhận định về sự việc hay cách giải quyết hợp lý nhất cho vấn đề; giúp chủ thể nhìn nhận và phân tích những ý kiến khách quan hơn từ mọi hướng và chắt lọc các ý kiến đó tổng hợp lại cho bản thân. Hoặc làm sáng tỏ và khẳng định lại tính chính xác của vấn đề cần phân tích và đánh giá một thông tin đã có theo các cách nhìn khác cho vấn đề đó bằng các lập luận rõ ràng, lôgic, đầy đủ bằng chứng, tỉ mỉ và công tâm. 7 - Tư duy biện luận: quá trình thu thập dự liệu, phân tích, đánh giá, cân nhắc nhiều khả năng GQVĐ để từ đó đưa ra những kết luận phù hợp.5: Khi giải phương trình chứa tham số, HS cần xét các khả năng của tham số để biện luận số nghiệm phương trình.
Chẳng hạn: Giải và biện luận phương trình 2023x m mx 2023 ( m là tham số) 2023x m mx 2023 m 2023 x 2023 m + Với m 2023 , phương trình đã cho trở thành 0 x 0. Nên phương trình có vô số nghiệm. + Với m 2023 , phương trình có một nghiệm duy nhất 2023 m x 1 m 2023 - Tư duy logic: quá trình phân tích và lý luận có trình tự để đưa ra quyết định hợp lý từ những dữ liệu, thông tin ban đầu. Tư duy logic kết hợp lý trí, các ý tưởng và suy luận, để từ đó sắp xếp trình tự giải quyết, tìm ra nguyên nhân và cách giải quyết cho vấn đề đó.
Tư duy logic có nhiều điểm chung với tư duy biện luận do cả hai đều cần liên quan chặt chẽ đến khả năng lập luận.6: Trong giải PT, BPT, do đặc thù của biến đổi đồng nhất các biểu thức và yêu cầu biến đổi tương đương giữa các PT, BPT nên thực chất là ở đó HS đã thực hiện các quy tắc suy luận lôgic, dựa trên sự tương đương của các hàm mệnh đề (theo [24]). Chẳng hạn như: Khi giải PT (x2-12x+35) = 0, HS biến đổi tương đương: (x2-12x+35) = 0 (x2-5x -7x +5. Thực chất là các em đã sử dụng phép x 7 0 x 7 toán tương đương đối với hàm mệnh đề A(x), B(x) khi giải phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương: f(x) = 0 f1(x) = 0 f2(x) = 0 . Trong đó mỗi PT thành phần được coi là một hàm mệnh đề và sự tương đương giữa các hàm mệnh đề đó đảm bảo cho sự tương đương của các 8 PT.
Khi đó, ta có PT fk(x) = 0 tương đương với PT ban đầu f(x) = 0. Do vậy, tập hợp nghiệm của phương trình cuối cùng chính là tập hợp nghiệm của x 5 phương trình ban đầu. Ở đây là: Tập hợp nghiệm {5;7} của cũng chính x 7 là tập hợp nghiệm của PT đã cho (x2-12x+35) = 0. Vai trò của tư duy Tư duy là một trong những phẩm chất quan trọng cần phải có của con người, có giá trị và tính ứng dụng cao.
Chủ thể của tư duy cần sử dụng những kiến thức, kỹ năng và kinh nghiệm của bản thân để mang lại hiệu quả cao cho hoạt động của bản thân. Để GQVĐ và phát triển bản thân, con người nhờ tư duy để thu thập, phân tích và sử dụng thông tin một cách hữu ích, đưa ra phương hướng phù hợp. Muốn tư duy phát triển, con người nên thường xuyên rèn luyện kỹ năng tư duy để các hoạt động của bản thân mang lại thành quả cao nhất. Các thao tác của tư duy - Phân tích-tổng hợp: Theo Nguyễn Bá Kim: "Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành những vật, tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ; Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật thành nhiều một hệ thống" [13].
Theo từ điển Tiếng Việt thì "Phân tích là phân chia thật sự hay tưởng tượng một đối tượng nhận thức ra thành các yếu tố, trái với tổng hợp; Tổng hợp là tổ hợp tưởng tượng hay thật sự các yếu tố riêng rẽ nào đó làm thành một chỉnh thể, trái với phân tích" [15]. Như vậy, có thể hiểu: Phân tích là thao tác chia sự vật thành những bộ phận nhỏ hơn để xem xét, với mong muốn làm rõ hơn bản chất của cái chung, và dễ dàng nhận ra mối liên hệ giữa các phần của sự vật toàn thể. Ngược lại, tổng hợp là thao tác gộp lại các phần riêng để xem xét cái toàn thể, phát hiện bản chất chung, cách thức chung để GQVĐ. 9 - So sánh và tương tự: So sánh là xem xét sự giống nhau, khác nhau hoặc hơn kém nhau; là tìm ra những điểm chung và riêng của đối tượng.
Tương tự là dựa trên sự giống nhau về tính chất và mối quan hệ của những đối tượng khác nhau. Trong toán học, tương tự được xem xét trên các khía cạnh sau: Hai bài toán là tương tự nếu đường lối và cách thức giải quyết giống nhau.