Chương 1 Kiến thức cơ sở Trong chương này trình bày các kiến thức cơ bản về sai phân và phương trình sai phân, bao gồm khái niệm, tính chất của sai phân, nghiệm của phương trình sai phân cần cho chương 2 và chương 3.Trong chương này, ta quy ước x(n) là hàm xác định trên N. Các kết quả của chương này có thể tham khảo trong [5], [7] 1.1 Phép tính sai phân Xét n ∈ Z+ , gọi x(n) là hàm số phụ thuộc vào biến n, ta định nghĩa toán tử sai phân ∆ như sau: ∆x(n) = x(n + 1) − x(n).1) Ta viết lại (1.2) Ngoài ra, nếu ta gọi I là toán tử đơn vị Ix(n) = x(n), thì khi đó (1.2) được viết dưới dạng (∆ + I)x(n) = x(n + 1), khi đó 8 Ex(n) = (∆ + I)x(n) = x(n + 1), được gọi là toán tử dịch chuyển, ở đây E = ∆ + I. Dễ dàng thấy rằng E k x(n) = x(n + k). Đặt I là toán tử đơn vị, sao cho Ix = x.
Nên, có thể viết là ∆ = E − I, vì vậy ta có được k X k ∆k x(n) = (E − I)k x(n) = (−1)i x(n + k − i), i=0 i hay k X k ∆k x(n) = (−1)i x(n + k − i).3) i=0 i Tương tự, ta có được k k X k k−i E x(n) = ∆ x(n).4) i=0 i Toán tử ∆ tương tự như toán tử đạo hàm D trong giải tích. Cả hai toán tử E và ∆ có một số tính chất của toán tử đạo hàm D, đó là tính chất tuyến tính. Cụ thể là các tính chất sau đây, với mọi a, b ∈ R, ta có: 1) ∆ [ax(n) + by(n)] = a∆x(n) + b∆y(n). y(n)Ey(n) Như vậy các tính chất đã được chứng minh.1 Ta có các công thức sau đây: (i) n−1 X ∆x(k) = x(n) − x(n0 ).
k=1 k=1 2 2 Sau đây là một thuộc tính thứ ba mà ta thấy rằng toán tử ∆ có điểm chung với toán tử đạo hàm D. Đặt pk (n) = a0 nk + a1 nk−1 +. là một đa thức bậc k, khi đó ∆pk (n) = a0 (n + 1)k + a1 (n + 1)k−1 +. + ak − a0 nk + a1 nk−1 +.
+ ak = a0 knk−1 + pk (r), r < k − 1. Tương tự, ta có thể chứng minh được ∆2 p(n) = a0 k(k − 1)nk−2 + p(r), r < k − 2. Thực hiện quá trình k lần, ta thu được ∆k p(n) = a0 k!.7) 11 Như vậy, với mọi i ≥ 1, ta có ∆k+1 p(n) = 0, i ≥ 1.1 ta có nhận xét sau đây: Nếu cần tính tổng có dạng x(k) nào đó thì k=n0 n−1 X n−1 X ta xác định x(k) = ∆y(k) sao cho x(k) = ∆y(k). k=n0 k=n0 Bây giờ ta xét sự dịch chuyển của một đa thức bậc k trong toán tử E trên số hạng bn , với bất kì hằng số b.9) là một đa thức bậc k trong E, ta có p(E)bn = a0 bn+k + a1 bn+k−1 +.
+ ak bn = (a0 bk + a1 bk−1 +. + ak )bn = p(b)bn .10) Tổng quát hóa công thức (1.10), ta thu được bổ đề sau.2 Cho p(E) là một đa thức trong (1.9) và g(n) là một hàm rời rạc bất kì.2 Chỉnh hợp suy rộng Một trong những hàm thú vị nhất trong phép tính sai phân là lũy thừa suy rộng x(k) định nghĩa như sau. Khi đó lũy thừa suy rộng thứ k của x được xác định bởi x(k) = x(x − 1). Do đó, nếu x = n ∈ Z+ và n ≥ k, thì 12 n! n(k) = , (n − k)! và n(n) = n!.
Ở đây hàm x(k) đóng vai trò giống như hàm được xác định bởi đa thức xk trong phép tính sai phân. Cho đến nay, chúng ta đã xác định được các toán tử ∆ và E trên chuỗi f (n). Người ta có thể mở rộng định nghĩa của ∆ và E cho các hàm liên tục f (t), t ∈ R, đơn giản bằng cách đặt ∆f (x) = f (t + 1) − f (t) và Ef (t) = f (t + 1).3 Giả sử k ∈ Z+ và x ∈ R. Khi đó: ∆xk = kx(k−1) , (1.
Chứng minh tương tự với công thức (1. Nếu với mọi k ∈ Z+ , ta đặt: 1 x(−k) = , (1.(x + k − 1) và đặt x(0) = 1, thì có thể mở rộng bổ đề trên đúng với mọi k ∈ Z. Giả sử ∆ là toán tử sai phân. Khi đó, toán tử sai phân nghịch đảo ∆−1 13 được xác định như sau: • Nếu ∆F (n) = 0, thì ∆−1 (0) = F (n) = c với c là hằng số tùy ý, • ∆∆−1 f (n) = f (n), • ∆−1 ∆F (n) = F (n) + c, • ∆∆−1 = I nhưng ∆−1 ∆ 6= I.
Áp dụng công thức (1.16) rất có ích trong việc chứng minh toán tử ∆−1 là tuyến tính. Toán tử ∆−1 là tuyến tính. Ta cần chứng minh rằng với a, b ∈ R, ta có: ∆−1 [ax(n) + by(n)] = a∆−1 x(n) + b∆−1 y(n). Thật vậy, từ công thức (1.
Như vậy, định lí đã được chứng minh. Ta có các kết quả sau đây: ∆−k 0 = c1 nk−1 + c2 nk−2 + .17) −k nk ∆ 1= + c1 nk−1 + c2 nk−2 + .20), ta sử dụng công thức ∆ [x(n)y(n)] = Ex(n)∆y(n) + y(n)∆x(n) để suy ra y(n)∆x(n) = ∆(x(n)y(n)) − x(n + 1)∆y(n). Áp dụng ∆−1 cho cả hai vế và sử dụng công thức (1. k=0 k=0 15 Chương 2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao Trong chương này tôi trình bày phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính, bao gồm các khái niệm, định lý, tính chất về hệ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính, định thức Casorati, phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất và không thuần nhất.
Ngoài ra tôi còn nêu phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng với vế phải đặc thù cần cho kiến thức chương 3. Trong chương này tôi sử dụng tài liệu tham khảo tương ứng với danh mục [1], [2],[5], [6], [7], [8],.1 Lý thuyết chung về phương trình sai phân tuyến tính Định nghĩa 2. Giả sử pi (n) và g(n) là hàm giá trị thực được xác định với n ≥ n0 và pk (n) 6= 0 với mọi n ≥ n0 .khi đó phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất bậc k được xác định bởi y(n + k) + p1 (n)y(n + k − 1) + .1) được gọi là phương trình thuần nhất. Phương trình (2.1) có thể được viết dưới dạng: y(n + k) = −p1 (n)y(n + k − 1) − .2) Bằng cách cho n = 0, ta suy ra y(k) được biểu diễn từ các số hạng y(k − 1), y(k − 2),.
như vậy, nếu biết y(k), thì chỉ việc cho n = 1, ta sẽ xác định được y(k + 1). Điều này dẫn đến việc ta xác định được: y(k + 1) = −p1 (1)y(k) − p2 (1)y(k − 1) −. Bằng cách lặp lại quá trình trên, có thể xác định tất cả y(n) với n ≥ k. Bây giờ, chúng ta hãy minh họa quy trình trên bằng một ví dụ.
Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp ba sau: n y(n + 3) − y(n + 2) + ny(n + 1) − 3y(n) = n, (2. Tìm giá trị của y(4), y(5), y(6), y(7). Trước hết, ta viết lại (2. 5 Bây giờ chúng ta hãy quay lại (2.1) và chính thức xác định nghiệm của nó.
Dãy {y(n)}∞ n0 hay đơn giản y(n) được gọi là nghiệm của (2.1) nếu nó thỏa mãn phương trình. Chú ý rằng nếu ta xét điều kiện ban đầu của phương trình, ta sẽ có bài toán giá trị ban đầu tương ứng: y(k + n) + p1 (n)y(n + k − 1) + .6) trong đó ai là số thực. Với cách trên, ta suy ra kết quả sau: Định lý 2.5) với giá trị ban đầu (2.6) có nghiệm duy nhất y(n), nghĩa là nếu ỹ(n) cũng là một nghiệm của bài toán (2.5) với giá trị ban đầu (2. Với mọi n ≥ n0 + k, ta viết: n = n0 + k + (n − n0 − k).
Từ đây, định lí được chứng minh. Vấn đề đặt ra là liệu chúng ta có thể tìm ra nghiệm cho (2. Không giống như các phương trình cấp nhất đơn giản, việc có được một nghiệm của (2.1) là một nhiệm vụ khó khăn. Tuy nhiên, nếu các hệ số pi trong (2.1) là hằng số, thì có thể dễ dàng thu được một nghiệm của phương trình, ta sẽ xác định điều này trong phần tiếp theo.
Trong phần này, chúng ta sẽ xây dựng lý thuyết cơ bản về phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k có dạng: x(n + k) + p1 (n)x(n + k − 1) + ., fr (n) được gọi là phụ thuộc tuyến tính với n ≥ n0 nếu tồn tại các hằng số a1 , a2 , ., ar không đồng thời bằng 0, sao cho a1 f1 (n) + a2 f2 (n) +. Nếu aj 6= 0, ta có thể chia (2.7) cho aj a1 a2 ar X ai fj (n) = − f1 (n) − f2 (n).8) aj aj aj i6=j aj Phương trình (2.8) cho thấy rằng với mỗi fj với hệ số khác không là một tổ hợp tuyến tính của các fi với i 6= j. Do đó, hai hàm f1 (n) và f2 (n) là phụ thuộc tuyến tính nếu một hàm là bội số của hàm kia, tức là f1 (n) = af2 (n) hoặc f2 (n) = af1 (n), với một hằng số a. Ngược lại của sự phụ thuộc tuyến tính là độc lập tuyến tính.
Cụ thể, các hàm f1 (n), f2 (n),. + ar fr (n) = 0, với mọi n ≥ n0 , thì a1 = a2 =. Chứng minh các hàm số 3n , n3n và n2 3n độc lập tuyến tính với n ≥ 1. Giả sử với các hằng số a1 , a2 và a3 , ta có: a1 3n + a2 n3n + a3 n2 3n = 0, ∀n ≥ 1.
Chia hai vế cho 3n , ta được: a1 + a2 n + a3 n2 = 0, ∀n ≥ 1. Chọn các giá trị n bất kì thì đều thỏa mãn phương trình trên, nhưng phương trình bậc hai theo n có nhiều nhất hai nghiệm n ≥ 1, điều này là mâu thuẫn. Do đó a1 = a2 = a3 = 0 suy ra các hàm số độc lập tuyến tính. 19 Mở rộng với các hàm 1, n, n2 , ., nk , k ∈ Z+ cũng độc lập tuyến tính.
Để chứng minh điều này, giả sử với các hằng số a1 , a2 , ., ak , ta có k X ai ni = 0, ∀n.